Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Обозначим через А; событие х; < ( < х;+». В силу расширенной аксиомы сложения имеем: Р(В) = ~, Р(ВА») = сз» Р(В)Ае)(Р(х» »ь») — Р(х;)~. ° =-ео »=-ое Станем теперь подразделять интервалы (хн хьь») на более мелкие таким образом, чтобы максимальная длина получившихся интервалов стремилась к нулю. В силу определения условной вероятности и интеграла Стилтьеса отсюда получаем: Р(В) = Р(В)х) ая(х).
В частности Ф(р) = (и < р) = 1 Ф(р1х) бй'(х). (1) Если существует плотность распределения вероятностей величины у), то »р(у) = / Р(р)х) ае'(х), (1') где»р(р)х) — условная плотность распределения величины у). ») Этот предел существует почтя для всех значениЯ я в смысле меры, определяемой фупяппей Р(х). б 52. Условные функции распределения и формула Байеса 295 Пример.
В качестве примера использования формулы (1) рассмотрим следующую задачу теории стрельбы. При стрельбе по некоторой цели возможны ошибки двоякого рода: 1) в определении положения цели и 2) ошибки выстрела, происхоляшие от большого числа различных причин (колебания в величине заряда в снаряде, неправильности обточки стакана снаряда, ошибки в наводке, незначительные колебания атмосферных условий и т.д.). Ошибки второго рода носят название технического рассеивания. Производится и независимых выстрелов при одном фиксированном определении положения цели. Требуется определить вероятность хотя бы одного попадания в цель.
Ради простоты мы ограничимся рассмотрением одномерной цели размера 2а, а снаряд будем считать точкой. Обозначим через у(х) плотность вероятностей положения цели и черезгр;(х) плотность вероятностей для точек попадания э-го снаряда. Если центр цели находится в точке л, то вероятность попадания в цель при э-м выстреле равна вероятности попадания в интервал (л — а, «+ а), т.е. равнац э-~-а гр;(х) г1х.
Условная вероятность промаха при э-м выстреле при условии, что центр цели находится в точке л, равна е+а 1 — грг(х) дх. Условная вероятность промаха при всех и выстрелах (при том же условии) равна ееа П( — 1' гэ зг*) гчы е-о Отсюда заключаем, что вероятность хотя бы одного попадания, при условии, что центр цели находится в точке к, равна зеа - П ( 1' гт*зе*) гым э-о В Мы полагаем при этом, что опрелеление положения пели и техническое рассеивание независимы. 296 Глава 10. Теория стокестическик процессов Безусловная вероятность хотя бы одного попадания в пель (по формуле (1)), таким образом, равна 2+О '= 1' 2О)['-П (' — 1 ь)'*)] '" 2=! 2-О 2+Π— УУО)[' — (' — У2Ф *) 1 *.
Пусть по-прежнему (см. с. 294) А; обозначает событие х; < С < хььн Согласно классической теореме Байеса Р(А2) Р(В[А2) Р(А;[В) = Если Р(х) = Р(С < х) и Р(С < х[В) имеют непрерывные производные по х, то, пользуясь теоремой Лагранжа, получаем: о'(Х22)Р(В[А;) Р(А2[В) = р1(х2[В)(х;+~ — х;) = (х2 2ы — х;), Р(В) где х, < х; < х;+ы х, < х,л < хг+н В пределе, когда х; -г х, х2 ы -г х, получаем р(х)Р(В[х) или р(х) Р(В [х) "(*["- Х Р(В[*)р(*) * Это равенство естественно назвать формулой Бойесо. Пусть теперь событие В состоит в том, что некоторая случайная величина 21 принимает значение между у — а и у+ )9 и условная функция распределения Ф(у[х) величины 21 имеет при каждом х непрерывную плотность р„(у1х). Тогда, как зто следует из равенства (2), если 1 Р(В[х) при а и )з„стремящихся к нулю, равномерно относитель- )3+ а но х стремится к рч(у[х), то имеет место равенство (2) Р(х)Рч(У[х) ) р„(у[х)р(х) Нх Эта формула будет нами широко использована в следующей главе.
Если условия стрельбы не изменяются от выстрела к выстрелу, то 1о2(х) = Р(х) (( = 1, 2,..., и) и, следовательно, 297 б 53. Обобщенное уравнение Маркова В 53. Обобщенное уравнение Маркова Мы перейдем теперь к изучению случайных процессов без последействия, ограничиваясь при этом лишь простейшими задачами. В частности мы будем предполагать, что множество возможных состояний системы есть множество действительных чисел.
Таким образом, для нас случайным проиессом будет совокупность случайных величин с (!), зависящих от одного действительного параметра Е Мы будем называть параметр ! временем и говорить о состоянии системы в тот или иной момент времени.
Полную вероятностную характеристику процесса без последействия мы получим, задав функцию Р(1, х; т, у), равную вероятности того, что в момент т случайная величина г(т) примет значение, меньшее у, если известно, что в момент ! (! < т) имело место равенство С(!) = х. Дополнительное знание состояний системы в более ранние чем ! моменты времени лля процессов без последействия не изменяет функцию Р(1, х; т, у).
Отметим теперь некоторые условия, которым должна удовлетворять функция Р(1, х; т, у). Прежде всего для нее, как для функции распределения, должны быть при любых х, ! и т выполнены равенства: 1) !пп Р(1,х;т,у) =О, 1пп Р(1,х;т,у) = 1; к-> — Оэ х-~.!.00 2) функция Р(1, х; т, у) непрерывна слева относительно аргумента у.
