Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Несомненно, что работы Эрланга оказали значительное влияние не только на решение чисто телефонных Очерк по истории теории вероятностей 431 задач, но и на формирование элементов теории случайных процессов, в частности процессов гибели и размножения. Во втором десятилетии ХХ века начались исследования динамики биологических популяций.
Итальянский математик Вито Вольтерра (1860-1940) разработал математическую теорию этого процесса на базе чисто детерминистских соображений. Позднее ряд биологов и математиков развивали его идеи уже на основе стохастических представлений. Первоначально и в этой теории применялись исключительно идеи процессов гибели и размножения. Собственно именно от задач биологии и пошло наименование этого очень частного типа случайных процессов. Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-нибудь молекулы газа или жидкости. Эта молекула в случайные моменты сталкивается с другими молекулами и меняет при этом направление движения и скорость. Состояние молекулы, таким образом, подвержено случайным изменениям и представляет собой ничто иное, как случайный процесс.
Этот процесс определяется шестью параметрами— тремя координатами и тремя компонентами скорости. Многие физические явления для своего изучения требуют умения вычислять вероятности того, что определенная доля молекул успеет за заданный промежуток времени перейти из одной области пространства в другую.
Например, если приведены в соприкосновение две жидкости, то начинается взаимное проникновение молекул одной жидкости в другую. Происходит диффузия. Как быстро происходит процесс диффузии, по каким законам и когда образующаяся смесь становится практически однородной? На эти и многие другие вопросы дает ответ статистическая теория диффузии, базирующаяся на использовании теории случайных процессов.
Очевидно, что подобные же задачи возникают в химии, когда приступают к изучению химических реакций. Какая часть молекул уже вступила в реакцию, какая особенность протекания реакции со временем, когда реакция практически уже закончилась? Весьма важный круг явлений протекает по принципу радиоактивного распада. Суть его состоит в том, что атомы радиоактивного вещества распадаются, превращаясь в аюмы другого элемента. Распад каждого происходит мгновенно, подобно взрыву, с вьшелением некоторого количества энергии. Многочисленные наблюдения показывают, что распад отдельных атомов происходит в случайно взятые моменты времени и расположение этих моментов, если количество распадающегося вещества не превосходит некоторого определенного критического предела, не зависит друг от друга.
Для изучения процесса радиоактивного распада весьма важно опрелелить вероятность того, что за определенный промежуток времени распадается то или иное число атомов. Формально, если задаться целью выяснения только математической стороны явления, оказывается, что аналогично происходят многие другие процессы: обрывы нитей в прядильной машине, число броуновских частиц, оказавшихся в данный момент в определенной области пространства, вызовы от абонентов, поступающие на телефонную станцию и т.д.
432 Дополнение 3 Теория броуновского движения, исходящая из теоретико-вероятностных предпосылок, была разработана в !905 г. двумя известными физиками М. Смолуховским (1872 — 1917) и А. Эйнштейном (1879-1955). Позднее высказанные ими идеи использовались неоднократно как при изучении физических явлений, так и в различных инженерных задачах. В частности, именно с их работ, как, впрочем, и с работ Эрланга, проявился широкий интерес к процессу Пуассона. Впрочем, сам Пуассон ввел в рассмотрение только распределение Пуассона, но он заслужил, чтобы его имя произносилось и при рассмотрении случайных процессов, связанных с его распределением. Это не единственный случай, когда в честь того или другого исследователя новым понятиям присваиваются их имена, хотя до этих понятий они н не доходили. Теперь широко распространены гауссовские случайные процессы, хотя сам Гаусс о них не имел никакого представления, да и само исходное распределение задолго до его рождения было получено Муавром, Лапласом и др.
В теории же ошибок измерений одновременно с Гауссом к нему пришел также Лежандр. Попытка изучения средствами теории вероятностей явления диффузии была предпринята в 1914 г. двумя известными физиками — М. Планком (1858-1947) и А. Фоккером (1887-1972). Н. Винер в середине двадцатых годов при изучении броуновского движения ввел в рассмотрение процесс, получивший название винеровского процесса (процесса броуновского движения). Мы должны упомянуть еще о двух важных группах исследований, начатых в разное время и по разным поводам. Во-первых, это работы А.А. Маркова (1856-1922) по изучению цепных зависимостей. Во-вторых, работы Е.
Е. Слуцкого (1880-1948) по теории случайных функций. Оба этих направления играли очень существенную роль в формировании общей теории случайных процессов. Для этой цели уже был накоплен значительный исходный материал и необходимость построения теории как бы носилась в воздухе. Оставалось осуществить глубокий анализ имеющихся работ, высказанных в них идей и результатов н на его базе осуществить необходимый синтез. В 1931 г. была опубликована большая статья А. Н. Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей», а через три года— работа А. Я.
