Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Последний параграф главы посвящен новому направлению исследований — предельным теоремам для сумм случайного числа случайных слагаемых. В 42. Безгранично делимые законы и ик основные свойства Закон Ф(я) называется безгранично делимым, если при любом п его характеристическая функция является и-й степенью некоторой другой характеристической функции. 250 Глава 9. Теория безгранично депнмык законов распределения Исследования последних лет показали, что безгранично делимые законы играют значительную роль в различных вопросах теории вероятностей. В частности, оказалось, что класс предельных законов для сумм независимых случайных величин совпадает с классом безгранично делимых законов. Мы перейдем теперь к изложению необходимых нам для дальнейшего свойств безгранично делимых законов.
Это изложение мы начнем с доказательства того, что законы нормальный и Пуассона безгранично делимы. Действительно, характеристическая функция нормального закона, имеющего математическое ожидание а и дисперсию аз, равна уг(С) = ехр СаС вЂ” -а С у. 2 2 2 При любом и корень и-й степени из у(С) есть снова характеристическая функция нормального закона, только с математическим ожиданием а/п и дисперсией аз/п. Мы несколько обобщим встречавшееся ранее понятие закона Пуассона и скажем, что случайная величина ~ распределена по закону Пуассона, если она может принимать только значения аСс+ Ь, где а и Ь вЂ” вещественные постоянные, а Ь = О, 1, 2,... и РЯ = ай+Ь) = ехр (-Л)Л" Сс! (1) где Л вЂ” положительное постоянное.
Характеристическая функция для закона (1), как легко подсчитать, дается формулой уг(С) = ехр (Л(ехр [СаС) — 1) + СЬС). Мы видим, что при любом и корень и-й степени из 1с(С) есть снова характеристическая функция закона Пуассона, но с другими параметрами: Л 1 а, — и — Ь.
Теорема 1. Характеристическая функция безгранично делимого закона не обращается в нуль. Доказательство. Пусть Ф(х) — безгранично делимый закон и х(С)— его характеристическая функция. Тогда, по определению, при любом и мы имеем равенство Р(С) = (Р.(СИ", (2) где 1а„(С) — некоторая характеристическая функция. В силу непрерывности функции 1а(С) существует область значений аргумента 1С/ < а, в которой 1а(С) Ф О; понятно, что в этой же области 1а„(С) ~ О. При достаточно большом и мы можем величину /1о(С)/ = ~~/ЩЕ) ! сделать сколь угодно близкой к единице равномерно по С (1С/ < в). Возьмем теперь две взаимно независимые случайные величины О~ и пз, распределенные по некоторому закону Р(х), и рассмотрим их разность г1 = п1 — пз. Характеристическая функция величины и равна /'(С) = М ехр (СС(гь — гСз)) = 1М ехр (ССОР!' =!У(СК'.
252 Глава 9. Теория безгранично долимык законов распределения Доказательство. Пусть последовательность ФИ1(х) безгранично делимых функций распределения сходится в основном к функции распределения Ф(х). Тогда йщ ~Р1(!) = р(1) (3) равномерно в каждом конечном интервале !. По условию теоремы при любом и функции (под Уг~ понимается его главное значение) ре1(!) = фь1(1) (4) являются характеристическими функциями. Из (3) заключаем, что при каждом и 1пп 1о®(1) = р„(1). (5) Из непрерывности 1о„(1) следует непрерывность !оп(1).
В силу предельной рб теоремы для характеристических функций, 1о„(1) есть характеристическая функция. Из (3), (4) и (5) находим, что при каждом и имеет место равенство 1т(1) = (1рп(1))", что и требовалось доказать. В 43. Каноническое представление безгранично делимых законов Теорема 4. Дяя того чтобы функция распределения Ф(х) с конечной дисперсией была безгранично делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм ее характеристической функции имел вид 1 !п ут(1) = 171 + 1 (ехр (11х) — 1 — (1х) — 40(х), х где 7 — вещественная постоянная, а С(х) — неубывающая функция ограниченной вариации. При х = 0 подынтегральная функция считается и -!зт'2.
Доказательство. Предположим сначала, что Ф(х) — безгранично делимый закон и у(1) — его характеристическая функция. Тогда при любом и 1о(!) = Ь.(1))". В дальнейшем мы ограничимся изучением безгранично делимых законов с конечной дисперсией. Целью настоящего параграфа является доказательство следующей теоремы, найденной в 1932 г. А. Н. Колмогоровым и дающей полную характеристику интересующего нас класса законов распределения, 253 б 43. Каноническое представление где гра(1) — некоторая характеристическая функция. Так как гр(г) ф О, то это равенство эквивалентно следующему г!.
1п гр(1) = и 1п гр„(1) = и 1п (1 + (!з„(!) — 1)1 Каково бы ии было Т, при и -г оо равномерно в интервале !Ц ( Т три(!) + !. поэтому в любом конечном интервале значений 1 величина !уза(!) — 1] может быть сделана меньше любого наперед заданного числа, лишь бы и было достаточно велико. Мы можем, следовательно, воспользоваться !и [1+ (!р„(!) — 1)) = (р„(!) — !)(1+ о(!)), которое дает: 1пгр(!) = 1пп и(гр„(!) — 1) = йа и !' (ехр(з!х) — 1) ЫФи(х), (2) и-гее я-гее тле Ф„(х) — функция распределения, имеющая гр„(!) своей характеристической функцией. Из определения математического ожидания и связи между функциями Ф„(х) и Ф(х) следует, что и х г!Ф„(х) = х г!Ф(х).
