Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Все подобные опыты дали прекрасное совпадение с теорией. Мы приведем результаты нескольких таких легко воспроизводимых экспериментов. б 28. Закон больших чисел в форме Чебышева 179 В примере 5 8 3 мы рассмотрели результаты 100 разделений колоды карт на две равные части. Интересуюшее нас событие состояло в том, что в каждую полуколоду попадает одинаковое число красных и черных карт. В рассмотренном случае получилось довольно значительное окончательное (при и = !00) уклонение частоты от вероятности (приблизительно равное 0,02). По теореме Лапласа вероятность получить такое уклонение или еше большее равна Р— — р >0,02 =Р >0,02 — 1 — 2Ф 0,02 100 = 1 — 2Ф 0,02 = 1 — 2Ф(0,455) 0,65. 0,26 0,74 ) Таким образом, если повторить указанный эксперимент большое число раз, то приблизительно в двух третях случаев получится уклонение, не меньшее, чем полученное в нашем опыте. Французский естествоиспытатель ХЧ!П века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2 048 раз.
Частота появления герба в опыте Бюффона приближенно равна 0,507. Английский статистик К. Пирсон бросил монету 12 000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба. Частота выпадения герба в этом опыте Пирсона равна 0,50!6. В другой раз он бросил монету 24000 раз, и герб при этом выпал !2012 раз; частота выпадения герба при этом оказалась равной 0,5005. Во всех приведенных опытах частоты лишь немного уклонялись от вероятности — 0,5. 2.
Творима Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в 1с-м испытании равна рь, то И Р~ +Рз+ ° ° +Рь Иш Р с аз =1, ь-ню и и где, как обычно, через Р обозначено число появлений события А в первых и испытаниях. Введя в рассмотрение случайные величины Рь, равные числу появлений события А в й-м испытании, и заметив, что ! 1ч1!зь = Ры 01зь = Рьуь ~ —, 4 мы убеждаемся, что теорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева. (вг Глава 6. Закон больших чисел Теорема '). Дтя того чтобы для последовательности 6! 62 63 (как угодно зависимых) случайных величин при любом пололгительном в выполнялогь соотношение и я е г( — 2;Ь вЂ” — 2 мг, <*) =1, я-ко и й=1 и й=! ндобходимость и достаточно, чтобы при и -+ со Е(6-МЫ М , -+О.
пг + (Е (сей — Мчей) Хй=! (2) Доказательство, Предположим сначала, что (2) выполнено, и покажем, что в этом случае выполнено также ((). Обозначим через Ф„(х) функцию распределения величины я Ъ = -'Х:(~й - М~й). й=! Легко проверить следующую цепочку соотношений: я — — мг! з )=Р!!~ !з 1= )' ее„1*!» й=! !а()е (+е' р х' (+бг р хг (+ег т)г 2) ( — / ЙФя(х)( / — бФа(х) = — М ™ / ( 1 хг я ег,/ 1 ! х2 а 62 1+т)2 !а()е Это неравенство доказывает достаточность условия теоремы. Стоит отмстить, что критерий устойчивости арифметических средних независимых случайных величин („зч т.е. Р() 2' йч) в( (е) "+ ! пои и з сс 1 з=! МУ(О = / У(д) ВР1(а) (см.
теорему 5 24). лля любого е ) 0 (а — постоянное число), интересовал в начале ХХ века многих математиков и, в частности, С. Н. Бернштейна, Этой проблеме была посвяшена его работа «О законе больших чисел» (см. Собрание сочинений С. Н. Бернштейна. т 1Ч Мз Наука, 1964. С 61 — 70), опубликованная в 1918 году в Харькове. В ней С, Н.
Бернштейн формулирует, в частности, пб!пий критерий устойчивости (с, 61), из которого вьпекает и утверждение приведенной теоремы. 2! Последнее равенство мы пишем на сснсванни формулы 183 5 29. Необходимое и достаточное условие Покажем теперь, что условие (2) необходимо. Легко видеть, что г х2 Глфл(Х) ~ ~/ 2 лфи(Х) лл - / 1+. М>т 2 г 2 ~1Фл(Х) — / 2 «Фл(Х) ~) +х " / +х 1х1<т х' 2 21ф„(х) — с М вЂ” л — в2 (3) +х2 ° — 1+„2 ~(!ъ!)~) = /' 1л1»м >/, Таким образом, где обозначено ь» = с» — Мс». 9' О < М вЂ” "" < е'+ Р(!21„! > с).
Выбирая сначала е сколь угодно малым, а затем и достаточно большим, мы можем сделать правую часть последнего неравенства сколь угодно малой, Отметим, что дсе теоремы, доказанные в предыдущем параграфе, легко вытекают из только что доказанного обшего прелложения. Лей- ствительно, так как при любом и и любых с» имеет место неравенство 2 ~~2)л = ~ ~~' (6 %»)~ 1+Ъ то в случае существования дисперсий отсюда вытекает неравенство 2 п М вЂ”, < —,О~;~,, ггл 1+ 2',2 Таким образом, если условие Маркова выполнено, то выполнено также условие (2) и, следовательно, последовательность Сн С2,..., С„„... подчиняется закону больших чисел. Все же мы должны заметить, что в более сложных случаях, когда у величин С» не предполагается конечных дисперсий, доказанная теорема для фактической проверки применимости закона больших чисел весьма мало пригодна, так как условие (2) относится не к отдельным слагаемым, а к их суммам.
Однако рассчитывать на то, что, не сделав никаких предположений о величинах С» и о сушествуюшей между ними связи, удастся найти необходимые и достаточные условия, к тому же удобные лля приложений, по-видимому, нельзя. Если предположить, что величины (н С2, Сз,... взаимно независимы, то можно показать, что условие (2) эквивалентно следуюшему: при и -т оо и ~2 Глава б.