Хинчина «Теория корреляции стационарных стохастических процессов», которые следует считать началом построения обшей теории случайных процессов. В первой из этих работ были заложены основы теории марковских процессов, а во второй — основы стационарных процессов. Они были источником огромного числа последующих исследований, среди которых следует отметить статью В. Феллера «К теории стохастических процессов» (1936), давшую интегро-дифференциальные уравнения для скачкообразных марковских процессов.
Обе только что упомянутые основополагающие работы содержат не только математические результаты, но и глубокий философский анализ причин, послуживших исходным пунктом для построения основ теории случайных процессов. Приведем с целью ознакомления с этим Очерк по истории теории вероятностей 433 аспекгом исследований довольно большой отрывок из введения к работе А. Н.
Колмогорова. «Желая подвергнуть математической обработке явления природы или социальной жизни, необходимо предварительно зги явления схематизировать; дело в том, что к исследованию процесса изменения некоторой системы математический анализ применим лишь в том случае, если предположить, что каждое возможное состояние этой системы может быть вполне определено с помощью известного математического аппарата, например, при помощи значений, принимаемых известным числом параметров; такая математически определимая система есть не сама действительность, но лишь схема, пригодная для описания действительности. Классическая механика пользуется лишь такими схемами, при которых состояние р системы для момента времени 1 однозначным образом определяется ее состоянием х в любой предшествующий момент 1о, математически это выражается формулой р = Г (х, Фо, с).
Если такая однозначная функция существует, как это всегда предполагается в классической механике, то мы говорим, что наша схема есть схема вполне детерминированного процесса. К числу вполне детерминированных процессов можно было отнести и те, в которых состояние у не вполне определяется заданием состояния х для единственного момента времени $, а существенным образом зависит еще от характера изменения этого состояния перед моментом 1.
Однако обычно предпочитают избегать такой зависимости от предшествующего поведения системы„для чего расширяют само понятие состояния системы в момент времени $ и соответственно этому вводят новые параметры 'аз. Вне области классической механики, наряду со схемами вполне детерминированных процессов, часто рассматриваются и такие схемы, где состояние х системы в некоторый момент времени $о обуславливает лишь известную вероятность для наступления возможного состояния у в некоторый последующий момент 1 > 1о. Если для любых заданных $о, 1 > ~о и х существует определенная функция распределения вероятностей лля состояния р, мы говорим, что наша схема есть схема сптохасптичвски определенного процесса. В общем случае эта функция распределения представляется в виде Р(1о, х, $, А), причем А обозначает некоторое множество состояний, а Р есть вероятность- того, что в момент $ окажется реализованным одно из состояний А, принадлежащих этому множеству», Но не общефилософское содержание является основным достоинством этой работы А.
Н. Колмогорова. В ней были заложены основы теории случайных процессов без последействия и получены дифференциальные уравнения (прямые и обратные), которые управляют вероятностями перехода. В этой же работе был дан набросок теории скачкообразных процессов без последействия, подробное развитие которой позднее было дано В.Фолдером и В.М.Дубровским. ил Хорошо известный пример применения этого метода мы имеем при описании состояния некоторой механической системы ие только координатами ес точек, ио также и компонентами ил скоростей. Дополнение 3 й 22.
Дальнейшее развмтме В настоящее время теория марковских процессов превратилась в большую и разветвленную главу математической науки, которая получила огромное число разных применений в физике, инженерном деле, геофизике, химии и ряде других областей знания. Построение основ другою класса случайных процессов на базе физических задач было осуществлено А, Я. Хинчнным в упомянутой нами работе. Он ввел понятие стационарного процесса в широком и узком смысле и получил знаменитую формулу для коэффициента автокорреляции.
Эта работа послужила основанием дяя последующих исследований Г Крамера (1893 — ! 985), Г. Вальда (1902-1950), А. Н. Колмогорова и многих других ученых. В процессе развития теории случайных процессов произошло разделение близких понятий. Если случайная величина С(1) или вектор ((~(1),... ..., С„(1)) со значениями на числовой прямой зависит от одного вещественного параметра 1, то принято говорить о случайном процессе С(1). При этом, как правило, параметр 1 носит название времени. Если время принимает дискретную последовательность значений 1п 1м ..., то говорят не о случайном процессе, а о случайной последовательности. Если же случайная величина С (или вектор) зависит не от одного, а от нескольких параметров, то ее называют случайным полем. Со случайными полями столкнулись раньше всего в биологии и геофизике, а затем оказалось, что практически все области знания приводят к необходимости рассмотрения, наряду со случайными процессами, и случайных полей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
