Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В действительности, конечно, по мере умень- щения массы вещества его радиоактивность постепенно убывает. Однако лля сравнительно небольших промежутков времени (и не слишком больших количеств вещества) это изменение настолько незначительно, что им вполне можно пренебрегать. Легко привести большое число других примеров, где интересуюшее нас явление природы или технический процесс может рассматриваться как однородный процесс с независимыми приращениями. Укажем дополнительно на такие примеры: космическое излучение (число космических частиц, попавших за определенный промежуток времени на определенную плошадку), обрывность пряжи на ватере, загрузка телефонистки (число вызовов абонентов, поступающих за определенный промежуюк времени) и пр.
Перейдем теперь к выявлению характеристического свойства однородных случайных процессов с независимыми приращениями. Обозначим функцию распределения приращения величины с(1) за промежуток времени т через к (х, т). Тогда, если промежутки времени т! и тз не пересекаются, то Р(х; т, + тз) = / к (х — у; т,) !1гк (р; тз). (1) Если Т" (х, т) — характеристическая функция, т.е. если Т(к, т) = / ехр (гхх) !1,к'(х; т), то равенство (1) в терминах характеристических функций принимает следующий вид: Т(л; т! +т!) = 1(л'т!) ' Т(л'тз). (1') Вообще, если интервалы времени т„тм..., т„не пересекаются, то О бб.
Процессы с независимыми приращениями 315 я В частности, если т =тз — —... — — т„и 2 ть =т,то ь=! у(зт) = у з;— Таким образом, функция распределения любого однородного случайного процесса с независимыми приращениями безгранично делима. Нужно отметить, что к рассмотрению безгранично делимых законов распределения в теории вероятностей пришли благодаря изучению однородных процессов с независимыми приращениями.
Мы видели, что теория безгранично делимых законов распределения оказала решающее влияние на развитие классических задач теории вероятностей по суммированию случайных величин. Если раньше, как мы указывали, интересы исследователей были сосредоточены на определении наиболее широких условий, при которых имеют место закон больших чисел и сходи мость нормированных сумм к нормальному закону, то после того как А. Н. Колмогоровым был полностью охарактеризован класс законов, управляющих однородными случайными процессами без последействия, естественно возникли те общие задачи, которые были рассмотрены в предыдущей главе. Оказалось при этом, что основные законы распределения, которые раньше получались как асимптотические, в теории случайных процессов играют роль точных решений соответствующих функциональных уравнений.
Более того, эта новая точка зрения позволила выяснить причины, в силу которых в классической теории вероятностей рассматривались только две предельные функции распределения — нормальный закон и закон Пуассона. Поскольку при произвольном т > 0 для однородных процессов с независимыми приращениями 1(з„т) = [7(з, 1)1 то они полностью определяются заданием характеристической функции величины С(1) — С(0). В Э 43 мы видели, что для безгранично делимых законов с конечной дисперсией 1 1пуг(з,!) = гул+ / (ехр((лц) — 1 — (зц) —, ИС(и), (2) где у — действительное постоянное, а С(и) — неубывающая функция с ограниченным изменением. Мы ограничимся рассмотрением этого частного случая однородных процессов.
Ввелем в формуле (2) такие обозначения: ч Г 1 М(ц) = / — аС(з) для ц < О, Г 1 Л(и) = / — Иб(з) для ц > О, /* 316 Глава 1О. Теория сгоквсгическик процессов о' = С(+0) — С( — 0); тогда она примет следующий вид: о ог г 1и 1я(л, 1) = зтл — — + / (ехр (1 еи) — 1 — зли) ЙМ(и) + 2 + / (ехр ((ли) — 1 — рви) г(!!1(и).
(2') о Выясним теперь теоретико-вероятностный смысл функций М(и) и К(и). В $ 43 при выводе формулы канонического представления безгранично делимых законов мы ввели функцию и С„(и) = п / х г1Ф„(х). Положим Г 1 М„(и) = / —, вС„(х) = пФ„(и) для и < 0 1 2!Г„(и) = / — ггС„(х) = п[1 — Ф„(и)] для и > О.
ч Из того, что при и -г оо в точках непрерывности функции С(и) С„(и) -+ С(и), мы по второй теореме Хаяли делаем вывод, что в точках непрерывности функции М(и) М„(и) = пФ„(и) -+ М(и). С точки зрения случайных процессов, Ф„(х) (х < 0) есть вероятг" 1г 1г+ 1! ность того, что величина С(т) за промежуток ~ —, — ! изменения параметра т получит отрицательное приращение по абсолютной величине, большее, чем х.
Таким образом, М„(х) есть сумма по всем я от 0 до п — 1 вероятностей того, что величина с(!) получит отрицательное приращение скачками по абсолютной величине, большими, чем х, г'й й+1! за промежутки ~ —, — у! изменения параметра т. Поскольку М(и) и ДГ(и) являются пределами при и -+ оо соответственно функций М„(и) и лг„(и), то они получили название функций скачков. 5 56. Процессы с незеенснмымн приращениями 317 Если М(ц) = 0 (для ц < 0) и )тГ(ы) = 0 (для и > 0), т.е.
