Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Обозначим через у(х, 1) вероятность того, что частица в результате и толчков окажется в момент 1 (1 = пт) в положении х (ясно, что при четном числе толчков величина х может равняться только четному числу шагов Ь, а при и нечетном — только нечетному числу шагов Ь). Если через т обозначим число шагов, сделанных частицей вправо (соответственно и — гп есть число шагов, которые частица совершила влево), то согласно формуле Бернулли у( 1) ~~В м а-м Ясно, что величины пг, и, я и Ь связаны равенством я ш — (и — гп) = —.
Ь Легко убедиться непосредственным подсчетом, что функция ?(х,1) удовлетворяет разностному уравнению У(я,1+т) = ру(я- Ь,1)+ яу(я+ Ь,1) и начальным условиям ~(0,0) = 1, у(х,О) =О при я ~0. Посмотрим, во что превратится написанное разностное уравнение, если заставить стремиться к 0 как Ь, так и т. Физическая природа заставит, оказывается, наложить на Ь и т некоторые ограничения.
Точно так же величины р и д не мо~уг быть взяты произвольно. Несоблюдение б 49. Вводные замечания губ условий, о которых пойдет речь, может привести к тому, что за конечный промежуток времени частица с вероятностью единица уйдет в бесконечность. Для того чтобы избежать такую возможность, наложим слелуюшие требования: при и -э со Ьг х=пЬ, 1=пт, — -э2Р, (2) т ' Ь Р где с и Р— некоторые постоянные. Величина с носит наименование скорости я«ечення, а Р— коэффициента диффузии. Отнимем от обеих частей равенства (1) величину у(х, 1). В результате получаем у(х,1+т) — у(х,1) =р[у(х — Ь,1) — 2(х,1)]+о[у(х+Ь,1) — У(х,1)].
(3) Предположим, что 2(х, 1) дифференцируема по 1 и дважды дифференцируема по х. Тогда 1(х,1+ г) — 1(х,1) = т ' + о(т), д2'(х, 1) д1 -У(х,1)+1(х-Ь,1)=-Ь ' +-Ь' ' +о(Ь'), ду(х,1) 1,д'У(х,1) дх 2 дх' ду(х,1) ! 2д'У(х,1) 2 У( 1 1) У(~ 1) Ь ~( , ) Ьз ~( ° ) ~(Ьз) После подстановки этих равенств в (3) получаем д1(х, 1) д~(х, 1) Ьэ д'7(х, 1) Отсюда, в силу соотношений (2), находим, что в пределе дУ(х, 1) ду(х, 1) д'1(х, 1) д1' =-2С д' +Р д 2' . Мы получили уравнение, носящее в теории диффузии наименование уравнения Фоккера †План. Интересно отметить, что при довольно искусственной постановке задачи получен физически осмысленный результат, хорошо отражающий истинную картину процесса диффузии.
Позднее мы дадим вывод общих уравнений, которым подчиняются распределения для случайных процес- сов при весьма общих предположениях об их протекании. Начало обшей теории стохастических процессов было положено фундаментальными работами советских математиков А. Н.
Колмогоро- ва и А.Я. Хинчина в начале тридцатых годов. В статье А. Н. Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей» было дано система- тическое и строгое построение основ теории стокастическик процессов без посяедействия или, как часто говорят, процессов марковского мпа. В ряде работ А. Я. Хинчина была создана теория так называемых стацио- нарнык процессов. 276 Глава 10. Теория сгокасгическнк процессов Заметим, что прежде чем подвергнуть математическому изучению те или иные явления природы или технические процессы, нужно их схематизировать. Причина этой необходимости лежит в том, чю математический анализ применим к исследованию процесса изменения некоторой системы только в том случае, если предположено, что каждое возможное состояние этой системы вполне определено посредством некоторого определенного математического аппарата.
