Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Чтобы функция 1о(1) была характеристической функцией устойчивого распределения, необходимо и достаточно следующее ее представление: 1 ! и уз(1) = 178 — с~1) ~ 1 + з)3 — ы(г, а) $8$ где а, )3, у, с — вещественные постоянные (-1 <,9 < 1, с > О, 0 < а < 2) и гя — а, если а ЗЕ 1, "(1 )= г — 1пф, если а=1. 424 Дополнение 3 Этот результат полностью завершил исследования, которые были начаты Пуассоном и Коши. Естественный вопрос о классе предельных распределений для сумм (1), когда слагаемые могут быть распределены не одинаково, был поставлен А.Я. Хинчиным в письме к П.Леви. Вскоре ответ был найден П.Леви. По предложению А.Я.
Хинчина этот класс распределений получил наименование класса Ь. На слагаемые суммы ~ь/В„при этом естественно наложить требование: каждое из слагаемых оказывает на сумму незначительное влияние. Это требование можно представить так: величины Сь/В„ предельно постоянны, т.е. дпя них можно найти такую последовательность постоянных пг„ь, что равномерно относительно ?г (1 <?г < и) для любого г > 0 выполняется соотношение Р— — т„а >е -+О при и-+со.
Характеристическое свойство законов класса Ь, найденное П.Леви, состоит в следующем: чтобы функция ~о(1) была характеристической функцией закона класса Ь, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: при каждом а (О < а < 1) имеет место равенство Р(1) = Р(а1)~/(1), где //(1) — некоторая характеристическая функция. На этом история вопроса не завершилась, поскольку оставалось ответить еше на один вопрос, поставленный Б. В. Гнеденко. Каковы классы возможных предельных распределений, если случайные величины 6 6 " ся .. могут быть распределены только по й (1<?г < со) различным законам распределения Р~(я), лз(я),..., ль(я)? Полное решение этой задачи было дано в 1971 г.
А.А. Зингером. В рассмотренном круге вопросов была изучена еше одна задача: а что будет, если рассматривать суммы (1) одинаково распределенных независимых слагаемых не по всем значениям п, а только по некоторой подпоследовательности? Какие предельные распределения при этом могут встретиться? Этот вопрос был поставлен А.Я. Хинчиным; он же дал на него ответ: класс возможных предельных распределений в только что указанном смысле совпадает с классом безгранично делимых распределений, в 1930 г.
введенным итальянским математиком Бруно де Финетги (1906-1985) и подробно исследованным А. Н. Колмогоровым, П.Леви и А.Я. Хинчиным. Случайная величина называется безгранично делимой, если для любого целого числа и ее можно представить в виде суммы и независимых одинаково распределенных слагаемых. Отсюда и название этих распределений. В 1933 г. А. Н. Колмогоров высказал гипотезу, что если суммируются примерно равноправные независимые случайные величины, то при увеличении числа слагаемых их распределения будут приближаться к безгранично делимым законам и, следовательно, если распределения последовательных сумм будут сходиться к предельному, то этот предельный закон обязательно должен быть безгранично делимым.
В предположении, что слагаемые имеют конечные дисперсии, а дисперсии последовательных сумм ограничены, эту гипотезу доказал ученик А. Н. Колмогорова Очерк по истории теории вероятностей 425 Г М. Баяли (1908-194!) в 1934 г. В полном объеме эта гипотеза была доказана А.Я. Хинчиным с привлечением довольно громоздких аналитических средств через три года. Отправляясь от этой работы, Б.
В. Гнеденко построил теорию суммирования независимых случайных величин, основанную на сравнительно легко доказываемом факте: если суммируются предельно постоянные независимые слагаемые и функции распределения соответствующих центрированных сумм сходятся к некоторому предельному распределению, то можно построить последовательность безгранично делимых случайных величин, функции распределения которых сближаются с функциями распределения сумм. Эти безгранично делимые величины получили название сопровождающих. Из этого предложения в качестве частных случаев получались теоремы Бавли и Хинчина. Кроме того, этот подход давал возможность совершенно прозрачно найти условия существования предельных распределений и условия сходимости функций распределения сумм к любому возможному предельному распределению.
В частности, были найдены необходимые и достаточные условия для закона больших чисел, для сходимости к нормальному распределению, распределению Пуассона, устойчивым распределениям. Весь круг этих вопросов нашел отражение в монографии Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» (1949). В последние годы большое число исследователей приступило к изучению предельного поведения сумм независимых случайных слагаемых в случайном числе. Первоначально усилия были сосредоточены только на условиях сходимости к нормальному распределению и выполнимости закона больших чисел.
