Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Упражнения 1. Доказать, что функции ОЭ 00 (,(С) = ~ воссо(гС, (з(С) = ~Ч а„ехР (СЛоС), к=о о=о где ао > О, 2 ао — — |, являются характеристическими. Определить соответствуюо=о щие распределения вероятностей. 2. Найти характеристические функции для соедуюших плотностей вероятностей: а а) р(х) = -ехр(-а|я|); 2 а б) р х) = „(,, .,) | О при 1х(> а, в) р(х) = а — ф — при )х! < а; аз г ах 2 о!я— г) р(х) = яах~ 232 Глава 7. Характеристические функции Замечание. Внимательный читатель заметит, что примеры а) и б), а также а) и г) являются, так сказать, обратными. 3.
Доказать, что функции 1 1 1 Р,(С) = —, Рз(С) = —, хз(С) = —, сйС' зЬС' сй'С являются характеристическими соответственно для плотностей распределения ! я х Р~(х) = — ях Рз(х) =, ях Рз(х) = ях. 2сй— 4 си~в 2зй— 2 2 2 4. Найти распределения вероятностей случайимх величин, характеристические функции которых равны а з!и аС а) созС; б) соз'С; в) —,; г) а+ СС аС 5. Доказать, что функция, определяемая равенствами а — С с(С) = — при 0<1 <а, а является характеристической.
Замечание. Характеристические функции примеров 2 г и 5 обладают следующим замечательным свойством: они совпадают при [С[ < а и различны при [С[ > а и С ~ х2а,.... Таким образом, существуют характеристические функции, значения которых совпадают в сколь угодно большом отрезке [-а, а[ и не равные тожлестаеино. Первый пример таких двух характеристических функций был указан Б.
В. Поеленко; затем М. Г. Крейн указал необходимые и достаточные условия, при которых из равенства двух характеристических функций а каком-либо отрезке [-а,а[ следует их тождественное равенство. б. Доказать, что можно найти такие независимые случайные величины 6,сз, Сз, что распределения Сз и Сз различны, а функции распределения сумм ~, + Со и (, + Со одинаковы. Указание. Воспользоваться результатами примеров 2 г и 5. 7. Пусть у(С) — характеристическая функция, равная нулю при [С[ > а.
Доказатзч что функция оз(С), совпадающая с 7(С) лля [С[ < а и ане этого отрезка пропал.кенная периодически с периодам 2а, также является характеристической. Указание. Воспользоваться теоремой Бохнера — Хинчина. й. Доказать, что если функция 7(С) является характеристической функцией, то функция Р(С) = ехр (1(С) — !) также является характеристической.
9. Доказать, что если функция /(С) является характеристической функцией, то функция г 1 Г Р(С) =- ~ С() С С о также является характеристической. 233 Уоражнения 10. Доказать, что лля любой вещественной характеристической функции х(1) имеет место неравенство ! — !е(21) < 4(1 — !э(С)), а, значит, для любой характеристической функции — неравенство ! — )Г(21)! ~ (4(1 — !Г'(1)! ). 11. Доказать, что для любой вещественной характеристической функции имеет место неравенство 1+ 1(21) > 2У(1)1'.
12. Доказать, что если Р(х) — функция распределения, а Г(1) — ее характеристическая функция, то при любом значении х верно равенство т ! Г !!ш — / Г(1) ехр (-з1х) 41 = Р(х+ 0) — Р(х — 0). т~ 2з,/ -т 13. Доказать, что если Р(х) — функция распределения, а Г(1) — ее характеристическая функция и хь — абсциссы скачков Р(х), то !пп — 1 (Г(1)! Ж = ~ ~(Р(ха+0) — Р(хь — ОЯ . т- а 2Г,г -т ь 14.
Доказать, что если случайная величина имеет плотность распределения, то ее характеристическая функция при 1-з оо стремиться к О. 15. Случайная величина С распределена по закону Пуассона; М1 = Л. Докас — Л зать, что при Л -ь оо распределение величины — стремиться к нормальному /Л с параметрами о = 0 и а' = !. 16. Случайная величина б имеет плотность распределения 0 при я<0, Р(х) = !у — х ехр [-!)х) при х > О, Г(а) где а > О. рс — а Доказать, что при а -ь со распределение величины — сходится к норз/а мальному с параметрами в = О, аз = !.
