Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Из теоремы 2 следует, что функция !0(!), представимая формулой (!), является характеристической функцией некоторого безгранично делимого законаз!. Нам остается теперь убедиться, что представление 1п!0(1) формулой (1) единственно, т.е. что функция С(х) и постоянное у однозначно определяются заданием ггэ(1). 266 Глава 9. Теория безгранично делимык законов распределения Путем дифференцирования формулы (1) находим, что яг 1п,(1) 1 ехр(г1х),бП(х) бгз (9) Из теории характеристических функций мы знаем, что функция С(х) яз в этой формуле однозначно определяется через — 1п1я(1). В процессе бгз доказательства теоремы мы видели, что постоянное у является математическим ожиданием и, значит, также однозначно определяется посредством функции у(1).
Отметим, наконец, вероятностный смысл полной вариации функции 6(х). Мы знаем, что если случайная величина С распределена по закону Ф(х), то (см. (5) в 32) У уз О~ = — ~ —, 1п р(г)1 из (9), следовательно, вытекает, что Ос = бС(х) = С(+ос). В качестве примеров мы приведем каноническое представление нор- мального закона и закона Пуассона. Для нормального закона с дисперсией е' и математическим ожида- нием а 1 0 для х<0, у=а и С(х)=~ ~о лля х>0.
Действительно, эта функция и постоянное у приводят к данному закону, так как 1 (ехр (Йх) — 1 — 11х) — юИ(х) = хз ехр ((1и) — 1 — 11н 12е2 = 1пп (С(+0) — С(-0)] = — —, и->О я2 2 а в силу единственности канонического представления другие функ- ции С(х) не могут дать нормального закона. Подобным же способом легко убедиться, что закону Пуассона с ха- рактеристической функцией 1я(1) = ехр (Л(ехр (11а) — 1) + (Ь1) соответствует функция С(х) с единственным скачком в точке а: ( 0 при х< а, (аЛ при х>а и у =Ь+аЛ. й 44.
Предельная теорема для безгранично далимых законов 257 544. Предельная теорема для безгранично делимых законов Мы уже знаем, что если последовательность безгранично делимых законов распределения сходится к предельному закону распределения, то этот предельный закон сам является безгранично делимым. Теперь мы укажем условия, при выполнении которых данная последовательность без- гранично делимых функций распределения будет сходиться к предельной. Теорема б.
Дчя того чтобы последовательность (Ф„(х)) безгранично делимых функций распределения сходилась при и -р со к некоторой функции распределения Ф(к) и дисперсии их сходились к дисперсии предельного закона, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие постоянное 7 и функция С(х), для которых при и -+ оо 1) Сй(к) сходится в основном к С(к) (-оо < к < +со), 2) Сй(оо) + С(со) 3) 7й +7 где у„и С„(х) определяются формулой (1) З43 для закона Ф„(х), а постоянное 7 и функция С(х) определяют по той псе формуле предельный закон Ф(х). Доказательство.
Достаточность условий теоремы является непосредственным следствием второй теоремы Хелли. Действительно, из условий теоремы и формулы (1) э 43 следует, что при и -+ со 1и 1о,(1) -+ 1и чу(1) равномерно в каждом конечном интервале 1. В предыдущем параграфе мы видели, что интегралы / аС„(и) и / ЫС(п) равны дисперсиям законов Ф„(х) и Ф(х); поэтому второе условие теоремы есть ие что иное как требование сходимости дисперсий. Пусть теперь иам известно, что при и -+ со Ф„(х) -р Ф(х) и дисперсии законов Фй(х) сходятся к дисперсии предельного закона Фй(к). Мы докажем, что эти требования влекут за собой выполнение условий теоремы. В отношении условия 2, как мы только что заметили, это ие требует дополнительных рассуждений. Отсюда следует, что полные вариации функций С„(и) ограничены в совокупности.