Позднее были поставлены вопросы о классе предельных распределений и об условиях существования предельного распределения. Эту задачу удалось решить в условиях одинаковой распределенности и независимости слагаемых, а также независимости индекса суммирования от слагаемых. Заметим также, что к самой постановке этих задач привели вопросы теории надежности и физики. Основная теорема, относящаяся к названной проблематике, получила наименование теоремы переноса (см. с. 269). Теорема переноса позволяет получить ряд важных следствий. В частности, имеет место такой результат: предельное распределение для случайного числа случайных слагаемых может оказаться нормальным тогда и только тогда, когда Ф(х) нормально и А(х) имеет единственную точку роста при х = с ~ О.
9 19. Закон повторного логарифма От закона больших чисел взяла начало новая предельная закономерность, получившая наименование закона повторного логарифма. Эта теорема не ставит перед собой цели разыскания предельного распределения, но зато переводит задачу рассмотрения последовательных сумм совсем в новую область, а именно, изучает поведение этих сумм всех вместе.
Мы вначале рассмотрим эту задачу для простейшего случая — для схемы Бернулли. Это вполне естественно; тем более, что это соответствует историческому ходу исследований. 426 Дополнение 3 Обозначим через 7»„ число появлений события А в п независимых испытаниях и рассмотрим разности 8„ = 7»„ — пр. В 1909 г. Э.Борельдал обобшенную формулировку закона больших чисел, показав, что имеет место более сильное утверждение, а именно Р— -+О =1. Через четыре года Ф. Хаусдорф (18б8-1942) доказал, что имеет место еше более сильное утверждение, а именно, что при любом е > 0 Р -»О =1.
Год спустя, Г. Харди (1877-1947) и Дж. Литвуд (1885-1977) обнаружили еше более сильное предложение, согласно которому с вероятностью единица 1Ф отношение остается ограниченным. В 1922 г. А. Я. Хинчин дал »айги и для роста сумм Я„оценку В„= 0(з/и 1п 1и и).
Через два года он нашел окончательный результат. Оказалось, что Р 1нп зпр =1 =1. !Вп! ~/2 раув ! В 1926 г. А.Я. Хинчину удалось распространить этот результат на случай схемы Пуассона, т. е. на случай последовательных испытаний с переменной вероятностью появления события А.
Работа А. Н. Колмогорова 1929 г. значительно перекрывала результаты А. Я. Хинчина, которые являлись для нее простыми следствиями. Этими словами мы не хотим преуменьшить значения работ А.Я. Хинчина, поскольку открытие новой закономерности даже на простом случае заслуживает самой высокой оценки. Пусть имеется последовательность с!, бм...
взаимно независимых случайных величин, имеюших математические ожидания а» = МС» и дис» ч персии Ь» = ûѻ, В„= 2 Ь», 8„= 2 (С» — а»). Если последователь»=! »=! ность с» удовлетворяет еше двум условиям: прн и -+ со 1) В„ -+ со, (1 В„ 2) 1С„! ( и»„= о, то она удовлетворяет закону повторного д ° ° ~' логарифма, т.е. для нее выполняется соотношение Р 1пп ацр =1 =1. А! ч-ко з/2З„1п 1п Вл Иными словами, было высказано следуюшее утверждение: в высказанных предположениях при любых положительных а и б можно указать столь большое целое число АГ, что Очерк по истории теории вероятностей 427 !) вероятность того, что хотя бы при одном и > 1»г выполнится неравенство ~з.~ з П + г)чзв.'~. Ь в., меньше б и 2) вероятность того, что хотя бы для одного и > 2»г будет выполнено неравенство ~аззр — гГ,~гв.л л в., больше 1 — б.
Позднее задачей повторного логарифма занимались многочисленные исследователи — П. Леви, В. Феллер, А. Зигмунд (1900 — 1992), Ю. Марцинкевич (1910 — ! 940), Ф. Хартман, Т. А. Сарымсаков (1915-1995), В. В. Петров, Б. В. Гнеденко и др. Среди многих прекрасных результатов мы выделим лишь один: если случайные величины С» одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (конечно, отличную от нуля), то это условие достаточно для выполнения закона повторного логарифма. Как показал А. И. Мартикайнен, этот результат допускает обращение "1. Аналогичная задача была поставлена для устойчивых распределений, отличных от нормального. При этом выяснилось (Б. В. Гнеденко), что для любой неубывающей функции и(п) и для любого устойчивого закона с показателем а (О < а < 2) с вероятностью единица отношение 1пп зпр(1Яя1/и(п)) равно 0 или бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
