Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Действительно, для доказательства первой половины теоремы достаточно обнаружить, что если существует интеграл А, то имеет 325 О 58. Спектральное разложение если только шах (гИ» Ьву) -+ О. Таким образом, при пцп (ш, и) ~ оо М(,тт — .Тв)2 -т О. Для доказательства второй части теоремы заметим, что г в зз в и М]Ч „у(1!)Е(1!)ги~ = м, ','! У(1;)У(,)Е(1;)Е(~у)си;ь~у = з=! у=! з=! в в = ,"! ~ У(1!)У(ту)Л(1! - ту)ист5т,", у=! з=! при шах тл1! -! О последняя часп равенств стремится к А.
Наряду с только что введенным понятием стохастического интеграла можно рассматривать также стохастичгский интеграл Стилтьеса, который мы определим как предел сумм в ~~', У(1л) Ы(1л) — 1(1л-!)] (3) л=! при !пах(1! — 1! !) -+ О. Здесь по-прежнему а = 1в < 1! « ... (в вв Ь и предел понимается в смысле (1).
Если предел сумм (3) существует, то мы станем обозначать его символом ь ~(1) юХгс(1). а В конце предыдущего параграфа мы сформулировали теорему Слуцкого, выясняющую связь между стационарными процессами с дискретным спектром и рядами Фурье со случайными некоррелированными коэффициентами. Можно доказать, что для каждого стационарного в широком смысле процесса имеет место следующее свойство: каковы бы ни были е > О и (скаль угодно большое) Т, существуют такие попарно некоррелированные случайные величины Сл, т)л (1 < й < и) и такие вещественные числа Л» (1 < Ь < и) !в1, что при любом 1 из сегмента — Т <1 < Т выпОлняется неравенство и т М [٠— ~~! (~к соз Лл1+ т1л з1п Лл1)~ < е.
и=! Отсюда, в частности, следует, что в указанных условиях т(с! — ~,(! Ай+с втя! )т]с — „ и=! т) где т1 — наперед заданное положительное число. Привелем без доказательства следующую важную теорему. 'с! Числа в и Лл, в тл!скс величины Гв и Чл ис зависят ст г и Т. зге Глава 1О. Теория стоквстическик процессов Теорема 2. Всякий стационарный в широком смысле случайный процесс представим в виде ((1) = / сов Л1дВ~(Л) + / тйп Л1 дВ~(Л), (4) о о где случайные процессы 21 (Л) и Вз(Л) обладают следующими свойствами: а) М~Яу(Л1+ЬЛ~) — В(Л1)1 ° '1л (Лз+гзлз)-а (Лз)~ =О, 1, з = 1,2, если 1 ф з и для неперекрывающится отрезков (Лп Л~ + 2ЗЛ~), (Лм Лз+ + Ьлз) танисе при 1 = з; й) м[я,(л+ ьл) — г,(ЛЯ' = м~я,(л+ ьл) — В,(л)~'.
Формулу (4) естественно называть спектральным разлолсвнием про- цесса С(1). Случайные процессы Я~(Л) и лз(Л) формулы (4) могут быть опреде- лены посредством равенств 1 à — гйп Л1 г,(Л) = йш — З~' ((1) д1 т 2я/ -т Т1 — со Л1 Уз(Л) = 1пп — / 4(8) Й.
т- 2к/ -т Легко доказать, что оба указанных интеграла существуют; можно также показать, что Г(Л+ АЛ) — В(Л) = м~В,(Л+ ЛЛ) — г,(ЛЯ', где У(Л) определена теоремой Хинчина. Возможность разложения (4) для произвольною стационарного в широком смысле случайного процесса была указана в 1949 г. А. Н. Колмогоровым.
Этот результат им формулировался в терминах геометрии гильбертовских пространств и доказывался посредством спектральной теории операторов. Теоретико-вероятностному истолкованию и выводу этого разложения были посвящены впоследствии работы многих авторов— Г. Крамера, К. Карунена, М.Лоэва, Бланк-Лапьера и др. е 59. Эргоднческаи теорема Бнркгофа-Хннчнна В 1931 г. американский математик Георг Биркгоф доказал одну общую теорему механики, которая, как показал через три года А.Я.
Хинчни, допускает широкое теоретико-вероятностное обобщение. Эта теорема состоит в следующем: если непрерывный стационарныи процесс С(1) имеет О 59. Эргодичвсквя теорема Биркгофв — Хинчинв 327 конечное математическое ожидание, ао с вероятностью единица суьцеству- еа нредел 1 Г 1пп — / С(!) а!. т ~Т о Стационарность процесса предположена здесь в узком, а не в широком смысле этого слова.
Так как это предложение представляет собой своеобразную форму усиленного закона больших чисел, то мы докажем ее с целью непосредственного продолжения формулировок главы б не лля процессов, а для стационарных последовательностей. Теорема. Для стационарной яоследовательносаи случайных величин ",4-н1о,6,", для которых Мру конечно, носледовааельность средник арифметических с вероятностью единица сходится к пределу.
Доказательство. Введем обозначение Ь = (о+4о+~+ +4Ь оь— Ь вЂ” а Нам требуется показать, что с вероятностью единица величины Ьм при Ь -ь оо стремятся к пределу. Обозначим случайное событие, состояшее в сушествовании этого предела, буквой К. Нам нужно доказать, что Р(К) =! или, что то же самое, Р(К) = О. Предположим обратное, что событие К (т.е. что величины Ьоь при Ь -ь оо не сходятся к пределу) имеет положительную вероятность и покажем, что это предположение приводит к противоречию.