Мы можем, следовательно, воспользоваться первой теоремой Хеппи и из последовательности функций С„(п) выбрать подпоследовательиость С„,(в), сходящуюся при й -+ оо к некоторой предельной функции С„(в). Паша цель состоит в том, чтобы доказать равенство С (и) = С(и). 9 Курс парий ййраятностйй 5 44. Предельная теорема для безгранично делнмык законов 259 или 1 1!из з7щ+ (ехр(Ии) — ! — Ии) — з(С„,(и) ю-кю 'З ./ !из ! = з7+ / (ехр(а!и) — 1 — Ии) — бС(и). (6) !из Из неравенства 1!из ) ехр (Ии) — 1 — зТи) <— и ограниченности в совокупности полных вариаций функций С„,(и) заключаем, что при ! -~ О 1 (ехр (Ии) — 1 — Ии) — дСю,(и) < !из 1 !2и2 < ! г (ехр(з1и) — 1 — Ии) — з1С(и) ~ О равномерно по и. Поэтому при 1-+ О (6) дает 11пз 7щ =7, а, с другой стороны, по (2) и (7) 1 !пуз(!) = з71+ / (ехр(Ии) — 1 — а!и) —, оС (и).
В силу единственности представления безгранично делимых законов фор- мулой (1) 543 мы заключаем, что С (и) = С(и). Итак, любая схолящаяся последовательность функций С„,(и) сходится к функции С(и) и одно- временно постоянные у„, сходятся к у. Теперь легко доказать, что всл последовательность С„(и) также сходится к С(и) и, значит, одновременно !пп 7„= 7. Если бы это было не так, то нашлась бы точка непрерывности ю-кю функций С(и), назовем ее с, и подпоследовательность функций С„,(и), которая в точке и = с при Й -+ оо сходится к числу, отличному от С(с).
По первой теореме Хаяли мы можем из атой подпоследовательности выбрать сходящуюся подпоследовательность Скч (и). Из предыдущего следует, что во всех точках непрерывности функ- ции С(и) йт Сан(и) = С(и). Это противоречит сделанному нами допущению. Таким образом, во всех точках непрерывности функции С(и) !пп С„(и) = С(и); как мы видели, отсюда немедленно следует, что 1пп 7ю = 7. Теорема доказана. 260 Глава 9. Теория безгранично делимык законов распределения е 45.
Постановка задачи о предельных теоремах длв сумм Дана последовательность серий с!! (!г" с!»„ Ь сгг" сг», с ! сяг " ся»„, независимых в каждой серии случайных величии. Спрашивается, к каким предельным функциям распределения могут сходиться функции распределения сумм ь. =с.!+слг+" +сяь при и -» оо и каковы условия этой сходимости? В дальнейшем мы ограничимся изучением элементарных систем, т.
е. последовательиостей серий (1), для которых выполнены следующие условия: !) величины Ся» имеют конечные дисперсии, 2) дисперсии сумм ь„ограничены ие зависящей от и константой С, 3) )уя = шах 0(я» -» 0 при и -» оо. !<»<»„ Последнее требование означает, что влияние отдельных слагаемых иа сумму становится все меньше и меньше с возрастаиием и. Рассмотреииые нами ранее предельные теоремы для сумм, очевидио, укладываются в эту общую схему.
Так, в теоремах Муавра — Лапласа и Ляпунова мы имели следующую последовательность серий: 4я! спг~ . Сяп где Ся» = ~, — м~» (1<1<и; п=1,2,...). я 2, '0с» »=! В теоремах Бернулли, Чебышева и Маркова о законе больших чисел мы также имели дело с последовательностью серий, в которых в качестве С„» взяты величины с» — мс» Ся» = и 261 в 46. Предельные теоремы для сумм 546. Предельные теоремы длй сумм Пусть имеется элементарная система; обозначим через Р„й(х) функцию РаспРеделениЯ слУчайной величины О„й и чеРез Уяй(х) — фУнкцию РаспРеделениЯ величины О„й = Сяй — МСяй', очевилио, что Ряй(Х) = Ряй(Х+ М6й) Теорема 6. Длл тога чтобы функции распределения сумм 1я =( »+вяз+" +ба. (1) при и -+ со сходились к предельной функции распределения, необходима и достаточна, чтобы к предельному закону сходились безгранично делимые законы, логарифмы характеристических функций которых определяются формулой й„ г 13) ф„(8) = ~~» ~з(МО„й + / (ехр (з(х) — 1) дР„й(х) ~ .
