Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Обычным путем отсюда следует существование производной дР/дт и равенство (3). Мы решим еще одну важную для приложений задачу: с какой вероятностью в течение промежутка времени от $ до т (т > 1) система может изменить свое состояние то или иное число и раз (и = О, 1, 2,...)? Обозначим через р„(1, х, т) вероятность того, что, отправляясь от состояния х в момент 1, система и раз изменит свое состояние до момента т. Решение задачи начнем со случая и = О. С этой целью запишем следующее равенство: ра(1, х, т) = ра(1, х, т + Тэт) + ро(1 х. т)(1 — рю(т, х, т + Ьт)), (4) которое означает, что отсутствие изменений состояния системы в промежуток времени (1, т) может произойти двумя несовместимыми путями: 1) система не изменила состояния за больший промежуток времени (1, т+Ьт), 2) система не меняла состояния до момента т, но в промежуток времени ($, т+ Ьт) состояние ее изменилось.
Так как по определению чисто разрывного процесса ра(т, х, т + Ьт) = 1 — р(т, х)Ьт + о(гзт), то уравнений (4) может быть записано иначе: ро(1, х, т + гзт) — ро(1, х, т) Тзт Отсюда, положив 1зт -а О, находим, что существует производная дра(1, х, т) дт и что дро(1, х, т) = — ро(1, х, т)р(т, х). дт Проинтегрировав это уравнение, находим Так как ро(т, х, т) = 1, 309 О бб. Чисто разрывный процесс то С=1 и (5) с Теперь мы увидим, что, зная ро(С, х, т), а также функцию Р(С, х, у), определенную раньше, мы можем подсчитать любую вероятность р„(С, х, т). В самом деле, и-кратное изменение состояния происходит следующим образом: 1) до момента з (С < з < т) система не меняет состояния (вероятность этого события равна ро(С, х, з) ), 2) в промежуток (з, в+ Ьв) система меняет состояние (вероятность этого равна р)(в, х, в+ Ьз) = р(з, х)Ьз+ о(Ьз)), 3) вероятность того, что новое состояние, в котором окажется система, будет заключаться между у и у+ Ьу, равна Р(в, х, у+ Ьу)— — Р(в, х, у) = Ь Р(в, х, у), 4) наконец, за время (з+Ьз, т) система изменит свое состояние и — 1 раз (вероятность этого события равна р„) (в + Ьз, у, т)).
Вероятность того, что произойдут все четыре перечисленных события, в силу теоремы умножения, равна ро(С, х, з) ° [р(з, х) + о(1)[Ьз Ь„Р(з, х, у) р„) (з + Ьз, у, т). Так как з и у могут быть произвольными (С < в < т и -оо < у < оо), то, в силу формулы полной вероятности, 1 Ро(С х т) 1 / Ро(С,х, в)Р(в х)рл-)(в,у,т) гСвР(в,х,у))Сз = г к =~и о,*, )п(,*)~и.-,),ю, )ось,*,ян .
)6) Отсюда, в частности, т р)(С, х, т) = / ро(С, х, в)р(в, х) ~ ро(в, у, т) )СзР(в, х, у) дв. (7) ) Процесс определения р„(С, х, т) очевиден: по формуле (5) находим Ро(С х, т), по формуле (7) вычисляем р)(С, х, г) и затем последовательно рз(С,х,т), Рз(С,х,т) и, наконец, р„(С,х, г). Пример б Пусть интересуюшая нас величина С(С) есть число изменений состояния за время от О до С. В предположении р(С, х) = а, где а > Π— постоянное, найти р„(С, х, т). З10 Глава 1О. Теория стокестическик процессов Возможными состояниями системы будут в нашем случае все неотрицательные целые числа (х = О, 1,2,...) и только они. Так как при каждом изменении состояния величина ((С) увеличивается ровно на 1, то (О при у<х+1, Р(С,х,у) = ~1 при у>х+1.
