Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 35
Текст из файла (страница 35)
сходимся в основном к функции Р(х) и йп Ри( — 00) = Р(-00), !пп Р„(+00) = Р(+00), то .:.Г~(*) дР * =У~(*) "(* и, следовательно, при достаточно больших и не превосходит 2е, как это вытекает из неравенства (6). В силу ограниченности функций Р„(х) в совокупности, сумма е'!Р(Ь) — Р(а)) + е [Рч(Ь) — Р„(а)~ + 2е 212 Глава 7. Характеристические функции Доказательство.
Пусть А < О и В ) О; положим л А в в ь = ) л*~ м-/л*ит.ь~'. ,у = Их) г(~(х) — йх) г!Ых) . в в Очевидно, что Гмы(*~ — ~Г[еы~ ~~<1+я,+гь Величины .7~ и,уз можно сделать сколь угодно малыми, если вы- брать А и В достаточно большими по абсолютной величине и притом такими, чтобы точки А и В были точками непрерывности функции Р(х), а и выбрать достаточно большим. В самом деле, пусть М вЂ” верхняя грань !у(х)! при -оо < х < оо; тогда у1 < <М (Р(А) + Рк(А)1, ,тз ~ (М (Р(+ос) — Р(В)! + М (Р„(+со) — вк(В) ). Но !нп Р(А) = О, !цп Р(В) = Р(+ос). Я-~ -сч В-нэ А так как, по предположению, !цп Р„(А) = Р(А), ! п Р„(В) = Р(В), то наше утверждение об,у~ и,тз доказано.
Величина Уз при достаточно большом и может быть сделана сколь угодно малой в силу теоремы Хаяли для конечного интервала. Теорема доказана. 9 36. Предельные теоремы дли характеристических функций Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, сушествуюшее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно. О Зб. Предельные теоремы для херакгеристнческнк функций 213 Прямая предельная теорема.
Если последовательность функций рас- пределения л)(х), лз(х), ..., Р„(х), ... сходится в основном к функции расарвделения Р(х), то последовательность характеристических функций У (1), Уз(1), " У.(1), " сходится к характеристической функции У(1). Эта гходимость равномерна на колодам конечном интервале 8. Доказательство. Так как У„(1) = ехр (Ых) Сап(х), У(1) = ехр (Их) дЕ(х) и функция ехр(Пх) непрерывна и ограничена на всей прямой — оо < < х < со, то согласно обобщенной второй теореме Хслли для любого $ при и-ь со О при х<-п, 1 при — и <х<п, 2 ! при х)п, Р„(х) = У.(1) -> У(1) Утверждение, что эта сходимость равномерна на каждом конечном интервале $, проверяется буквально теми же рассуждениями, какие мы провели при доказательстве второй теоремы Хеппи.
Обратная предельная теорема. Если последовательность характеристических функций У1(г) Уз(1) " Уп(1) (1) сходится к непрерывной функции У(1), то последовательность функций распределения Р~(х), Рз(х), ..., Р„(х), ... (2) сходится в основном к некоторой функции распределения Р(х) (в силу прямой предельной теоремы У(1) = ) ехр (11х) дР(х)).
Доказательство. На основании первой теоремы Хеппи заключаем, что последовательность (2) непременно содержит подпоследовательность Рт(х), Рт(х), ..., Рч,(х), ..., (3) сходящуюся в основном к некоторой неубывающей функции Р(х). При этом понятно, что функцию Р(х) мы можем считать непрерывной слева: 11щ Р(х') = Р(х). и-чч-0 Вообще говоря, функция Р(х) может и не быть функцией распределения, так как для этого должны удовлетворяться еще условия Р( — оо) = О и Р(+со) = 1.
Действительно, для последовательности функций 214 Глава 7. Характеристические функции д = Р(+оо) — Р(-со) < 1. Возьмем теперь какое-нибудь положительное число е, меньшее 1 — д. Так как по условию теоремы последовательность характеристических функций (1) схолится к функции /(1), то /(0) = 1. А так как, сверх того, функция У(1) непрерывна, то можно выбрать достаточно малое положительное число т такое, что будет иметь место равенство 1 1 Г е — У У(1) 41 > 1 - - > б + -.
2т,/ 2 2 -т (4) 4 Но в то же время можно выбрать Х > — и настолько большое К, чтобы те при 1г > К было е бк = Р,(Х) — Р,(-Х) < 6+— Так как /„,(1) есть характеристическая функция, то Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, можно оценить сле- дующим способом. С одной стороны, так как ) ехр (11хЯ = 1, то т ехр 1'11х) гЫ <2т. С другой стороны, 2 ехр ((1х) г(1 = — яп тх, х и так как ! яп тх1 < 1, то при 1х( > Х 2 ехр(11х) Ф < —. Х предельная функция Р(х) = 1/2 и, следовательно, Р( — оо) и Р(+оо) также равны 1/2. Однако в условиях нашей теоремы, как будет сейчас показано, обязательно будет Р(-со) = 0 и Р(+со) = 1.
В самом деле, если бы это было не так, то, приняв во внимание, что лля предельной функции Р(х) должно быть Р( — оо) > 0 и Р(+со) < 1, мы имели бы: б Зб. Предельные теоремы для характеристических функций 215 Отсюда, применив первую оценку при (х! < Х и вторую при ф > Х, получаем: 1 т /г.,яп/и/ / (~ аль>п) ат.,(п -.- — т ф<х -т + / ~ / ехр(г1х)ИЕ) НРпп(х) < 2тбь+— ~п!>Х -т и, следовател ьно 1 Уп~(1) п1 < б+ т Это неравенство сохраняется и в пределе т 1 Г е — ~'Я)б1 <б+-, 2т,/ 2' — т что, очевидно, противоречит неравенству (4).