Понятно, что такая математически определимая система не есть сама действительность, но лишь схема, пригодная для ее описания. С такой картиной мы встречаемся, скажем, в механике, когда предполагаем, что реальные движения системы материальных ючек полностью могуг быть описаны лля любого момента времени указанием этого момента времени и ее состояния в любой предыдущий момент времени 1а. Иными словами, схема, которая принимается в теоретической механике для описания движения, состоит в следующем: принимается, что для любого момента времени 1 сосюяние системы у полностью определяется ее состоянием х в любой предыдущий момент времени 3а.
При этом под состоянием системы в механике понимается задание положения точек материальной системы и их скоростей. Вне классической механики, собственно, во всей современной физике, приходится иметь дело с более сложным положением, котла знание состояния системы в какой-либо момент времени 1а уже не определяет однозначно состояния системы в последующие моменты времени, а лишь определяет вероятность тою, что система будет находиться в одном из состояний некоторого множества состояний системы. Если через х обозначить состояние системы в момент 1ш а через Š— некоторое множество состояний системы, то для только что описанных процессов определена вероятность Р(~ш х; 1, Е) системе, находящейся в момент 1а в состоянии х, в момент 1 перейти в одно из состояний множества Е.
Если дополнительное знание состояний системы в моменты 1 < 1а не изменяет этой вероятности, то естественно назвать выделенный нами класс случайных процессов процессами без поспедейсгвия или за их аналогию с цепями Маркова — процессемн марковского типа. Общее понятие случайного процесса, базирующееся на изложенной ранее аксиоматике теории вероятностей, может быть введено следующим образом.
Пусть П вЂ” множество элементарных событий и 1 — непрерывный параметр. Случайным щюцессам называется функция двух аргументов Щ = у(ы, 1) (ы Е Й). Для каждого значения параметра 3 функция <р(ы,1) является случайной величиной. Для каждого фиксированного значения ы (т.е. для каждого заданного элементарного события) ~р(ы, $) зависит только от 1 и является, таким образом, обычной функцией одного вещественного аргумента. Каждая такая функция называется реализацией случайного процесса С(1). На случайный процесс можно смотреть либо как на совокупность случайных величин ~(В), зависящих от параметра 8, либо как 5 50.
Процесс Пуассона на совокупность реализаций процесса ((1). Естественно, что при этом для определения случайного процесса необходимо задать вероятностную меру в пространстве реализаций процесса. Почти вся настоящая глава будет посвящена изучению процессов без последействия и только в последнем параграфе мы дадим представление о стационарных процессах. 5 50.
Процесс Пуассона Мы начнем краткое знакомство с некоторыми фактами теории случайных процессов с рассмотрения одного важного примера процесса без последействия, играющего большую роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности. По-видимому, впервые этот процесс был подвергнут исследованию в начале ХХ столетия физиками А. Эйнштейном и М. Смолуховским в связи с задачами броуновского движения. Предположим, что в случайные моменты времени происходит некоторое событие. Нас интересует число появлений этого события в промежуток времени от 0 до Е Обозначим это число через С(8).
Относительно процесса появления события мы предположим, что он: 1) стационарен, 2) без последействия и 3) ординарен. В перечисленные условия вкладывается следующий смысл. 1. Стационарность означает, что для любой группы из конечного числа непересекающихся промежутков времени вероятность наступления определенного числа событий на протяжении каждого из них зависит только от этих чисел и от длительности промежутков времени, но не изменяется от сдвига всех отрезков времени на одну и ту же величину.
В частности, вероятность появления и событий в течение промежутка времени от т до т + 1 не зависит от т и является функцией только Й и 1. 2. Отсутствие последейсгеия означает, что вероятность наступления й событий в течение промежутка времени (т, т+1) не зависит от того, сколько раз и как появлялись события ранее. Это предположение означает, что условная вероятность появления й событий за промежуток времени (т, т+$) при любом предположении о наступлении событий до момента т совпадает с безусловной вероятностью. В частности, отсутствие последействия означает взаимную независимость появления того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени. 3.
Ординарность выражает собой требование практической невозможности появления двух или более событий за малый промежуток времени гзг. Обозначим через Р>~(б1) вероятность появления более чем одного события за промежуток времени Ы. Тогда условие ординарности в точном его выражении состоит в следующем: Р>~(Ы) = о(Ы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