По формуле (5) имеем: ро(С,х, т) = ехр( — а(т — С)). Согласно (7) т р~(С, х,т) = ро(С, х, в)р(в, х)ро(в, х+ 1, т) Из = я — а / ехр (-(в — С)а) ехр (-(т — в)а) Ив = а(т — С) ехр (-а(т — С)). с По формуле (6) т [а(т-С)]з рз(С, х, т) = ро(С, х, в)р(з, х)р~(в,х+ 1,т) йз = ехр(-а(т — С)). 2! Предположим теперь, что 1]а(т — С)]"-' р„~(С, х, т) =, ехр (-а(т — С)). По формуле (6) т р„(С, х, т) = ро(С, х, з)р(в, х)р„~(в, х+ 1, т) дв = Г а]а(т — в)]" ' ]а(т — С)]" (и — 1)! ехр (-а(т — С)) юСз = ехр (-а(т — С)). и! Этим доказано, что при любом целом и > 0 (а(т — С)!" р„(С, х, т) =, ехр (-а(т — С)Т. Решением нашей зааачи является, таким образом, закон Пуассона. В частности, ( а т ) р„(0,0, т) =, екр (-ат).
О 55. Чисто разрывный процесс Легко сообразить, что функция 0 при р<х, Р(1, х; т, р) = [а(т — Ф)[и ехр (-а(т — й)) при р > х. п! я<у-в является решением интегро-дифференциальных уравнений (2) и (3). Пример 2 В момент 1 = 0 имеется гг радиоактивных атомов. Вероятность распада атома в промежуток времени (Ф,с + Ьв) равна а!У7(1)тат + о(Ьт), где а > 0 — постоянное, а !Ч(С) — число атомов, не распавшихся до момента 1. Найти вероятность того, что за время от $ до т произойдет п распааову!.
Мы имеем типичный чисто разрывный случайный процесс. Величина С(С), понятно, может принимать только значения О, 1, 2,..., !уг (1). По условию задачи ш 0 при х<0 и х>йт, р(1,х) = а(Лг — х) при О < х < Лт, 0 при р<х+1, Р(з,х р) ее ю | ! при р > х+1. Оценим прежде всего вероятность того, что за время от 0 до ! произойдет и распадов.
По формуле (5) г ро(0,0, т) = ехр — р(С, 0) г(в = ехр (-аИт). о Точно так же ро(1, й, т) = ехр (-а(Лт — 7с)(т — 1)). Далее, по формуле (7) г рДО,О,т) = / ро(0,0, з)р(в, 0)ро(з, 1, т) г(з = о = / ехр( — атгв)а)гуехр (-а(!У7 — 1)(т — з)) г(з = о я Мы прелполагвем при этом, что пролукгы распава атома сами уже не распаваются и во всяком случае не воалеясшуют на еше не распавшиеся атомы. З1г Глава 1О. Теория сгахвсгическик гроцессов к=о Сл ехр ( — ай!) [ехр (а1) — 1]" С~ о х о=о х ехр ( — а(Лà — *я)(т — 1))[ехр (а(т — 1)) — 1]" = М-и =ехр(-а!от)[ехр(а(т — 1)) — 1]" ~~г Ср,Сл оехр(а/с(т — 1))[ехр(а!)-!] . Так как С С" = С" С" С[( „[ехр (а(т — 1))(ехр (ат) — 1)]" = о=о = [1+ ехр (а(2т — 1)) — ехр (а(т — 1))] то окончательно р„(1, т) = Сл[ехр ( — а1) — ехр ( — отК" [ехр ( — ат) + + ехр (а((т — 1))) — ехр ( — аЮ)] Легко понять, что функция 0 при у<х, р„(1,х,т) при х < у<юг, в<о-х 1 У(г,х;T,у) = при у>Ж является решением интегро-дифференциальных уравнений (2) и (3).
