Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Характеристическая функция суммы Я„„„равна ф„(ц = х ~р„у(у„(с))з, у=о где р„у —— Р(и„= у). Положим А„(х) = Р(и„< х). Тогда очевидно, что ф„(1) = у„'(1) г(А„(я), о Пусть теперь А„(х) = Р( — <х = А„(й„х). ~ нн 270 Глава 9. Теория безгранично делнмык законов распрвлалення Тогда фв(1) = / [Увь(1)~ «.4в(«) а В математическом анализе известна теоремае), согласно которой, если последовательность равностепенно ограниченных непрерывных функций д„(х) сходится к функции д(х) во всех точках прямой, а монотонные ограниченные функции Н„(х) при всех х сходятся к функции Н(х), то при и -а оо д„(х) АН„(х) -) / д(х) АН(х).
о о В силу этой теоремы и условий (1) и (2) теоремы переноса при и -1 оо фв(1) -1 / 9)з(1) дА(«). о Теорема доказана. Укажем теперь некоторые следствия из теоремы переноса. Следствие 1. Пуста функция Ф(х) — безгранично делима и 97(1) — ее характеристическая функция; тогда функция ф(1) = 1 1 — 1и 5о(1) яеляется также характеристической (и, как позднее будет показано, такзке безгранично делимой).
Действительно, мы знаем, что для любой безгранично делимой функции Ф(х) можно найти такую последовательность (/с„) и независимые величины С„», что выполняется условие (1) теоремы переноса. Выберем теперь такие и„, чтобы А(х) = 1 — ехр ( — х). Это можно сделать многими способами, например, выбрав и„распределенными геометрически с соответственным значением параметра.
Этим самым выполнено и условие (2) теоремы переноса. Тогда мы знаем, что, в силу (3), функция 1 ф($) = з[ [97(1)[* дА(«) = / ехр ( — «(! — 1п 9)(1))) д« = 1 — 1и 9)(1) в 0 является характеристической. 4) ) См. Взереесквй В. М.
О некоторых свойствах вполне аллитивных функний множества и их прелельном перехоле поп знаком инте!рапп // Изв. АН СССР Серия матам. !94Д Т. 9. С, 3! 1-320) 1947. Т. 11. С. 101-104. О 48. Суммирование в случайном числе 271 В частности, если функция Ф(х) является нормальной (1о(1) = 2 = ехр(-1»/2)), то ф(1) = . Соответствующая ей функция рас- 2+ 12 пределения Ф(х) определяется формулой 1 — ехр (х»Г2) при х ( О, Ф(х) = 1 — — ехр ( — хчГ2) при х > О. Обычно такое распределение называют распределением Лапласа. Как правило, распределение Лапласа определяют, указывая его плотность распределения.
В нашем случае она равна р(х) = ехр ( — 1к1чГ2) . Позднее мы увидим, что при А(к) = 1 — ехр( — х) распределение Лапласа при суммировании до случайного индекса играет такую же роль, как и нормальное распределение в классической постановке предельных теорем лля сумм одинаково распределенных независимых слагаемых. Следствие 2. Условия, при которых функции распределения сумм вп = (в1 + 6а + " + 6и„ одинаково распределенных независимых слагаемых сходятся к предельному распределению Ф(х), достаточны для того, чтобы функции распределения сумм св! + Спз+... + Свв сходилось к распределению Ф(х).
Следствие непосредственно вытекает из теоремы переноса. Следствие 3. Пусть (Св) — последовательность одинаково распреде- с» — а ленных независимых случайных величин и („» = —, где действи- Вв тельные постоянные а и Вп > О таковы, что функции распределения »„ сумм вп = — ~~~ (с» — а) сходятся к Ф(к). Пусть далее, выполнено Вв» условие (2) теоремы переноса. Тогда при сделанном выборе постоян- 1 ных а и Вв функции распределения сумы в„„= — ~~г (с» — а) также Вп» сходятся к предельной Ф(х).
Следствие непосредственно вытекает из теоремы переноса. Заслуживает внимания то обстоятельство, что при всех возможных предельных распределениях А(к) нормируюшие множители Вп и центрируюшие коэффициенты а могут быть выбраны раз и навсегда одинаковыми. 272 Глава 9. Теория безгранично делимых законов распределения Замечение В. Феллерв. На с. 642 второго тома замечательной книги В. Феллера «Введение в теорию вероятностей и ее приложения«(Мл Мир, 1984) имеется такое замечание: если е формуле (1) функция А(х) безгранично делима, гло и функция Ф(х) безгранично делима..
Доказательство этого факта вытекает из того факта, что если случайная величина гг с функцией распределения А(х) представима в виде суммы и = а~ + рз независимых случайных величин и! и аз, то «р(1) = (р!(1)«рт(1) из определения безграничной делимости. Упражнения 1. Доказать, что распределения а) Паскаля (упр. 1 а к гл. 5), б) Пойа (упр.! б к гл.
