Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Во-вторых, длительность разговора ие постоянна, а меняется в зависимости от случая. Мы предположим, что имеется и равноправных линий связи у каждого из абонентов и если хотя бы одна из иих свободна, то соединение наступает мгновенно. Каждая линия доступна для любого требования, каждое требование обслуживается лишь одной из линий. Вероятность того, что вызов от какого-то абонента поступит в промежуток времени от С до С+ Ь, равна ЛЬ+ е(Ь). Если в момент С заняты Ь линий, то вероятность того, что к моменту С + Ь освободиться одна из иих, равна ЬиЬ + е(Ь). Мы находимся в условиях теории процессов гибели и размножения.
В нашем случае Л» = Л, ик = Ьи при 1<Ь<а и и» = 0 при Ь > и. Система обслуживания может находиться лишь в состояниях Ео, Еп Еы..., Е„. Уравнения (1) и (2) для нашей залачи записываются в следующем виде: ро(С) = -Лро(С) + ир1(С), (8) 288 Глава ! О. Теория стохестических процессов откуда находим, что яир» = Лр»-! й = 1, 2, ", и. Простые преобразования приводят нас к равенствам Р» / Лз Р» Ро ">1 Р й! 3,-' )' Теперь (11) позволяет найти нормируюший множитель ре.' ° =~ЫГ Окончательно: р» = — ~~~~ — ~, 0 < й < и. »со Эти формулы были найдены Эрлангом и носят название 46ормул ЭР- лаига; они находят широкое применение в задачах телефонии. При 7» = и мы получаем вероятность того, что все линии заняты и, следовательно, вероятность того, что вновь прибывшее требование будет потеряно.
Таким образом, вероятность получить отказ равна Для иллюстрации быстроты потерь с увеличением р (загрузка, приходящаяся на одну линию равна р/и) приведем небольшие таблички (табл. 15). При зтом мы ограничимся случаями и = 2 и и = 4 и такими значениями р, при которых в соответствуюших колонках приходятся одинаковые загрузки на прибор.
Таблица 1$ 2,0 1,0 0,3 4,0 3,0 0,5 0,1 0,0769 0,0335 0,6054 0,5294 0,2000 0,4000 0,0045 и=4 2,0 8,0 6,0 0,2 0,6 1,0 4,0 0,5746 0,0952 0,3 107 0,4696 0,000! 0,0030 0,0154 Из табл. 15 замечаем, что при малых загрузках увеличение числа приборов сушественно уменьшасг вероятность потерь. Например, при б 61.
Процессы гибели и размножения 209 и = 2 и р = 1,0 вероятность потери равна 0,20, а при и = 4 и р = 2 соответствующая вероятность будет только 0,09. По мере же возрастания загрузки на один прибор вероятности потерь постепенно выравниваются и, например, при р = 4 и и = 2 вероятность потери равна 0,6054, а при и = 4 и р = 8 эта вероятность равна уже 0,5746, т.е.
различие наступает только во втором знаке. Вернемся к некоторым общим результатам теории процессов гибели и размножения, но изложим их без доказательств. В случае процесса чистого размножения система уравнений (1), (2) разрешалась очень просто путем последовательного интегрирования, поскольку дифференциальные уравнения имели вид простых рекуррентных соотношений. Общие уравнения имеют иную структуру и последовательное определение функций рк(г) уже невозможно. В настоящее время условия существования и единственности решений этой системы хорошо изучены в работах Феллера, Рейтера, Кардина и Мак-Грегора.