= ЛГехр( — вЛГт) / аехр(а(т — о)) Ив = о = Ф ехр ( — аМтНехр (ат) — 1], (8) По формуле (7) легко последовательно найти рз(0,0, т), рз(0,0, т) и т.д. и доказать, что р„(0,0, т) = Сл ехр (-аМт) [ехр (ат) — 1[". (9) Это мы предоставляем читателю. Очевидно, что при 0 < и < К вЂ” и имеет место равенство р„(1, 1о, т) = Сл о ехр ( — а(М вЂ” в)(т — 1)) [ехр (а(т — г)) — !]~.
(9') Теперь мы можем перейти к определению интересуюшей нас вероятности, которую мы обозначим через р„(1,т). По формуле полной вероятности, используя затем (9) и (9'), находим, что ог — л ро(1, т) = ~~г ро(0,0,1) р„(1, 1о, т) = б бб. Процессы с независимыми приращениями 313 В 56. Однородные случайные процессы с независимыми приращениями Мы рассмотрим теперь важный класс случайных процессов, полная характеристика которых будет дана в терминах характеристических функций.
Под однородным случайным процессом с независимыми приращениями понимается совокупность случайных величин Щ, зависящих от одного действительного параметра 1 и удовлетворяющих двум следующим условиям: 1) функция распределения величины С(8 +1э) — С(1а) не зависит от 1а (однородность процесса по времени); 2) для любых неперекрывающихся промежутков (а, Ь) параметра 1 приращения величины С(1), т. е. разности ЯЬ) -С(а) взаимно независимы (независимость приращений).
Среди однородных случайных процессов с независимыми приращениями с особой тщательностью изучались процессы броуновского движения, позднее получившие также наименование винеровскик процессов. Для процессов этого типа, помимо двух перечисленных условий, предполагаются выполненными также два следующих: 3) величины С(Г+ 1е) — С(8а) нормально распределены; 4) М[4(Ю+1а)-4(1а)] = О, 0[68+1а) — С(1,)] = с'г, гДе оз — постоЯнное. В Э 50 мы рассмотрели еще один однородный процесс с независимыми приращениями — процесс Пуассона. Прежде чем переходить к получению конкретных результатов, мы рассмотрим несколько примеров.
В этих примерах условия, о которых только что шла речь, могут быть приняты в качестве рабочей гипотезы. Естественно, что их допустимость оправдывается только согласием выводов с опытом. Пример 1. Диффузия газов. Рассмотрим молекулу некоторою газа, движущуюся среди других молекул того же газа при условиях постоянных температуры и плотности.
Введем в пространстве декартовы координаты и станем следить, как изменяется с течением времени одна из координат избранной молекулы, скажем, коорлината х. Вследствие случайных столкновений данной молекулы с другими молекулами эта координата будет изменяться во времени, получая случайные приращения. Требование постоянства условий, в которых находится газ, очевидно, означает собой однородность изучаемого процесса во времени. Ввиду большого числа движущихся молекул и слабой зависимости их движения процесс оказывается с независимыми приращениями.
Пример 2 Скорости молекул. Рассмотрим снова молекулу некоторого газа, движущуюся в объеме, наполненном молекулами того или иного газа постоянной плотности и температуры. Отнесем снова все пространство к декартовым осям координат и будем следить, как изменяется 314 Глава 10. Теория стохастическик процессов со временем компонента скорости по одной из осей координат.
В своем движении молекула будет подвергаться случайным столкновениям с другими молекулами. Вследствие этих столкновений компонента скорости будет получать случайные приращения. Мы снова имеем однородный случайный процесс с независимыми приращениями. Пример 3. Радиоактивный распад. Известно, что радиоактивность вещества состоит в том, что его атомы превращаются в атомы другого вещества, выделяя при этом значительное количество энергии. Наблюдения над сравнительно большими массами радиоактивного вещества показывают, что распад различных атомов происходит независимо друг от друга, так что числа распадов атомов в неперекрывающиеся промежутки времени независимы между собой. Кроме того, вероятности того, что за промежуток времени определенной длины произойдет некоторое число распадов, зависят от длины этого промежутка и практически не зависят от того, где во времени он расположен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
