Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Рассмотрим примеры. Обозначим через р($, х, у, х) плотность воды в океане. Эта величина изменяется от одной точке к другой и от одного момента времени к другому. Как показывают многочисленные наблюдения, р можно рассматривать как случайное поле. Рассмотрим изменение силы и направления ветра. Для каждого момента времени и каждой точки пространства сила ветра у(1, х, у, х) является скалярной величиной, а направление ветра (С(г, х, у, х), г1(1, х, у, х), г,(1, х, у, х)) — случайным вектором. Это — типичный пример скалярного и векторного полей. Число примеров случайных полей, относящихся к различным областям знания, можно продолжать практически неограниченно.
В истории каждой науки постоянно приходится сталкиваться с такими ситуациями, когда эта наука еше не создана, а исследователи рассматривают отдельные задачи, которые относятся к ее области. Так было с арифметикой и геометрией, алгеброй и теорией чисел. С таким же положением мы сталкиваемся и в теории случайных процессов. Этой теории еше не было, не было и свойственных ей понятий, не было даже идеи рассмотрения изменения случайной величины во времени, а отдельные задачи в этом направлении уже изучались. Для примера еше Н. Бернулли, Монмор и Муавр занимались задачей о разорении игрока и состоянии игроков после п партий.
Это — типичная задача теории случайных про- Очерк ло истории теории вероятностей 435 цессов, в которой число сыгранных партий играет роль времени. Такая же ситуация складывается и с задачей Лапласа перекладывания шаров из урны в урну и подсчета содержания урны после и перекладываний. Всегда новое рождается в недрах старого и со временем вырастает из становящихся тесными рамок уже установившихся представлений и понятий. В результате появляется необходимость выделения специальной области научных исследований.
Первоначально же отдельные новые задачи решаются в рамках старых представлений, как правило, специальными приемами, создаваемыми для каждой задачи. Но время еще не созрело для выделения соответствующей новой ветви научного знания. Требуется иногда длительный срок, чтобы первоначальные идеи и отдельные задачи сформировались и дали начало новой теории со своими постановками проблем и методами исследования, позволяющими продвинуться по пути познания явлений окружающего нас мира. Теория вероятностей имеет богатую и поучительную историю.
Она наглядно показывает, как возникали ее основные понятия и развивались методы из задач, с которыми сталкивался общественный прогресс. История теории вероятностей еще далека от совершенства и требуется систематическая работа для того, чтобы восстановить пройденный путь и воздать должное ее создателям. При этом мы увидим, как человечество переходило от первичных догадок к более полному и совершенному знанию, как создание теории вероятностей позволяло переходить от строгих детерминистических представлений к более широким стохастическим концепциям, тем самым открывая новые возможности для глубоких заключений о природе вещей.
Теория вероятностей продолжает бурно развиваться, в ней появляются новые направления исследований — оптимальное управление случайными процессами, теория мартингалов, теория просачивания, случайные операторы, вероятностные закономерности на алгебраических и топологических структурах. Эти направления представляют значительный общетеоретический и прикладной интерес. Практически исторический очерк ограничивается во времени сороковыми годами ХХ столетия и только отдельные замечания относятся к более позднему времени.
Я надеюсь на то, что вопросы теории вероятностей заинтересуют некоторых читателей и им удастся существенно дополнить настоящий очерк в ряде направлений. 436 Таблицы 1 1 х21 Чиблиии значений функини !е(х) = — ехр ~ — — ~ ~/ги 1 2 3 5 6 8 9 з о,о о,! 0,2 о,з 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,о 1,1 1,г 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 г,о 2,! 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 з,о з,! 3,2 з,з 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 3970 3910 3814 3683 352! 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 П09 0940 О79О 0656 0,0540 0440 0355 огвз 0224 0175 0136 ОЮ4 0079 ОО6О 0,0044 оозз 0024 0017 оои 0009 0006 0004 оооз 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 зю! 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 04З! 0347 0277 0219 0171 0132 ою! 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 ООО4 оооз ООО2 3989 3961 З894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 237! 