Оказалось, что равенство рк(1) = 1 Кьа имеет место при всех 1, если расходится ряд (12) Если вдобавок сходится ряд л; '.у. П вЂ”,',' к=! !=! то при всех 1 существуют пределы (14) рк = !пп рк(1). к-ко Это условие, в частности, выполнено во всех случаях, когда, начиная с некоторого 1гш выполняется неравенство л — < а < 1. ик+! Интуитивно это условие ясно: оно означает, что скорость поступления требований в систему не должна превышать скорости их обслуживания. Для вычисления пределов (14) действует следующее простое правило: нужно составить и решить систему алгебраических уравнений, получающуюся из системы (1), (2) путем замены рк(1) на рк и подстановки 0 вместо р!к(1). Эта система, следовательно, имеет следующий вид: -Лоро + и!р! = О, †(Лк + ик)рк + Лк-!рк-! + ик+!Рк.к! — — 0 (й > !).
Ю Курс чавкни мрапнасткк Тлава 10. Теория стокастическик процессов Обозначения л» = — Л»Р»+ Я»ч~р»чп й = О, 1,2,. обрашают записанную алгебраическую систему в следующую: к» ~ — х» =0 (при я>1). лв = О, Из нее вытекает, что при всех й Следовательно, » Л„, 'Л;, Р» = — Р»-~ = Ц вЂ” Рь. я» . И 1=! (15) Постоянное рь определяется из условия нормировки 2 р» = 1: »ьа (16) ,» Р» = —,Ро и при й>п Очевидно, что в полученных формулах содержатся найденные нами ранее формулы Эрланга. Пример 3.
Обслуживание с очередью. На и одинаковых приборов поступает пуассоновский поток требований с параметром (интенсивностью) Л. Требование, поступившее на какой-либо прибор, требует для своего обслуживания случайного времени с распределением вероятностей Н(х) = 1-ехр (-их). Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно начинает обслуживаться немедленно. Если же все приборы заняты, то вновь поступающие требования становятся в очередь. Если имеется очередь, то после окончания обслуживания прибор немедленно переключается на обслуживание очередного требования из очереди.
Требуется найти вероятности пребывания в системе того или иного числа требований. Мы находимся в условиях теории процессов гибели и размножения. Для нашей задачи Л» = Л при всех й, и» = Ь прн л ( и и и» = пи при Й>п. Согласно формулам (15) и (!6), стационарные решения для нашей задачи имеюттакой вид: при Й(п 291 О 51. Процессы гибели н размножения где р = Л/и.
Постоянное рь определяется равенством Если р < и, то »ьа Если же р > и, то ряд, стоящий в скобке, расходится и рь = О. Из только что написанных формул мы заключаем, что р» = 0 при всех Ь. Этот результат очень важен; словами его можно сформулировать так: если р > и, гао очередь на обслумсивание неограниченно растает со временем.
Пример 4. Обслуживание станков бригадой рабочих. бригада из т рабочих обслуживает и однотипных станков. Каждый из этих станков в случайные моменты времени может потребовать к себе внимания рабочего. Станки выходят из рабочего состояния независимо друг от друга; вероятность выхода из рабочего состояния за промежуток времени (1,1+ Ь) равна ЛЬ+ о(Ь).
Вероятность того, что за время (1,1+ Ь) будет завершено восстановление рабочего состояния станка равна иЬ + о(Ь). Каждый рабочий одновременно может восстанавливать только один станок; каждый станок восстанавливается только олним рабочим. Найти вероятность того, что в установившемся процессе обслуживания в данный момент будет простаивать заданное число станков. Обозначим через Е» событие, состоящее в том, что в данный момент неисправны Ь станков. Очевидно, что наша система может находиться только в состояниях Е»,Ен...,Е„.
Легко понять, что мы имеем дело с процессом гибели и размножения, для которого Л» = (и — Ь)Л при 0<Ь<п, Л»=0 при Ь>п; и»= Ьи при 1 <Ь<г ни» =ги при Ь>г. Формулы (15) и (! 6) приводят к равенствам: при 1 < Ь < г (р = Л/и) и! Р» = Ь~( Ь)!Р Рь приг<Ь<п и! » р» „-»„~(„дур рь г и — ! и! и! »~ Ь!( -Ь)Р ~ г™г( — Ь)Р1 '»=ь ' ' »=г ь~ В частности, при г = ! и! Р»=( )Рро 292 Глава 10. Теория сгохастичесхик процессов Проиллюстрируем полученные формулы простым числовым расчетом. Пусть обслуживание 8 стаиков поручено двум рабочим. Как рациональнее организовать работу: поручить ли все станки бригаде из двух рабочих или же каждому из рабочих поручить по четыре определенных станка? Вычисления проведены в предположении р = 0,2.