функции скачков отсутствуют, то из формулы (2') видно, что в этом случае стохастический процесс управляется нормальным законом. Мы видим, что случайный процесс, управляемый нормальным законом, является непрерывным в смысле теории вероятностей. Мы докажем теперь более сильное утверждение. Теорема.
Для того чтобы однородный случайный процесс с независимыми приращениями и конечной дисперсиейь) упраалялся нормальным законом т), необходимо и достаточна, чтобы при произвольном е > 0 вероятность тога, чта максимальное значение абсолютной величины /)с — 1 )с "т приращений с(т) за прамезкутки ~ —, — ( (й = 1, 2,..., и) преп 'и( ! в) взойдет е, стремилась к нулю вместе с— Доказательство. Мы только что видели, что однородный случайный процесс с независимыми приращениями управляется нормаяьным законом тогда и только тогда, когда при х > 0 (3) М(-х) = !)»(х) ш О. Так как М(ц) = !пп М„(ц) и )Т(о) = йш зтГ„(ц), то условие (3) равносильно следующему: !)гл пФп( — ц) = 1пп п[1 — Ф„(о)[ = О.
(4) /1с — 1 й'ь Обозначим пРиРащение с(т) в интеРвале [ —, — ! чеРез Оп», тогда Рай = Ф„(-г)+ ! — Ф„(с+О) = Р([й„ь[> г). Очевидно, что соотношения (4) эквивалентны такому: 1пп ~~з рд = О. а=! Из неравенств и и г '-»' ."сПО- ~с (-г. [с' к=~ к=~ ь=~ Ь) Теорема верна и Оез допуьчения конечной дисперсии. П В частности, нормальным законом с дисперсией О, т. е.
законом вида Р!х) = О при х<а, Р!х) =! при х>о. а) Таким образом, пропессы, управляемые нормальным законом, и только они, являются равномерно непрерывными» в смысле теории вероятностей. З1В Глава 10. Теория стохастичаских процессов мы видим, что соотношения (4) равносильны утверждению, что которое означает, что вероятность осуществления неравенств )(и) < е лля всех й (1 < л < п) при и -+ оо стремится к единице. Иначе говоря, мы доказали, что соотношения (3) имеют место тогда и только тогда, когда при и -г оо Р( щах К„ь~ > с) -г О, !<а<в что и требовалось доказать.
В 57. Понятие стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о корреляционной функции Процессы марковского типа или, иначе, процессы без последействия, изученные нами в предыдуших параграфах, ни в какой мере не исчерпывают всех запросов естествознания к теории вероятностей. В самом деле, во многих случаях прошлые состояния системы оказывают весьма сильное влияние на вероятности ее будущих состояний, и пренебрегать этим воздействием прошлого нельзя даже при приближенной трактовке вопроса.
Принципиально положение может быть исправлено изменением понятия состояния системы путем введения новых параметров. Так, например, если бы изменение положения частицы в явлениях диффузии или броуновского движения мы стали рассматривать как процесс без последействия, то это означало бы, что мы при этом не принимаем в расчет инерцию частицы, которая, само собой разумеется, в этих явлениях играет существенную роль. Введение в понятие состояния, помимо координат частицы, ее скорости в приведенном примере исправило бы положение. Однако существуют случаи, когда такое исправление никакого облегчения при решении поставленных задач не дает. В первую очередь здесь следует указать на статистическую механику, в которой указание на положение точки в той или иной ячейке фазового пространства дает только вероятностное суждение о будущем ее состоянии.
При этом ознакомление с предыдущими положениями точки существенно меняет наши суждения относительно ее будущего. В связи с этим А.Я. Хинчин выделил важный класс случайных процессов с последействием, так называемые стационарные процессы, однородно ведущие себя во времени. Стохастический процесс С(г) называется стационарныи, если распределение вероятностей для двух конечных групп переменных ((1~), ((1з),... ..., с(С,) и с(С~ +и), с(аз+ и), ..., с(г„+и) совпалают и, значит, не зависят от и. Числа п и и, а также моменты времени 1н 1з,..., 1„могут быть при этом выбраны совершенно произвольно. 0 57.
Стационарный процесс. Теорема Хннчнне 319 К стационарным процессам приводит, например, изучение ряда акустических явлений, в том числе встречающихся в радиотехнике (случайные шумы), а также разыскание скрытых периодичностей, интересующее астрономов, геофизиков и метеорологов. Часто в установившемся технологическом процессе легко подметить явления, протекающие по схеме стационарных процессов. Для примера рассмотрим процесс прядения. Значительная неоднородность свойств прядильных материалов (ллина волокон, их крепость, величина поперечного сечения н пр.), колебания в скорости и равномерности подачи продукта на машинах в различные этапы процесса прядения и многие другие причины приводят к тому, что свойства пряжи меняются от одного сечения к другому При этом оказывается, что знание того или иного свойства пряжи в какой-либо одной части мотка не дает нам полного знания ее свойств в другой его части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