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 ог!з 0167 0129 0099 0075 0056 0042 ООЗ! 0022 0016 0012 ооов 0006 0004 оооз 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 !057 0893 0748 0620 0508 04!3 оззг 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 ОО4О оозо 0022 0016 ООП ооов 0005 0004 оооз 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 325! 3034 2803 2565 2323 2083 !849 !626 1415 1219 Ю4О 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 огоз 0158 о!22 0093 007! 0053 0039 0029 0021 0015 ооп 0008 0005 0004 ОООЗ 0002 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 зоп 2780 2541 2299 2059 1826 !604 !З94 1200 югз 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 ОП9 0091 0069 0051 0038 0028 0020 00!5 оо!о ООО7 0005 0004 0002 ООО2 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 25!6 2275 2036 1804 1582 1374 П82 1006 0848 07О7 0584 0478 0387 озю 0246 О!94 0151 ОП6 0088 0067 0050 ООЗ7 0027 0020 ОО!4 оо!о 0007 0005 оооз 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 339! 3187 2966 2732 2492 225! 2012 1781 1561 1354 пбз 0989 0833 0694 0573 0468 0379 озоз 0241 0189 0147 опз 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 оою 0007 0005 0003 0002 ооог 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 П45 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 О!84 О!43 опо 0084 ОООЗ 0047 0035 0025 0018 0013 ООО9 0007 0005 оооз ООО2 ООО1 3973 39!8 3825 3697 3538 3352 3!44 2920 2685 2444 2203 1965 1736 15!8 13!5 П27 0957 ОВО4 0669 0551 0449 0363 0290 огг9 о!во 0139 ОЮ7 оов! 0061 0046 0034 0025 оо!в оо!з 0009 0006 0004 0003 0002 0001 439 Таблицы а" ехр (-а) Чйблнна значений функннн л.е(а) = «1 (лроделжелие) 6,0 4,0 5,0 8,0 7,0 9,0 о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 !о !1 12 !3 !4 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 0,018316 0,073263 0,146525 0,195367 0,195367 0,156293 0,104194 0,059540 0,029770 0,013231 0,005292 0,00!925 0,000642 0,000197 0,000056 0,000015 0,000004 0,00000! 0,006738 0,033690 0,084224 0,140374 0,175467 0,175467 О,!46223 0,104445 0,065278 0,036266 0,018133 0,008242 0,003434 0,001321 0,000472 0,000157 0,000049 0,000014 0,000004 0,000001 0,002479 0,014873 0,044618 0,089235 0,133853 0,160623 0,160623 О,!37677 0,103258 0,068838 0,041303 0,022529 0,0!1262 0,005! 99 0,002228 0,000891 0,000334 0,000118 0,000039 0,000012 0,000004 0,000001 0,000912 0,006383 0,022341 0,052!29 0,091226 0,127717 0,149003 0,149003 0,130377 0,10!405 0,070983 0,04517! 0,026350 0,014188 0,007094 0,0033!1 0,001448 0,000596 0,000232 0,000085 0,000030 0,000010 0,000003 0,000001 0,000335 0,002684 0,0!0735 0,028626 0,057252 0,091604 0,122138 0,139587 0,139587 0,124077 0,099262 0,072190 0,048127 0,029616 0,016924 0,009026 0,004513 0,002!24 0,000944 0,000397 0,000159 0,00006! 0,000022 0,000008 0,000003 0,000001 0,000123 0,001111 0,004998 0,0! 4994 0,033737 0,060727 0,091090 0,117!16 0,131756 0,13!756 0,118580 0,097020 0,072765 0,050376 0,032384 0,0!9431 0,010930 0,005786 0,002893 0,001370 0,000617 0,000264 0,000108 0„000042 0,0000! 6 0,000006 0,000002 0,000001 Список литературы 1.
Боровков А.А. Теория вероятностей. 4-е изд. Мл УРСС, 2003. 2. Гихнан И. И., Скороход А. В., Ядргнко М. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: Виша школа, 1979. 3. Гнхман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. Мл Наука, 1977. 4. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.— Лл Гостехиздат, 1949. 5.
Снеденко В. К, Кого!еч К !'и. Вапдош Вцгпгпаг1оп: Ыгп11 ТЬеогешз апб Арр1!саг1опз. СКС Ргезз, Воса Вагон, 1996. 6. Венгннгль А.Д. Курс теории случайных процессов. Мл Наука, 1975. 7. Карлов С. Основы теории случайных процессов. Мл Мир, 1975. 8. Кендалл М., Моран Н. Геометрические вероятности.
Мл Наука, 1972. 9. Климов Г. П. Теория вероятностей и математическая статистика. Мл Изд-во МГУ, 1983. 1О. Климов Г. Н., Кузьмин А.Д. Вероятность, процессы, статистика: задачи с решениями. Мл Изд-во МГУ, 1985. 11. Коваленко И. Н., Кузнецов Н. Ю,, Шуренков В. М. Случайные процессы; справочник.
Киев: Наукова думка, 1983. 12. Коваленко И. Н., Филиннова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. Мл Высшая школа, 1973. !3. Корагюк В.С. (редактор). Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Киев: Наукова думка, 1978. 14. Круглов В. М., Королев В. Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. Мл Изд-во МГУ, 1990. 15. Позе М. Теория вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