Результаты собраны в табл.16 и 17. Таблица 16 и=8 г=2 Таблица 17 п=4 г=1 Среднее число станков, простаивающих по той причине, что рабочие заняты восстановлением других станков, равно к (й — 2)р» = 0,3045. кьо Среднее время простоя станков (восстановление и ожидание начала обслуживания) равно йрк = 1,6875 к=! 0 62. Условные функции распределения и формула Байеса 293 Средняя длительность свободного времени рабочих равна 2 0,2048 + 1 . 0,3277 = 0,7373.
Иными словами, каждый рабочий свободен от работы в течение 0,3686 доли рабочего дня. Среднее время непроизводительных простоев станков (ожндание начала восстановления) 1 0,1914+ 2 0,0760+ 3 0,0153 = 0,3893. Вся группа из восьми станков потеряет при этой второй системе организации работы 0,7886 рабочих дня, т.е. потеря времени на ожидание ремонта возрастет более чем вдвое (в первой системе она равна 0,3045 рабочих дня). Общая потеря времени 4 станками на ожидание и ремонт равна 1 ° 0,3189+ 2 0,1914+ 3 0,0760+ 4 ° 0,0153 = 0,9909.
Все восемь станков теряют, таким образом, 1,9818 рабочих дня (против 1,6875 при первой системе организации работы). Несмотря на то, что станки простаивают при второй системе организации труда больше, рабочий в среднем свободен от работы больше, а именно 0,3984 доли рабочего дня (было 0,3686 доли рабочего дня). Приведенные примеры показывают, что развитая теория позволяет проводить полезные предварительные расчеты и выбирать более разумные приемы работы. В 52. Услоаные функции распределения и формула Байеса Для дальнейших выводов нам необходимо обобщить понятие условной вероятности, введенное в первой главе, на случай бесконечного множества возможных условий.
В частности, нам нужно ввести понятие условной функции распределения относительно случайной величины. Рассмотрим некоторое событие В и случайную величину ( с функцией распределения Р(х). Обозначим через А д событие, состоящее в том, что х — а(6<х+ф. В силу определения первой главы Р(ВА В) = Р(А д) Р(В!А В) = (Р(Х+)5) — в(Х вЂ” а)!Р(В!А,В), откуда Предел Р(ВА д) юд- о л(х+)5) — в(х — а)' 294 Глава 1О. Теория стокасгическик процессов если он существует '), называется условнои вероятностью события В при условии, что С = х, и обозначается символом Р(В)х). Очевидно, что Р(В)х) при фиксированном х будет конечно-алдитивной функцией события В, определенной на некотором поле событий.
При некоторых условиях, которые практически всегда оказываются выполненными, Р(В)х) будет обладать всеми свойствами обычной вероятности, удовлетворяющей аксиомам 1-3 48. Если у) — случайная величина и В означает событие у) < у, то функция Ф(р)х) = Р(у) < р)х), которая, как легко видеть, будет функцией распределения, называется условной функцией распределения величины у) при условии, что С = х. Очевидно, что если Р(х, у) есть функция распределения пары случайных величин ( и у), то Р(х + )3, р) — л'(х — а, р) Ф(р)х) — 1пп о.р- о Р(х+)3, оо) — Р(х — а, со) ' если только этот предел существует. Если функция Р(В)х) интегрируема относительно я(х), то имеет место формула полной вероятности Р(В) = / Р(В)х) дя'(х). Для доказательства этой формулы мы разделим промежуток изменения величины ( точками х; (у = О, х1, щ2,...) на интервалы х; <С < х;»».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