Замечание. Результаты упр. 15 и !6 позволяют при вычислении вероятностей Р(в < С < Ь) для больших значений Л (соответственно а) испольэовать таблицы нормального распределения. В частности, оказывается, что лля распределения Л~ узле при и > 30 указанное предельное распределение дает прекрасную точность. Это последнее замечание постоянно используется в статистике. 17. Доказать, что если Р(1) — характеристическая функция и функция !1(1) такова, что лля некоторой последовательности (!з„) (И„-з оо при п -ь оо) произведения Г„(1) = уэ(1)!Р((з„1) также являются характеристическими функциями, то функция уз(1) — характеристическая. Глава 8 Классическая предельная теорема 939. Постановка задачи Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа, доказанная нами в главе 2, послужила источником большого цикла исследований, имеюШих фундаментальное значение как для самой теории вероятностей, так и для ее многочисленных приложений в естествознании, технических и экономических науках.
Для того, чтобы составить себе представление о направлении этих исследований, мы придадим теореме Муавра †Лапласа несколько иную форму. А именно, если, как это мы неоднократно делали, через р» обозначить число появлений события 4 в Ь-м испытании, то число появлений события А в и последовательных испытаниях н ь равно 2; р». Далее, в примере 5 Ь25 мы подсчитали, что М 2 р» = пр »ьл »=1 н и О 2 р» = про. Поэтомутеорема Муавра — Лапласаможетбытьзаписана »=! в таком виде: при и -» оо ч (р» — мр») ь Р а «Ь -+ — зг ехр ~- — )» бх (1) ь/2яя,/ ( 2 ) ~:Ор, а и словами сформулирована так: вероятность того, что сумма уклонений независимых случайных величин, лринимаюи»их два значения О и 1 с вероятностями, соответственно равными а и р = 1 — а (О < р < 1), от их математических озкиданий, деленная на квадратный корень из суммы дислерсий слагаемых, будет заключаться в лределах от а до Ь, нри увеличении числа слагаемых до бесконечности, равномерно относительно а и Ь ь стремится к интегралу — / ехр ~- — ~ ах.
з/2я 2 ь Естественно возникает вопрос: насколько тесно связано соотношение (1) со специальным выбором слагаемых р», не будет ли оно иметь место и при более слабых ограничениях, наложенных на функции распределения слагаемых? Постановка этой задачи, а также ее решение являются, в основном, делом П.Л. Чебышева и его учеников А.А.
Маркова и А. М.Ляпунова. Их исследования показали, что на слагаемые 9 39. Постановка задачи 235 следует наложить лишь самые общие ограничения, смысл которых состоит в том, что отдельные слагаемые должны оказывать незначительное влияние иа сумму. В следующем параграфе мы дадим точную формулировку этого условия. Причины, в силу которых зти результаты приобрели огромное значение в приложениях, лежат в самом существе массовых явлений, изучение закономерностей которых, как мы говорили ранее, и составляет предмет теории вероятностей. Одной из важнейших схем, по которой идет использование результатов теории вероятностей в естествознании и технике, состоит в следующем.
Считают, что процесс протекает под влиянием большого числа независимо действукицих случайных факторов, каждый из которых лишь ничтожно мало изменяет течение явления или процесса. Исследователь, интересующийся изучением процесса в целом, а ие действием отдельных факторов, наблюдает лишь суммарное действие этих факторов. Приведем два типичных примера.
Пример б Пусть производится некоторое измерение. На результат неизбежно действует большое количество факторов, порождающих ошибки в измерении. Сюда относятся ошибки, вызванные состоянием измерительного прибора, которое может нечувствительно изменяться под влиянием различных атмосферных или механических причин. Сюда относятся личные ошибки наблюдателя, вызванные особенностями его зрения или слуха и также могущие незначительна изменяться в зависимости от психического или физического состояния наблюдателя, и т.д. Каждый из этих факторов породил бы ничтожную ошибку. Но иа измерении сказываются сразу все эти ошибки, наблюдается «суммариая ошибка», Иначе говоря, фактически наблюдаемая ошибка измерения будет случайной величиной, являющейся суммой огромного числа ничтожных по величине и независимых между собой случайных величин.
И хотя эти последние неизвестны, так же как неизвестны их функции распределения, их влияние иа результаты измерений заметно и поэтому должно быть подвергнуто изучению. Пример 2. В процессе массового производства, существующего во многих отраслях промышленности, изготовляются большие партии одинаковых предметов. Обратим внимание иа какую-нибудь числовую характеристику интересуюшего иас продукта. Поскольку это изделие находится в соответствии с техническими нормами, существует некоторая нормальная величина избранной нами характеристики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
