Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В действительности же наблюдается некоторое отклонение от этой нормальной величины. При правильно поставленном процессе производства такие отклонения могут вызываться лишь случайными причинами, каждая из которых производит лишь незаметный эффект. Суммарное же их действие производит заметное уклонение от нормы. Подобных примеров можно привести сколько угодно.
Таким образом, возникает задача изучения закономерностей, свойственных суммам большого числа независимых случайных величин, каждая их которых оказывает лишь малое влияние иа сумму. Этому послед- гЗВ Глава 8. Классическая предельная теорема нему требованию мы придадим позднее более точный смысл. Вместо того чтобы изучать суммы очень большого, но конечного числа слагаемых, мы будем рассматривать последовательность сумм со все большим и большим числом слагаемых и считать, что решения интересующих нас задач даются предельными функциями распределения для последовательности функций распределения сумм.
Такого рода переход от конечной постановки задачи к предельной является обычным как для современной математики, так и для многих отделов естествознания. Итак, мы пришли к рассмотрению следующей задачи: дана последовательность взаимно независимых случайных величин 6ь2" Ч о которых мы предположим, что они имеют конечные математические ожидания и дисперсии. В дальнейшем мы станем придерживаться следующих обозначений: о»=Мс» Ь»=Г>с» В хх~ Ь»=0 > 2 2 Ч~ 2 »=! »=! Спрашивается, какие условия нужно наложить на величины С», чтобы функции распределения сумм в — (с» — а») (2) Вв 1, сходились бы к нормальному распределению? В следующем параграфе мы увидим, что для этого достаточно выполнения условия Пиндеберга: при любом т > 0 в —,Е 1 ! — Гхх.!1=0.
в ~вв Вв в »-! !х-ай!>хе где В»(х) обозначает функцию распределения величины С». Выясним смысл этого условия. Обозначим через А» событие, состоящее в том, что !С» — а»~ > тВв (Ь = 1, 2,..., и) и оценим вероятность Р( шах К» — а»~ > тВв). !<»<в Так как Рз п!ах )(» — а»~ > тВ„) = Р(А! + А2 +... + Ав) (!<»<в Р(А! + А2+ " ° + Ав) (~ ~~1, Р(А»), 237 О 40.
Теорема Пиндеборгв то, заметив, что Р(Ай) = НЕй(х) < — 1 (х — ай) ИЦх), (тВп)т,/ ~х-вй>тв„ ~х-хв~>тв„ находим неравенство и т( ь — г> в„1~ —,,г 1 ( — .гвтл ~. й~<й<п л тзВпз „, (х-вв)>тв„ 940. Теорема Лиидеберга Мы начнем с доказательства достаточности условия Линдеберга. Теорема. Если последовательность нвзависимьи случайных величин 6 сз ° ° °,(„,... при любом постоянном т > О удовлетворяет усло- вию Линдвберга и —, К 1 ( — д' втх ) = .
и-твь Вз " йвп )х-пй>тв то при и -ь со равномерно относительно х и х Ы~« — ").Ы - 1--'*'1" ° йви -СО Доказательство. Для краткости введем обозначения (пй = —, Е.й(х) = РИпа < х) с» — ай Очевидно, что 1 Жпй = ВзО6 М4пй = О, и, следовательно, и Оспй — 1. йво (2') В силу условия Линдеберга, каково бы ни было постоянное т > О, последняя сумма при и — ь со стремится к нулю. Таким образом, условие Линдеберга представляет собой своеобразное требование равномерной 1 малости слагаемых — (С» — ай) в сумме (2). В„ Отметим еще раз, что смысл условий, достаточных для сходимости функций распределения сумм (2) к нормальному закону, был вполне выяснен уже исследованиями А.А.
Маркова и А. М. Ляпунова. 239 б 40. Теорема Линдеберга Пусть е — произвольное положительное число; тогда очевидно, что х «рйй(х) = / х «Кя(х) + / х «Ж~(х) ~ (е + / х «рйй(х). Щсе !й!>г !Х!)Е Последнее слагаемое может быть, согласно (1'), при достаточно больших и сделано меньше, чем е'. Таким образом, для всех достаточно больших и равномерно относительно !й (1 < !г < и) и ! в любом конечном интервале !Ц < Т ~у„й(!) — ц < е'Т'.
Отсюда мы заключаем, что равномерно относительно Й (1 < й < и) 1пп Уюй(1) — ! (4) и что для всех достаточно больших и при 1, лежащих в произвольном конечном интервале (Ц < Т, выполняется неравенство 1 1У„й(1) — Ц < †. (5) Мы можем, следовательно, в интервале /Ц < Т написать разложение (!п обозначает главное значение логарифма) я и 1пу! (!) = Е1пЬй(!) = Е1п [1+(У й(!) — 1)1 = й=! й=! в = ~.
"(Ьй(!) - 1) +Л., (6) й=! где .=Ы(," (ч. (!)- )' й=! =з В силу (5) ~~- 'ь.~ 2 2 Л~-' 1- ! — 1 1, 1 !У й(!) — Цз Так как п и ~~', /2Уй(8) ц = ~~> / (ехр (й2х) — 1 — Йх) «Р'„й(х) < й=! й=! г 82 < — ~~! / х~ «Р„й(х) = — , то !з !йг„! < — шах 1У„й(1) — Ц.