Закон больших чисел 186 Так как осуществление события Е» налагает ограничение только на значения первых Й из величин (к, а последующие остаются при этом условии независимыми друг от друга и от Я», то М(Я»з!з~Е») = М(Я»~Е») М(ц~Е») = О и М(Орь~Е»)=О (Ьфу, !к>й у >!г) !) Кроме того, имеет место неравенство М(Я»1Е») > е ()г > !). Мы можем написать поэтому, что 0Я~ > е ~~!, Р(Ек). й=! Отсюда п Р(Е») = Р! щах !Я»( >в! < —,ОЯ„. к!к»<н > ез й=! Неравенство Колмогорова доказано. Мы скажем, что последовательность случайных величин с!, Сз 43 и и глах — ~~~,Е» — — ~~' Мс» < е и Кч<н0ч-1 и и й=! й=! больше, чем ! — з!.
Теорема Колмогорова. Если последовательность взаимно независимых случайных величин с!, сз,... удовлетворяет условию — < +со, 0(„ н=! та ана надчиннетсн усиленному закону больших чисел. Доказательство. Положим ! Ен — Ян и О»=6 — Мск, Я =~~~,О», Рассмотрим вероятность Рт = Р1гпах!ин! >е, 2 <и< 2 +'). подчиняется усиленному закону больших чисел, если, каковы бы ни были в > О и О > О, можно указать такое пв, что лля любого в и всех и, удовлетворяющих неравенствам пе < и < не+ в, вероятность неравенства !87 5 30. Усиленный закон больших чисел Так как Р < Р(гпах!в„( >а, 1 <и < 2 + ). то согласно неравенству Колмогорова 1 (2 )г ~х. !<зри Так как, далее, Ргггпах !!ер! > с лля и > и1 < ~~' Рт.
р!=р где р опрелеляется из неравенств 2Р < гр < 2Р+', то ясно, что 1 1 Ргпгах 1в„~ > е лля и > и) < —, ~~» —, ~~~ 0(г. ег т=р усг н После перемены порядка суммирования в правой части последнего неравенства получим: Š— „'. Е ! =Е ь(Е,—,' ) где сумма ',з . распространена натезначения пг>р,для которых 2~+! > г. ПРи г < 2Р+' коэффициент пРи 0(у Равен 1 1 Š— =— 4Р! 3 4Р-'' !ь) р 1 а при 2кч+! > г > 2ки > 2Р+' этот коэффициент равен 3 ° 4кь ' 16 16 <— 3 ° 2г!Ри+!1 3 ° уг Таким образом: укг"+ у=! у=гр+' 1 16 0(г 16 0(3 — — ~~; ц + — ~ ~, '— '+ — ~„—,3 < 3 4Р ' 3, 2г!Р+'> 3 гг у=! у=р+! 3 гР+1 1 16 0(у 16 О( < — ~~! 06 + — ~ ~—.У +— 3.
4Р-! г 3 р'г 3 у=! у=р+ ! у=г р' 00 0чк В силу сходимости ряда 2,' —: ь=! 190 Глава 6. Закон больших чисел Принципиальная роль усиленного закона больших чисел в теории вероятностей и в ее приложениях весьма велика. Действительно, предположим на минуту, что, скажем, в случае одинаково распределенных слагаемых, имеюших конечное математическое ожидание, усиленный закон не имеет места. Тогда с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что будут повторяться моменты, когда среднее арифметическое результатов наблюдений будет далеко от математического ожидания.
И это бы случилось лаже в тех случаях, когда наблюдения производятся без систематической ошибки и с полной определенностью (величина д, о которой была речь в 8 28, равна 0). Можно ли было бы в таких условиях считать, что среднее арифметическое из результатов наблюдений сближается с измеряемой величиной, могли бы мы в этих условиях считать, что среднее арифметическое можно считать за приближенное значение измеряемой величины? Сомнительно. 5 31. Теорема В. И. Гливенко Мы перейдем теперь к доказательству теоремы Гливенко, которая вскоре после ее обнаружения получила в математической литературе название основной теоремы математической статистики. Речь идет об оценке неизвестной функции распределения случайной величины (' на основе результатов независимых испытаний.
Пусть функция распределения случайной величины равна л(х), а результаты последовательных независимых испытаний в неизменных условиях будут киям...,х Последовательность результатов испытаний мы расположим в возрастающем порядке. Обозначив к-е по величине наблюденное значение через кк', мы можем последовательность (1) записать в следующем виде: х', < к, '« ... я„'. Эта последовательность, т.
е. последовательность наблюденных значений исследуемой случайной величины, расположенных в возрастаюшем порядке, носит название еориаяионного ряда. Эмпирической функцией распределения Р„(х) мы назовем функцию, определенную следуюшими равенствами: 0 при я<к;, и — при яа <х<хк+о и 1 при х>х„. .г'„(х) = Ясно, что эмпирическая функция распределения монотонна, непрерывна слева и имеет точки разрыва только при значениях аргумента, равных членам вариационного ряда.
Величины скачков в точках разрыва являются целыми кратными от 1/и. Для дальнейшего подчеркнем то обстоятельство, что при каждом значении к ордината Р„(х) является случайной 191 5 31. Теорема В. И. Глнвенко 1 и†! и величиной, возможные значения которой будут О, —, ..., —, — = 1. и и и й Вероятность равенства Р„(х) = †, как легко видеть, равна и' В простейшем частном случае, когда случайная величина с может принимать лишь конечное число значений ам аз,...,а„членами вариационного ряда обязательно булут только числа этой последовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
