Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Если случайные величины с» стацианарны, имеют конечную дисперсию и карреллцианнан функции Я(И) у 0 нри И -д оо, юа 1пп Р(Иои -+ а) = 1 (а = МС»). Доказательство. Рассмотрим дисперсию величины Ио„. В силу стационарности имеем ои -м(-~к,— 1! - — '[ ~1»' ло о~. и »=! 1<в<у'<в и! Обратим внимание, что только в атом пункте мы попользовали предположение о етапиоиариоети. ззо Глава 1О. Теория стохастичесхих процессов Очевидно, что ц-~ Я(~ — () = ~ (и — я)Я(1т).
1<1<у<я х=! Рассмотрим столь большое ш, что при Й > пт имеет место неравенство 1Я(Я)~ < с (с > 0). Отсюда следует, что ц — ! са < —,'1 ~г~'( — цв(ц.~г* ~ ( — ц1. ь=! ь=цн- ~ Это неравенство, очевидно, усиливается следующим образом: Осц Ойо„< — [и + 2ш(п — 1) + с(п — т — 1)(п — тп)~ . Отсюда ясно, что если и достаточно велико, то правая часть этого неравенства может быть сделана меньше, чем Зс.
Таким образом, при и -ц со величины Ьц„по вероятности сходятся к а, а так как Ьцц сходятся при и -+ со с вероятностью единица, то отсюда следует утверждение теоремы. Доказанная теорема представляет не только значительный теоретический интерес, но и находит широкие применения в статистической физике и в непосредственной технической практике. Причина этого состоит в том, что лля определения таких важных характеристик процесса, какими являются МС(1), ОС(1), Я(и) в случае стационарных процессов не нужно знать распределения вероятностей возможных значений и вычислять зти величины по соответствующим формулам.
Вообще говоря, определение этих, как говорят в физике, пространственных средних требует от исследователя сведений, которых у него зачастую нет. И во всяком случае практическая оценка этих величин посредством эксперимента требует многократного осуществления испытаний для процесса с(т). Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина показывает, что с вероятностью единица можно при этом ограничиться единственной реализацией процесса С(т). Глава 11 Элементы статистики В60.
Основные задачи математической статистики В теории вероятностей выводятся правила, которые позволяют по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других, с ними связанных; по числовым характеристикам и функциям распределения одних случайных величин подсчитывать функции распределения и числовые характеристики других. Но естественно возникает вопрос: как найти эти исходные вероятности, функции распределения и числовые характеристики? Как оценить хотя бы приближенные их значения? Это является предметом исследования другой науки о массовых случайных явлениях, которая получила наименование математической статистики.
Как наука с оформившейся тематикой и методами исследования математическая статистика возникла, в сущности, только в двадцатом веке. Однако отдельные задачи возникали и рассматривались задолго до нашего времени — н в девятнадцатом, и в восемнадцатом, и даже в семнадцатом веках. Термин статистика происходит от латинского слова «статус» (з1агиз) — состояние. Первоначально, в Хч1П веке, когда статистика начала оформляться в научную дисциплину, термин статистика связывался с системой описания фактов, характеризующих состояние государства. При этом даже не предполагалось, что ведению статистики подлежат только явления массового порядка.
В настоящее время статистика включает в себя и большее и в то же время более определенное содержание. А именно, можно сказать, что статистика состоит из следующих трех разделов: !) сбор статистических сведений, т. е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей; 2) статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения; 3) разработка приемов статистического наблюдения и анализа статистичвскихданных.
Последний раздел, собственно, и составляет содержание математической статистики. Сбор статистических сведений, касающихся главным образом населения, производился уже давно: имеются сведения, что в 2238 г. до нашей эры в Китае при императоре Яо была произведена перепись населения; производились переписи населения и в древнем Египте, древнем Иране, Римской империи; известны переписи населения в России в 1245, 1259, 1273, ! 287 гг. и более поздние. Нужно, правда, отметить, что эти переписи ззг Глава 11.
Элементы статистики были чрезвычайно примитивны, и в Китае, например, в течение 200 лет население учитывалось путем копировки списков предыдуших переписей. Однако даже такие неполные и несовершенные переписи давали возможность намечать важные государственные мероприятия. Роль математической статистики ие ограничивается вопросами обработки экспериментальных данных, а распространяется и иа управление технологическими процессами, а также на большую проблему проверки соответствия теории того или иного явления экспериментальным данным.
Исходным материалом для статистического исследования реального явления служит набор результатов наблюдений иад иим или же результатов специально поставлеииых испытаний. Вопросов, которые при этом возникают, очень много. Укажем теперь некоторые из иих. 1. Оценка значения неизвестной вероятности случайного события. 2. Определение неизвестной функции распределения. Задача ставится так: в результате и независимых испытаний иад случайной величиной С получены следующие ее значения: хп хз . хи. Требуется определить, хотя бы и приближенно, неизвестную функцию распределения Р(х) величины ~. 3. Огределение неизввсгнык параметров распределения. Часто общетеоретические соображения позволяют сделать достаточно определенные заключения о типе функции распределения интересующей иас случайной величины.
Так, например, теорема Ляпунова дает возможность считать, что в определенных случаях функция распределения должна быть нормальной. При этом определение неизвестной функции распределения сводится к определению по результатам наблюдений только неизвестных значений параметров а и е, Общая задача ставится так: случайная величина г имеет функцию распределения определенного вида, зависящую от уг параметров, значения которых неизвестны.
На основании последовательных наблюдений величины ( нужно найти значения этих параметров. Очевидно, что определение неизвестной вероятности р события А является частным случаем только что сформулированной задачи, так как мы можем рассматривать случайную величину (, принимающую значение 1, если событие А появляется, и значение О, если событие А ие появляется. Функция распределения ( зависит от единственного параметра р. В з 50 мы рассмотрели результаты наблюдений иад числом частиц золота, взвешенных в воде. Предполагалось, что это число должно подчиняться закону Пуассона и требовалось оценить параметр распределения Л.
Рассматриваемая нами задача как раз включает приведенный пример. Решение только что поставленной задачи будет нами дано лишь лля нормального распределения 5 60. Основные залечи математической статистики 333 В этом случае вторая задача, очевидно, может быть разбита на 3 частных вопроса: 1) величина е предполагается известной, требует оценить неизвестное значение а; 2) величина а предполагается известной, требуется оценить неизвестное значение о; 3) оба параметра а и е неизвестны, требуется оценить их значения. Более точно зти вопросы могут быть поставлены следующим образом: в результате и независимых нспьпаний величина ~ приняла следующие значения: хи хм...,х„. Требуется указать такие функции а = а(х„..., х„) и о = п(хн..., х„) (в первой задаче а может быть также функцией е, а во второй задаче п может быть функцией а), которые было бы рационально принять за приближенные значения оцениваемых величин а и е.
Помимо этого нужно также оценить среднюю точность этих приближенных формул. Иногда предпочтительнее искать не приближенные значения неизвестных параметров а и е в виде функций а и й, а такие функции а', а" (и' и е") от результатов испытаний и известных величин, чтобы с достаточной практической надежностью можно было утверждать, что а<а <а и, соответственно е <е<е. Функции а'„а" (е', ек) называются доверительными границами лля а(о'). Впоследствии мы изложим два подхода к решению этих задач. 4. Проверка стетистическик гипотез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