2 !<й«п 240 Глава 8. Классическая предельная теорема Из (4) вытекает, что равномерно относительно ! в произвольном конечном интервале Щ <Т, при п -+ ос В -тО. (Е) Но « !' ~т (У» (!) !) +р.. (8) где !т р„= — + ~~у / (ехр (тйх) — 1 — (!х) ЫР«к(х). 2 В=! Пусть с > 0 произвольно; тогда в силу (2') г у (т!х)з! Р, = ~~' / ~ехР (х!х) — ! — Хйх — — ) ттл«к(х) + Щ<Е «е4тт РЕРР Е Р й )РР ЬЕ 2 )Х)>Е Неравенства (3) и (3') позволяют получить следующую опенку: (Р«! < — ~~Р / )х(з е!л„к(х) + 8~ ~е ~ х е!Р«ь(х) < 6 „,,/ к=! )Х)>Е ~!р « < — ° е ~~Р, / х~ ы„к(х) + !~ ~ ~/ х~ е(Р«к(х) = 6 )Х)ДЕ к~ !х!>е — с+ ! ~1 — — е) ~~е ) х е(Р„к(х).
6 )„ !Х~>Е Согласно условию (!) второе слагаемое при любом е > 0 может быть сделано ано меньше любого т! > О, лишь бы и было достаточно большим. А так как е > 0 произвольно, то мы можем его выбрать настал ько малым, чтобы, каковы бы ни были т! > 0 и Т, для всех 1, заключенных в интервале Щ < Т, выполнялось неравенство ~ф«! < 2т! (п>тьо(е,т),Т)). Это неравенство показывает, что равномерно в каждом конечном интервале значений ! !нп р„= О. (9) «-РЕ« 241 Ь 40.
Теорема Лнндебергв Собрав вместе соотношения (б), (7), (8) и (9), мы получаем окончательно, что равномерно в каждом конечном интервале 1 1» йпх 1п 1о„(1) = — —. а-ка " 2' Теорема доказана. Следствие. Если независимые случайные величины (н(з,...,(„,... одинаково распределены и имеют конечную, отличную от нуля диспер- сию, то при п -+ оо равномерно по х ( 1 Рт, — ~~», (С» — МС») < х) -ь — / ехр 1' — — ) Иг. Ва» ) ч(2~г ~ 2 ) Доказательство.
Нам лостаточно проверить, что при сделанных пред- положениях выполнено условие Линдеберга. С этой целью заметим, что в нашем случае Вх хх Ьх/и, где Ьз обозначает дисперсию отдельного слагаемого. Положив МС» = а, мы можем написать следующие очевидные равенства: и — 1 (х — а) дЕ»(х) = .й / 1х — а1>хВ„ (х- а) дй'~(х) = — ~ (х — а) дЕ,(х). 1 з Ьз 1х-а1>хВ„ 1х-а1>хВ„ а — М(~» — а»1'+' -ч 0 й" »ао (10) то при и -ь оо равномерно по х а х Ы~«- ")- ' У-(-Й" Доказательство.
Нам снова достаточно проверить, что условие Ляпунова (условие (10)) влечет за собой выполнение условия Линдеберга. В силу предположения о конечности дисперсии и ее положительности заключаем, что интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, стремится к нулю, когда и -ь оо. Теорема Ляпунова. Если для последовательности взаимно независимых случайных величин (н Сз,..., Сх,... можно подобрать такое положительное д > О, что при и -ь оо 242 Глава 8.
плассическая предельная теорема Но зто ясно из следующей цепочки неравенств: ч — (х — аь) бишь(х) < й 1л-а1>ьВ„ ч 1 ч Лх,( »1Х вЂ” ан»»З+б блн(Х) 2+б 1 ь=» ч»т ч) ь и т В»»+ 1х-а»1>»В 541. Локальная предельная теорема Мы приведем теперь достаточные условия для применения другой кнассической предельной теоремы — локальной теоремы.
При атом мы ограничимся рассмотрением только случая взаимно независимых слагаемых, имеющих одно и то же распределение вероятностей. Условимся говорить, что дискретная случайная величина ~ имеет решетчатое распределение, если существуют такие числа а и Ь > О, что все возможные значения (' могуг быть представлены в виде а+ ЬЬ, где параметр Ь может принимать любые целые значения (-со < Ь < со).
К решетчатым относятся, например, распределения Пуассона, Бернулли и др. Выразим теперь условие решетчатости распределения случайной величины С в терминах характеристических функций. С атой целью докажем следующую лемму, Лемма. Для того чтобы случайная величина ( имела решетчатое распределение, необходимо и достаточно, чтобы при некотором 1 ~ О модуль ее характеристической функции был равен единице.
Доказательство. Действительна, если ( распределена решетчато и рь есть вероятиость равенства ( = а+ ЙЬ, то характеристическая функция величины ( равна У(8) = ~~» рьехр (»1(а+ЬЬ)) =ехр((аб) ~» рьехр((ИЬ). ь= — ь» ь=-т Отсюда иаходим, что .а1 б ( — ) =ехр ~2хб — ~ ~~ рьехр(2хбй) =ехр~2хб — ). (Ь~ ~ Ь|„ Ь) Мы видим, таким образом, что для каждою решетчатого распределения — = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