(2) й=! Предельные законы для обеих последовательностей совпадают. Доказательство. Характеристическая функция суммы (1) равна й„ й, й„ т.а»=ПГ Гг»ю.,р(»»2 м!.,)П7.,!»», гз! й=! й=! й=! где у„й(1) — характеристическая функция случайной величины а 2,»й(1) — характеристическая функция величины („й.
Мы знаем, что для сходимости функций распределения сумм (1) к предельной Ф(х) необходимо и достаточно„чтобы при и -+ со У.(1) - Оз(1) где гр(1) — непрерывная функция; гр(1) при этом оказывается характеристической функцией закона Ф(х). Положим ам = Уяй(1) — 1. з! Если ввести обозначения й„ ь 7» — — ~ М(яы Са(в) = 2' 1 * ауы(х) й=! й=! и заметить, что з х ийаа(х) = О, то функпии еа(т) могут быть записаны в виде ! »)»а(т) = к!аг ь / (ехр(цн) — ! — Ии) — Ибя(и). пз Как мы знаем, это означает, что ра(т) является логарифмом характеристической функции некоторого безгранично делимого закона. Отметим, что дисперсии („и безгранично делимых законов (2) совпадают. 262 Глава 9.
Теория безгранично делимык эакогов рлслределения Для величин «„» равномерно в каждом конечном интервале 1 а„= глах !а„»! -+ О. !<«<«„ Действительно, а» = / (ехр (йх) — 1) г(Р„»(х) = / (ехр ((1х) — ! — Их) бУ„«(х), так как М«„» = х НР„»(х) = О. Мы знаем, что при всех вещественных а аз ! ехр («а) — 1 — (а! < —; 2' поэтому 1 !а.»! < 2 (6) В силу этого мы можем воспользоваться разложением логарифма в ряд „з аз 1п 7„»(1) = 1п (1+ а„) = ал« вЂ” — "" + — "" — ".
= а,» + г.. 2 3 Очевидно, что »„ +..! = К! ! гю-...>! б и=! !а„«! — !а„«! Л„= 1п У„(1) — ~ (4+ М«л» л=! (7) Формулы (5) и (6) приводят к неравенству сР В„< глах !а„»!7 !а„«! < — !пах !ал»!. !<»<». " - " 2 !<»<». и=! В силу (4) мы заключаем, что равномерно в каждом конечном интервале 1 при и -» оо !1п У„(1) — ~„(1)! -+ О. (8) Й' 3 8' !а «! < — з( х сУ «(х) = — 0«». г/ 2 Из (5) и третьего условия элементарности системы следует (4).
Из (4) мы прежде всего выводим, что при любом Т мы можем считать, что для достаточно больших и и !1! < Т 263 5 46. Предельные теоремы для сумм Таким образом, мы установили, что в каждой элементарной системе функции распределения сумм ~ч и безгранично делимые функции распределения, определяемые формулой (2), неограниченно сближаются при и -+ оо, чем, собственно, теорема б и доказана. Доказанная теорема позволяет заменять исследование сумм (1) случайных величин с, вообще говоря, произвольными функциями распределения исследованием безгранично делимых законов. Последнее, как мы увидим, во многих случаях оказывается весьма простым.
Теорема 7. Всякой закон распределения, предельный для функций распределения сумм элементарной системы, является безгранично делимым с конечной дисперсией и, обратно, каждый безгранично делимый закон с конечнои дисперсией является предельным для функций распределения сумм некоторой элементарной системы. Доказательство. Из предыдущей теоремы мы знаем, что предельный закон для функций распределения сумм (1) является предельным для безгранично делимых законов и, значит, по теореме 3 является безгранично делимым; его дисперсия конечна, так как дисперсии сумм по второму условию элементарности системы ограничены в совокупности. Обратное предложение, что каждый безгранично делимый закон с конечной дисперсией является предельным для сумм, немедленно вытекает из определения безгранично делимых законов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
