Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Многомерные «ерактерисгические функции 225 ПРИМЕР 4. ГОВОРЯТ, Чта П-МЕРНаЯ СЛУЧайНаЯ ВЕЛИЧИНа (С!,Сг,...,бя) имеет невыражденнае (собственное) п-мернав нормальное распределение, если ее плотность распределения имеет вид 1 12(Х! Хг . °, Хп) — С ЕХР чг(Х!, Х2 ° ° °, Хя) 2 где Ю(х!,хг,".,хя) = ~~;Ь|,(х; — сч)(х, — а,) з,г — положительно определенная квадратичная форма, С, а; и Ь;. действительные постоянные. Несложные подсчеты показываютз>, что С = (з/2« Гит/Р, где Ьн Ь„...ь,я Ьг! Ью "° Ьгя Ья! Ьп2 ...
Ьвя Обозначим через Р; минор Р, соответствующий элементу Ь;., тогда М~ = а, а' = Ц = — ' (т' = 1, 2,..., п), г г Р М((! — а!)((г — а ) Рб г; = = (», у = 1, 2, ..., п). ' г зуР'РР22 Определитель Р и главные миноры его положительны. Обычными подсчетами легко проверить, что характеристическая функция величины (с! сг "° .си) равна и и и гк,ь.....к!ю г('г,ч1з — -г г,;,чая).
2 г'= ! ь=! г=! Таким образом и-мернаг нормальное распределение вполне определяется заданиемматеиатическага агкидания и дисперсии. Из выражения для характеристической функции п-мерной нормально распределенной случайной величины мы видим, что распределение величины (сг, сг, ",сгз) при любых 1 < з! < зг « ... зя < п будет Ь-мерным нормальным распределением. з! Обычный прием при подобного рода подсчетах заключается в том, что заменой переменных приводят форму !2 к сумме квадратов и все вычисления производят в новых переменных.
З КЭРс зееряя ВФРОазвееня гге Глава 7. Характеристические функции 5 38. Преобразование Лапласа — Стилтьесв Для случайных величин, которые принимают только неотрицательные значения, во многих случаях предпочтительнее, чем характеристическими функциями, пользоваться преобразованиями Лапласа — Стилтьеса. Пусть случайная величина С вЂ” неотрицательная и Р(х) — ее функция распределения. Преобразованием Ланласа — Стилтьеса для Р(х) называется интеграл Г" (в) = ехр (-вх) гСР(х). -о Преобразование Лапласа — Стилтьеса обладает рядом полезных свойств, в значительной мере повторяющих свойства характеристических функций.
1. Преобразование Лапласа — Стилтьеса является аналитической функцией в правой полуплоскости; для него нечетные производные отрицательны, а четные — положительны. 2. Г(О) = !. 3. Функция распределения однозначно определяется по своему преобразованию Лапласа — Стилтьеса. 4. Чтобы последовательность функций распределения сходилась в каждой точке непрерывности, необходимо и достаточно, чтобы последовательность их преобразований Лапласа — Стилтьеса сходилась равномерно в каждом конечном отрезке аргумента.
5. Преобразование Лапласа — Стилтьеса суммы независимых случайных величин равно произведению преобразований Лапласа — Стнлтьеса слагаемых. (ОО(О) ( !)л ~" хн Щх) -о Приведем преобразования Лапласа — Стилтьеса лля некоторых распределений. 1. Единичное распределение: Р(х) = О при х < а и Р(х) = 1 при х > а; У(С) = ехр ( — ав). 2. Показательное распределение: Р(х) =! — ехр (-Лх) при х > О; У(.) = „,',.
С)а а — ! 3. Гамма-раснределение: Р(х) = ехр ( †!дх), а и Š— положи- Г(а) тельные постоянные; !3а У(в) = ггу б 38. Преобразование Лапласа — Стилтьасз Л" ехр ( — Л) 4. Распределение Пуассона: рн —— , !с = О, 1, 2, Ы Г(з) = ехр (-Л(! — ехр ( — з)0. 5. Геомегприческое распределение: рн = Р(С = Ц = урн, ?г = 0,1, Проиллюстрируем использование теории преобразований Лапласа— Стилтьеса на примере одной технической задачи.
В современном инженерном деле одним из важнейших свойств технических систем принято считать их высокую надежность, т.е. способность длительное время выполнять без ущерба для дела положенные рабочие функции. Для увеличения надежности технических устройств используется широкий спектр мер, в том числе так называемое резервирование с восстановлением. Предположим, что А~ представляет собой какой-нибудь элемент технической системы (или саму систему в целом).
Для увеличения его надежности мы подключаем точно такой же элемент Аз, который принимает на себя рабочие функции в момент, когда А1 исчерпывает свой рабочий ресурс (отказ элемента А~ ). В момент отказа А~ немедленно 1) А~ отправляется на ремонт (восстановление рабочих функций) и 2) подключается в работу элемент Аы который и берет на себя всю рабочую нагрузку. Спрашивается, какой эффект дает резервирование (введение дополнительного элемента Аз) и восстановление отказавших элементов, если после ремонта восстановленный элемент немедленно передается в резерв? Для решения этой задачи нам придется сделать некоторые предположения. А именно мы предположим, что !) длительность безотказной работы элемента представляет собой случайную величину с функцией распределения с (х); 2) оба элемента А1 и Аз обладают одинаковыми техническими данными и после ремонта полностью восстанавливают свои рабочие свойства; 3) длительность восстановления г! является случайной величиной с распределением С(х); 4) отказавший элемент после отказа немедленно начинает ремонтироваться; после восстановления элемент немедленно переходит в резерв.