Предположим теперь, что функция Р(1, х; т,у) непрерывна по $, т и по х. Рассмотрим моменты времени $, в, т (! < а < т). Так как из состояния х в момент ! система переходит в момент а в одно из состояний интервала (г, х + г!х) с вероятностью о,Р(1, х; в, х), а из состояния л в момент а переходит в состояние, меньшее у, в момент т с вероятностью Р(в,х;т,у), то согласно формуле (1) предыдущего параграфа находим, что Р(1,х;т,у) = / Р(а,х;т, у) г1,Р(1,х;в,х). Полученное равенство естественно назвать обобщенным уравнением Маркова, так как оно представляет собой распространение равенства (1), 9 17 теории цепей Маркова на теорию случайных процессов и в этой теории играет столь же важную роль, как упомянутое тождество в теории цепей Маркова.
Вероятность Р(1, х; т, у) определена пока только для т > !. Дополним это определение, приняв ! О при у<х, 1пп Р(1,х;т,у) = 1пп Р($,х; т„у) = Е(х, у) = г-нч-о ' ' ' с-~т-о ' ' " ' 1 1 при у>х Если существует плотность д 7(1,х;т,у) = — Р(1,х;т,у), ду 298 Глава 10. Теория сгохвстических процессов то для нее выполняются следующие очевидные равенства: Т'(1, х; т, в) г(» = Р(С, х; т, р), Т(С, х; г, х) с(х = 1. Для этого случая обобщенное уравнение Маркова должно быть записано в таком виде: Я,х;т,р) = / у(в,в;г,р)Т(б,х;в,х)гсх. 954. Непрерывный случайный процесс. Уравнения Колмогорова Мы скажем, что случайный процесс С(С) непрерывен, если за малые промежутки времени лишь с малой вероятностью с(1) может получить заметные по величине приращения.
Более точно, случайный процесс С(С) непрерывен, если, каково бы ни было постоянное о (о > О), имеет место соотношение 1!т — / г(рР(С вЂ” сзг(, х; С, р) = О. 1 ы- в СЬС (у-в(>б Наша ближайшая задача состоит в выводе дифференциальных уравнений, которым при выполнении некоторых условий удовлетворяет функция к'(С, х; т, р), управляющая непрерывным случайным процессом без последействия. Эти уравнения впервые строго были доказаны А. Н.
Колмогоровым (хотя второе из них и встречалось до этого в работах физиков) и носят название уравнений Колмогорова. Мы предположим, что 1) частные производные дР(С,х;т,р) дзЩ,х;т,р) 'д.' ' и дхз существуют и непрерывны при любых значениях С, х и т > С; 2) каково бы ни было б > О, существуют пределу> 11ш — / (р — х) врР(С вЂ” гдС, х; С, р) = а(Е, х) (2) 1 ы-оБ (р-а/сб з1 При некоторых досзагочно пеших предположениях А.
Н. Колмопгров доказал сушесгвование пределов а(С, в) и Ь(С, и). Наглядный смысл функций а и Ь мы выясним в конце параграфа. 554. Непрерывный случайный процесс гйй и предел !пп — / (у — х) г1тР(1 — Ь1,х; 1, у) = Ь(1, х), (3) 1 ы оБ,/ !у-к)<б и эта сходимость равномерна относительно х. Левые части равенств (2) и (3) зависят от б.
Эта зависимость, однако, в силу определения непрерывности процесса (т.е. в силу (1)) является лишь кажущейся. Первое уравнение Колмогорова. Если глолько чгло сформулированные условия 1) и 2) выполнены, гло функция Р($, х; т, у) удовлеглворяет уравнению дР(1,х;т,у) дЩ,х;т,у) Ь(1,х)д~Р(1,х;т,у) И ' дх 2 дхз Доказательства. Согласно обобщенному уравнению Маркова Р(1 — ах!, х; т, у) = Р(1, »; т, у) б,Р(1 — г3 т, х; т, »). Кроме того, в силу свойств функции распределения, Р(1, х; т, у) = / Р(1, х; т, у) г(,Р(1 — Ы, х; 1, »).
Из этих равенств заключаем, что Р(! — гзг, х; т, у) — Р(1, х; т, у) ~И 1 Г = — 3 '!Р(1 ' у) — Р(1 х' у)) а.Р( — ~1,х;1, ). — и,/ По формуле Тейлора при сделанных нами предположениях имеет место равенство дР($, х; т, у) Р($,»;т,у) = Р(1,х;т,у)+(» — х) + дх 1 здзР(1,*;, у) 2 +-(» — х) ' ' ' +о((» — х) ). 2 дх' Последующие аналитические преобразования не требуют пояснений: Р(! — Ы,х;т, у) — Р(1,х; т, у) Ы 1 — / (Р($,»;т,у)-Р($,х;т,у))Й,Р(1-Ы,х;1,»)+ »х1 !а-л!>6 + — 1 (Р(1,»;т,у)-Р(1,х;т,у))г1,Р(! — Ь1,х;$,») = 1 и,)' !к-я!<Ь ЗОО Глава 10.
Теория стокастическик процессов — / (2т(б,л;т,р) — Р(б,х;т,р))й,Р(1 — бай!,х;1,к)+ 1 и / !я-к!>б + ° — / (к — х) б(,Р(1 — Ггб, х;1, к) + дР(б,х;т,р) ! Г дх 'Ы / й-т~<б + — ° — / 1(а-х) +о((л — х) )] гб,Щ-б)б,х;1,к). (5) 1дзу(1 х.т р) ! б. 2 2 дх 'Б / й — к!<б Перейдем теперь к пределу положив Ы -+ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