С этой целью рассмотрим все сегменты (а„,)~„) с рациональными концами он < )1„. Множество всех таких сегментов счетно. Если 1пп Ьоь не сушествует, то найдется такой сегмент (а„, !з„), для которого ь-но 1пп ЯзР Ьоь > )У„и 1пп !пГ Ьщ < оо (событие К„). Таким обРазом, собыЬчоо ьтие К влечет за собой сумму событий К„.
Так как по предположению Р(К) > О, то найдется такое и, что Р(К„) > О. Таким образом доказано, что если Р(К) > О, то существуют два числа а и б (а < р), для которых одновременно выполняются неравенства 1пп оир Ьоь >,б, Ь-~оо 11ш 1пГЬоь < а. ь-ню вгв Глава 1О. Теория сгохасгических процессов Предположим теперь, что все с приняли какие-то определенные значения. Если сегмент (а, Ь) таков, что Ь,о > )з, но при всех (г', для которых а < Ь' < Ь, Ь,в < р, то этот сегмент назовем особым (относительно Д).
Легко обнаружить, что два особых сегмента не перекрываются. Действительно, если два особых сегмента (а, Ь) и (ан Ь|) таковы, что а < а~ < Ь < Ь|, то из равенства (а~ — а)Ьмч + (Ь - а~)Ьмо Ьаь— Ь вЂ” а и неравенства Ь.о > Д вытекает, что или Ь, > )У, или Ь„о > Д.
Однако первое из этих неравенств невозможно, так как сегмент (а, Ь) особый, а второе неравенство также невозможно, поскольку сегмент (ан Ь|) особый. Разность Ь вЂ” а назовем рангом сегиенаа (а, Ь). Если сегмент (а, Ь) является особым, имеет ранг, не превышающий в, и не заключен ни в одном сегменте ранга, не превышающего в, то такой сегмент назовем в-особым. Так как среди особых сегментов, заключающих в себе произвольный сегмент (а,ф) ранга, не превышающего в, и имеющих также ранг, не больший в, должен найтись хотя бы один наибольшей длины, то если бы таких сегментов нашлось два, они перекрывались бы, что по ранее доказанному невозможно. Таким образом, каждый особый сегмент ранга, не большего в, может находиться внутри только одного в-особого (или же совпадать с ним).
Из определения следует, что два в-особых сегмента могут лежать только один вне другого. Обозначим через К, событие, состоящее в том, что выполнены неравенства (1) и, кроме того, существует такое 1 < в, что Ьм > 13. Так как К является пределом для событий К„то Р(К) =!нп Р(К,). Отсюда следует, что для всех достаточно больших в имеет место неравенство Р(К,) > О. Далее мы ограничимся рассмотрением только таких значений в. Пусть событие К, имеет место. Тогда среди тех 1 < в, для которых Ьы > р, существует наименьшее 1'. Сегмент (0,1') — особый. Следовательно, он заключен в некотором в-особом сегменте (а, Ь) (или же сам является таковым), для которого а < 0 < Ь.
Верно и обратное: если существует в-особый сегмент (а, Ь), для которого а < 0 < Ь, то существует такое 1 < в, что Ьы > )у. Для а = 0 это очевидно: достаточно положить 1 = Ь. Если же а < О, то из равенства — аЬоо + ЬЬоо ао— Ь вЂ” а и неравенств Ь,о > ф, Ь,о < ф вытекает Ьоо > ф. Таким образом, и в этом случае можно положить 1 = Ь. Обозначим — а через р, Ь вЂ” а через д. Так как в-особый сегмент (-р, -р + с) может существовать только один, то событие К, разбивается на несовместимые случаи К,, соответствующие наличию в-особых 9 59.
Эргоднческая теорема Бнркгафа — Хннчнна 329 сегментов (-р, -р + Ч): К Ч~~~~К (Ч вЂ” 1 З ... 8, ре 01,...,Ч 1) Р,д Замена нумерации последовательности д' = д + р переводит случай Ко в случай К . Поэтому в силу стационарности ц1 Р(Кр ) = Р(Ко ) и М(Со[Кто) = МЯр[Ко ). Так как Р(К )М((~[К ) = ~~~ Р(К )М(сео(К ) = ~ Р(Ко ) ~~У М(сер[Ка ) = р,д д р Р(Код) М(ЧИод [Код) то, приняв во внимание, что в случае Ко имеет место неравенство Иод > )у, находим Р(К~)М(в»о[К~) > ~~У Р(Ко )Чьн Б ~~У Р(К ) ьнР(К ) д р,д Отсюда, так как по предположению Р(К,) Р О, то М(со[Ка) > Ф.
Так как К, о К, то М(бо[К) > )З. Подобным же способом (если бы рассматривали особые сегменты относительно а) можно доказать, что М((о[К) < а. Мы пришли к противоречию. Отсюда вытекает, что Р(К) = О, что и требовалось доказать. Исследование того, чему равен предел, к которому стремятся величины Ио„при и -у оо, требует предварительных рассуждений. Мы ограничимся здесь доказательством одного предложения на зту тему. Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