Обозначим через ~ длительность безотказной работы пары элементов А~ и Аз и через Ф(х) ее функцию распределения. Заметим, что под безотказной работой пары элементов мы понимаем период от начаяа работы до момента, когда оба элемента окажутся в состоянии отказа. Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы вывести уравнения лля неизвестной функции Ф(х).
Нам будет удобно искать не функцию Ф(х), а функцию Ф(х) = ! — Ф(х). (И вообше, для функции распределения Р)(х) введем обозначение Рс(х) = 1 — Рг(х) = Р(с ) х).) ггв Глава 7. Характеристические функции Событие (' > х может наступить двумя принципиально различными способами: во-первых, может случиться, что элемент А~ сам проработает время большее, чем х, а, во-вторых, А~ может отказать до момента х, но система, состоящая из А1 (отправленного на ремонт) и Аз (взявшего на себя нагрузку), проработает безотказно оставшееся до момента х время. Обозначим через й(и) вероятность того, что только что описанная система проработает безотказно время, большее и. Собрав все вместе, мы получаем следующее равенствгя Ф(х) = Р(х) + й(х — з) АР(з).
о (2) Полученного равенства для решения стоящей перед нами задачи недостаточно, поскольку при его составлении мы ввели дополнительную неизвестную вероятность ы. Для ее определения составим новое уравнение. Найдем й(х). Здесь также можем случиться, что интересуюшее нас событие может наступить двумя различными путями: описанная нами система проработает больше, чем время х, поскольку элемент А, проработает время, большее х; элемент Ат откажет до момента х, но до этого момента будет восстановлен элемент А~ и система, состоящая из отказавшего элемента Аг и вступившего в работу отремонтированного элемента Аы проработает по меньшей мере до момента х.
Сказанное приводит нас к равенству х й(х) = Р(х) + й(х — «)0(з) г(Р(з). о (3) Для решения полученных уравнений мы воспользуемся преобразованиями Лапласа — Стилтьеса. С этой целью введем в рассмотрение преобразования В терминах этих преобразований уравнения (2) и (3) принимают следующий вид: у(в) = ~(з)й(з), й(з) = у(в) — д(в) + й(в)д(в). Из них находим р(з) = 1(з) 1 — д(з) го(з) = ехр (-вх) АФ(х), о й(в) = / ехр (-вх) Йи(х), о У(в) = ехр ( — зх) ЙР(х), о (в) = 1 т (- )Их~) г(Р(х) о б 38.
Преобразование Лапласе — Сгилгьесе 229 Формально задача решена, поскольку мы нашли преобразование Лапласа — Стилтьеса распределения Ф(х) и, значит, по формуле обращения можем найти и саму функцию Ф(х). Однако полученный результат позволяет получить многочисленные следствия, иа которых мы остаиовимся. Мы сейчас ограничимся определением средней длительности Т безотказной работы системы с резервом. Из формулы (4) находим х'(в) ~'(в) У'(з) — у'(з) д'(в) р(з) у(в) у(з) — у(в) 1 — у(в) Отсюда, положив з = О, приходим к равенству х'(О) = У'(О) 1+, Но мы знаем, что Т = Мь = -вг'(0), а = / х ЫГ(х) = — ~'(0) о и что о = 1 — у(0)= 1Ях) вз'(х) о есть ии что иное как вероятность того, что ллительиость восстановления окажется больше, чем длительность безотказной работы злемеита.
Таким образом. (5) Т=а 1+— Из этой формулы мы видим, что среднюю длительность безотказиой работы дублированной системы можно повысить двумя различными путями: 1) увеличивать среднюю длительность безотказиой работы элементов; 2) уменьшать продолжительность ремонта. Как правило, первый способ достается большой ценой, тогда как второй — нуждается только в хорошей организации работ.
К тому же ои приносит, как это видно из формулы, более ощутимые результаты; особенно, если а а О, т.е. если ллительиость восстановления оказывается, как правило, меньше длительности безотказной работы элемеита. Предположим теперь, что мы совершенствуем процесс восстаиовлеиия и иа и-й стадии достигаем функции распределения С„(х) такой, что а„~ О, ие обращаясь при этом в О. Докажем, что если математическое ожидание длительности безотказной работы элемента конечно и равно а, а а„-г О, то имеет место 230 Глава 7. Характеристические функции следующее предельное соотношение: Р~ — > в — > ехр(-х) при в>0 (и-+ со).
ьк '(Т„ к е Т„ Т„ следующим образом: Но очевидно, что 1 †— — 7'(0) -к 7'(0) = а (и — > со). 8 Т„ Т„ Ясно, что Т» У Т а Т - 1 Т р" Т =а! 1+ У вЂ” ' -у„ Теперь Иными словами, мы докажем, что асимптотически длительность безотказной работы рассматриваемой системы двух элементов имеет показательное распределение.
Согласно сформулированным нами свойствами преобразований Лапласа — Стилтьеса нам следует показать, что преобразование Лапласа— Стилтьеса для величины ~„(Т„стремиться к 1/(1+ в). С этой целью преобразуем выражение 231 Упражнения Оценим интеграл, стояший в правой части последнего соотношения, С этой целью разобьем его на два слагаемых: о В первом слагаемом воспользуемся неравенством ! — ехр ( — х) < х, а во втором — неравенством 1 — ехр (-х) < 1. В результате получим, что .1~ ( вх 1| вз/т„Г 1 — ехр( - — у) (1-г „(х))гСР(х)< " / (1-бо(х))гСР(х)=о(оо), о и о о вх) з (|--( — 1)|-а.оз |чо/о- .| о о|= м ( т„)) Собрав все оценки вместе, окончательно получаем (8'11 |в.(х — ) = — (1+ (1)) "~т„) -1+в что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