Таким образом, функция Р(х), к которой сходится в основном последовательность Р„, (х), есть функция распределения; согласно прямой предельной теореме ее характеристическая функция равна Я). Чтобы закончить доказательство теоремы, нам остается доказать, что и вся последовательность (2) сходится в основном к функции Р(х). Предположим, что это не так. Тогда найдется подпоследовательность функций лп', (х). еп1 (и) ° ° ° лп' (х) (5) сходящаяся в основном к некоторой функции Р"(х), отличной от Р(х) по крайней мере в одной из точек непрерывности. По уже доказанному Р'(х) должна быть функцией распределения с характеристической функцией Я).
По теореме единственности должно быть Р'(х) = Р(х). Это противоречит сделанному предположению. Заметим, что условия теоремы выполнены в каждом из двух следующих случаев: 1) последовательность характеристических функций Я1) сходится к некоторой функции Г(1) равномерно на каждом конечном интервале П 2) последовательность характеристических функций Дп(1) схолится к характеристической функции Г(1). Пример. В качестве примера использования предельных теорем рассмотрим доказательство интегральной теоремы Муавра †Лапла. гзб Глава 7. Характеристические функции В примере 4 $ 32 мы нашли характеристическую функцию случайной р — пр величины т) = /йрд 7„(т) = Оехр -Ы вЂ” +рехр Й Воспользовавшись разложением в ряд Маклорена, находим, что ч р -и ( — у+р р~п,г — ) =1- — (1+В„), у'п!г ) ~.
у'пр) 2п где к-г к ( )к ~ ь (чт) чад!' Так как при и — г оо то гз ~п Г гз1 7ь(г) = ! — — (1+ В„)~ — ь ехр ~ — — ~. В силу обратной предельной теоремы отсюда вытекает, что при любом я х !';"!.—; —.1- 1--"!" когда п -ь оо. Из непрерывности предельной функции легко вывести, что эта сходимость будет равномерна по а. 5 36. Положительно определенные функции Цель настоящего параграфа — дать исчерпывающее описание класса характеристических функций.
Приводимая нами ниже основная теорема была одновременно найдена А.Я. Хинчиным и С. Бохнером и опубликована впервые С. Бохнером. Для формулировки и доказательства атой теоремы нам нужно ввести новое понятие. Мы скажем, что непрерывная функция 7(1) вещественного аргумента 1 пололсипгельно определена в интервале — оо < ! < оо, если каковы бы ни были вещественные числа 1!, Ьм..., 1„, комплексные числа с!,6,...,сь и целое число п ь ь ~,~„٠— 1,)Ы,>О. к=! у=! Перечислим несколько простейших свойств положительно определенных функций. О Зб. Положительно определенные функции 217 1. 1(0) > О.
В самом деле, положим и = 1, 1! = О, С! = 1; тогда из условия положительной определенности функции 1(1) находим, что ч ч ~ 1(1„-11)Яу =1(О»О. ь=! у=! 2. При любых вешествеииых 1 1(-1) = 1(1). Для доказательства положим в (1) и = 2, 1! = О, 12 = 8, С„(2 произвольны. Имеем по предположению 2 2 0 < Е Е 1(1я 11)сьб к=! 2=! =1(О-О)И +1(0-1)~!6+1(1 — 0)~4+1(1 — 1)Ы = = 1(0)(!!4!! + !!Ц ) + 1( — 1)Я2+ 1(1)ч!ч2 (2) поэтому величина 1(-1)66+ 1(1)66 должна быть веществеииой.
Таким образом, если положить 1( — 1) = = '"! + Ф 1(1) = а2 + Ю2 66 = 7 + Ы, (! (2 = 7 — (б, то должио быть а!б+Р!7 — азд+Р27 = О. Так как С! и С2, а следовательно, у и б произвольны, то должно быть а! — а2 — — О, А+Я=О. Отсюда следует наше утверждение. 3. При любых вещественных 1 11(1)/ < 1(0). Положим в неравенстве (2) С! = 1(1), С2 = — 11(С)1; тогда согласно предыдущему 21(0)!1(1)/ — 11(1И 11(1)/ — !1(8И !1(С)/ > О. Отсюда при 11(1)( ф 0 получаем: 1(о) >!1(1)!. Если же !1(С) / = О, то опять-таки в силу свойства 1 1(0) > 11(1Н. Из доказанного следует, между прочим, что если положительно определенная функция такова, что 1(0) = О, то 1(1) ш О.
Теорема Болвера-Хиичииа. Дая того, чтобы нелрерывноя функция 1(1), удовлетворяющая условию 1(0) = 1, была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была лолохситеяьно олределенной. 218 Глава 7. Характеристические функции Доказательство. В одном направлении теорема тривиальна. Действительно, если Я) = / ехр ((1х) Йй'(х), где е(х) — некоторая функция распределения, то при любом целом и, произвольных вещественных 1», 1г,..., 1„и комплексных числах с», сг, ", со имеем: о»» ЕЕУ('й-11)с су= А'=! г=! о о =г.1;(1 * !гк»й-чн»~»*»)»! = й=! г=! и и = / ~~» ~~» ехр (йх(1~ — 1 ))~й( чк'(х) = й=! г=! о п к1»(г.*~оч»ь)(г. 1-»»»к!!)»»!»= й=! г=! и »г = / ~~» ехр(гййх) Сй~ »1к(х) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