Обозначим эту величину через т; тогда равенство (2) мы можем переписать в следующем виде: 1пгр(1) = зу!+ 1пп и (ехр(з!х) — 1 — з1х) г!Ф„(х). л-гсо Положим теперь С„(!) = и / и' г!Ф„(ц). Очевидно, что функции С„(х) ие убывают с возрастанием аргумента и С„(-со) = О. Кроме того, функции Си(х) ограничены в совокупности. Последнее утверждение вытекает из свойств дисперсии и связи между функциями Ф(х) и Ф„(х). Действительно, С„(+со) = и / и' г!Фи(и) = 2 1г "ге. н-(1г.гед г) ]; (~»гегг) = 'г-'т', (з) где ез — дисперсия закона Ф(х). П Логарифм здесь понимается в смысле главного значения.
254 Глава 9. Теория безгранично двпимык законов распределения В новых обозначениях м. х (см. свойство б интеграла Стилтьеса в $ 22) 1 !л!о(г) = 17!+ !!ш (ехр(!!х) — ! — Их) —, о!6„(а). о-но А Согласно перво те й среме Хеппи из последовательности функций , схо ящ я к некоторой С ( ) жно выбрать подпоследовательность, сходящуюся прерывности функций 6(х), то в силу второ теорем ,р;, — — ', „, * а -~-о) — ао(О. (ехр (!!а) — 1 — Их) —, о!6„,(а) -~ / (ехр (Их) — ! — !!а) —, о!6(х).
х' (4) Мы знаем, что ! ехр (Иа) — 1 — Их! < ! ехр(Их) — Ц + !!а! < Их! + !!х~ = 2!1~ !а1, поэтому А оо +/ (ехр(Их) — 1 — (!х) — з г(бо,(а) < — оо В А оо (Г /'' -1 Г' И*!А6 (*)<2Щ~ 1+ à — А6„(*) < аз — оо В -оо В 2ф <~~~~~/+ ~ А6„,(*)~ < — ( 46„,(*), -~о В Г = ш!п()А!,В). Так как вариации функций 6„,(х) равномерно где Г = пнп б > О, мы можем, выбирая А и В ограничены, то, каково бы ни ыло е достаточно точно большими, добиться выполнения неравенства А оо 1 е + / (ехр (Их) — 1 — Их) — г!6„(х) <— ,5, хз -оо В для всех, кл 1, заключенных в каком-либо конечно р и инте вале, и для всех !о. е > О, для всех 1, заклюИз (4) и (5) следует, что, каково бы ни было е > О, лл ченных в произвольном конечном интервал, р е, п и достаточно больших и имеет место неравенство 1 (ехр(Их) — 1 — Их) — 46„„(а) — / (ехр(Их) — 1 — Их) — 46(х) < е, х т.
е., иными словами, 1 -,'(-р('*)- -И*)-'-"(*) =Г(-р(И*~- -И*)Р "(*) 255 О 43. Каноническое представление Мы показали, таким образом, что логарифм характеристической функции любого безгранично делимого закона может быть записан в виде (1). Нам предстоит теперь доказать обратное предложение, что всякая функция, логарифм которой представим по формуле (1), является характеристической функцией некоторого безгранично делимого закона. Для любого б (О < б < 1) интеграл (6) 2!Мы только что доказали, что всякий безгранично делимый закон является либо композипией конечного числа законов Пуассона и нормальною закона, либо пределом равномерно сходяглейся последовательности таких законов.
Такии образом, мы видим, что законы нормальный и Пуассона являются теми основными элементами, из которых составлен каждый безгранично делимый закон. !/г 1 (ехр (эйх) — 1 — Юх) — г(С(х) Х2 по определению интеграла Стилтьеса является пределом сумм и ! (ехр (зйх, ) — 1 — збх,) — (С(х,+1) — С(х,)), э=1 аХй э где х1 — — б, х„+1 = 1/б, х, < х, < х, + 1, и гпах (х,+1 — х,) -+ О. каждое слагаемое этой суммы является логарифмом характеристической функции некоторого закона Пуассона. Согласно теоремам 2 и 3 интеграл (6) является логарифмом характеристической функции некоторого безгранично делимого закона.
Переходя к пределу при б — у О, мы убеждаемся, что то же самое имеет место для интеграла 1 (ехр (збх) — 1 — 1!х) — г(С(х). (7) Х2 х>0 Подобным же образом доказываем, что интеграл 1 (ехр (э!х) — 1 — Пх) — г(С(х). (8) а<0 есть логарифм характеристической функции некоторого безгранично делимого закона. Интеграл, стоящий в правой части формулы (1), равен сумме интегралов (7) и (8) и величины (71 — -! (С(+0) — С( — 0)). ! 2 2 Последнее слагаемое есть логарифм характеристической функции нормального закона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