5), в) Коши (пример 5 82!) безгранично делимы. 2. Доказать, что случайная величина с плотностью распределения О при х< О, р(х) = !5 — х ехр( — !5х) при х > О, Г(а) где и > О, !5 > Π— постоянные, безгранично делима. Примечание. Отсюда, в частности, следует, что безгранично делимы распре- деленияя Максвелла (упр 7 к гл.
5) и распределение 3!з (б 2 1, пример 3) (при любом значении и). 3. Доказать, что каковы бы ни были постоянные а > О и )3 > О, (1) = (!+Я является безгранично делимой характеристической функцией. Примечание. Отсюда, а частности, следует, что распределение Лапласа (упр. 6 к гл. 5) безгранично делимо.
4. Найти функцию 0(х) н параметр у в формуле Колмогорова для логарифма безгранично делимой характеристической функиии дхя распределений; а) упражнения 2, б) Лапласа. 5. Доказать, что если сумма двух независимых безгранично делимых случай- ных величин распределена: а) по закону Пуассона б) по нормальному закону, то каждое слагаемое распределено в случае: а) по закону Пуассона б) по нормальному закону.
б. Найти условия сходимости функций распределения сумм случайных ве- личин, составляющих элементарную систему, к распределению: а) упражнения 2, б) Лапласа. Глава 10 Теория стохастических процессов 549. Вводные замечания Совершенствование физической статистики, а также ряда отраслей техники, поставило перед теорией вероятностей большое число новых, не укладывающихся в рамки классической теории, задач, В то время как физика и техника интересовало изучение процесса, т.е.
явления, протекающего во времени, теория вероятностей не имела ни общих приемов, ни разработанных частных схем для решения задач, возникающих при изучении таких явлений. Появилась настоятельная необходимость в разработке общей теории случайных процессов, т. е. теории, которая изучала бы случайные величины, зависящие от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров. Перечислим несколько задач, иллюстрирующих необходимость построения теории случайных процессов.
Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-либо молекулы газа или жидкости. Эта молекула в случайные моменты времени сталкивается с другими молекулами и меняет при этом свои скорость и положение. Состояние молекулы, таким образом, подвержено случайным изменениям в каждый момент времени. Многие физические явления требуют для своего изучения умения вычислять вероятности того, что определенное число молекул успеет за тот или иной промежуток времени переместиться на то или иное расстояние. Так, например, если приведены в соприкосновение две жидкости, то начинается взаимное проникновение молекул одной жидкости в другую: происходит диффузия. Как быстро протекает процесс диффузии, по каким законам, когда образующаяся смесь становится практически однородной? На все эти и многие другие вопросы дает ответ статистическая теория диффузии, в основе которой лежит теория случайных процессов, или, как принято теперь говорить, теория стокастических процессов.
Очевидно, что подобная же задача возникает в химии, когда изучают процесс химической реакции. Какая часть молекул уже вступила в реакцию, как реакция протекает во времени, когда практически реакция уже закончилась? Весьма важный круг явлений протекает по принципу радиоактивного распада. Это явление состоит в том, что атомы радиоактивного вещества распадаются, превращаясь в атомы другого элемента. Распад каждого атома происходит мгновенно, подобно взрыву, с выделением некоторого количества энергии. Многочисленные наблюдения показывают, что распад 274 Глава 10.
Теория сгохасгичвских процессов различных атомов для наблюдателя происходит в случайно взятые моменты времени. При этом расположение этих моментов времени независимо друг от друга в смысле теории вероятностей. Для изучения процесса радиоактивного распада существенно определить, какова вероятность того, что за определенный промежуток времени распадется то или иное количество атомов? Формально, если задаваться только выяснением математической картины явлений, точно так же протекают и другие явления: число вызовов, поступающих на телефонную станцию за определенный промежуток времени (загрузка телефонной станции), обрывность нитей на ватере (ватер — прядильная машина) или изменение числа частиц, находящихся в броуновском движении, оказавшихся в какой-либо момент времени в заданной области пространства.
Мы дадим в этой главе простое решение тех математических задач, к которым приводят указанные явления. К тому, с чем мы только что познакомились, добавим следующее: первые задачи физического характера, являющиеся одновременно задачами теории случайных процессов, были рассмотрены выдающимися физиками начала ХХ века.
Изложим сейчас вкратце, как, исходя из рассмотрения весьма схематической проблемы блуждания по прямой, Максом Планком и Адрианом Фоккером было получено дифференциальное уравнение теории диффузии. Пусть частица, находящаяся в момент времени 1 = 0 в точке х = О, в моменты Ьт (Ь = 1, 2,...) испытывает случайные толчки, в результате которых она каждый раз перемещается с вероятностью р на величину Ь вправо и с вероятностью д = 1 — р также на величину Ь влево.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
