Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Найти плотность распределения а) абсциссы точки попадания; б) длины хорды, соединяющей точку попадания с точкой ( — Л, 0). 5. На отрезок оси ординат между точками (О 0) и (О, 22) наудачу брошена точка (т.е. ордината этой точки равномерно распределена в промежутке (О, В)). Через точку попадания проведена хорда окружности хз + у' = Вз, перпендикулярная к оси Оу.
Найти распределение длины этой хорды. б. Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величина равномерно распределена в отрезке (а, Ь), найти распределение плошади круга. 7. Платность распределения случайной величины С дана равенством р(х) = ехр (-х) + ехр (х) ' Найти: а) постоянную а; б) вероятность того, что в двух независимых наблюдениях 1 примет значения, меньшие 1. 8.
функция распределения случайного вектора (С, О) имеет вид: а) Р(х, у) = Р, (х)Рз(у) + Рз(х); б) Р(х, у) = Рз(х)Рз(у) + Рз(х) + Рт(у). Мотуг ли функции Рз(х) и Р4(х) быть произвольными? Зависимы или независимы компоненты вектора (г„у)? 9. На отрезок (О, а) наудачу брошены две точки [т е. их абсциссы равномерно распределены в отрезке (О, а)[. Найти функцию распределения расстояния между ними. 1О. На отрезок (О,а) брошены и точек. Считая, что точки разбросаны случайно [т, е, каждая из них расположена независимо от других и распределена равномерно в (О, а)[, найти: а) плотность распределения абсциссы й-й слева точки; б) совместную плотность распределения абсцисс /т-й и тп-й точек слева (й < тп). 11.
Ная случайной величиной ( с непрерывной функцией распределения произвелено и независимых испьпаний, в результате которых были наблюдены следующие значения величины с: х„ хз,...,х„. Найти функцию распределения случайных величин: а) 0„= шах (х,, хз,, х,); б) Оь = поп (х„х,,..., х„); в) й-го по величине результата наблюдения; г) совместного распределения Ь-го и тп-го по величине результатов наблюдения.
146 Глава 4. Случайные величины и функции распределения 12. Функпия распределения случайного вектора (~~,бз,...,5„) равна Р(хн хм...,х„). В результате испытания компоненты вектора получили значения (а,, хн..., а„). Найти функпию распределения случайной величины: а) О„ = пзах (х„ хз,..., х„); б) ~„ = пнп (хн хз. , а„). 13. Случайная величина 5 имеет непрерывную функпию распределения Р(х). Как распределена случайная величина г! = Р(С)? 14. Случайные величины 1 и 0 независимы; их плотности распределения определяются равенствами рг(х) =р„(х) = 0 при я < О, рг(х) = с,х'ехр(-Дх), р„(х) =сзх ехр(-!5х) при х> О.
Найти: а) постоянные с, и с,; б) плотность распределения суммы 1 + г). 15. Найти плотность распределения суммы независимых случайных величин 5 и О, первая из которых равномерно распределена в сегменте (-Ь,И), а вторая имеет функпию распределения Р(х). 16. Плотность распределения случайного вектора (5, О, ~) равна 6 при х>0, у>0, х>0, р(х у х) — (1+ х+ у+а)' 0 в остальных случаях. Найти распределение величины с + 0-ь ь. 17. Найти распределение суммы независимых случайных величин (, и 6н если их распределения заданм условиями: 1 1 а) Р~(х) = Рз(х) = — + — ага!8 х; 2 х б) равномерна распределены соответственно в интервалах (-5,1); (1,5); 1 ( )х)) в) р,(х) = рз(х) = — ехр 11 — — ~.
2а ( а) 18. Плотность распределения независимых случайнмх величин 5 и 0 равна: 0 при х<0, а) рг(х) = р„(х) = оехр(-ах) при х>0(о>0); 0 при х<0, х>а б) рг(х) = р (х) = (1/о при 0<х<о. Найти плотность распределения величины 1 = 5/О. 19. Найти функцию распределения произведения независимых сомножителей 5 и 0 по их функпиям распределения Р,(х) и Рз(х).
147 Упражнения 20. Случайные величины 4 и О независимы и распределены: а) равномерно в интервале (-а, а); б) нормально с параметрами а = О, е = !. Найти функцию распределения их произведения. 21. Стороны С и О треугольника представляют собой независимые случайные величины. По их функциям распределения Рг(х) и Р (х) найти функцию распределения третьей стороны, если угол между сторонами Г и О равен постоянному числу а. 22. Доказать, что если величины ( и О независимы н их плотность распределения равна О при х<О, Рг(х) = Р»(х) = ехр(-х) при х > О, то величины 4+ »! и 4/О также независимы. 23.
Доказать, что если величины Г и О независимы и нормально распределены с параметрами а, = а, = О, е! -- !гэ — — !г, то величины также независимы. 24. Доказать, что если величины Г и О независимы и распределены по закону 2(э с параметрами гп и и, то величины б = (/О и г, = Г+ О независимы. 25. Случайные величины Г!,1»,..., С„неэависимы и имени одну и ту же плотность распределении ! Г (х — а)') р(х) = — ехр с(— ез/2х х( 2ез найти двумерную плотность распределения величин О=2 с» и ь=Яс» (п»<п).
»=! »=! 2б. Доказать, что любая функция распределения обладает следующими свойствами: 27. Над случайной величиной 4, имевшей непрерывную функцию распределения Р(х), проведены две серии независимых испытаний, в результате которых С приняла значения, расположенные в порядке возрастания в каждой серии: х,<хэ« ..хи, У!<Уэ«" Уя Чему равна вероятность неравенств Уи < хм+! < У» н где и» и и заданные числа (О < гп < М, О < и < !»Г)? Г ! Ию х у! — »(Р(а) = О, »-!х а » Г ! !пп х у! — г(Р(а) = О, з -м а Г ! Ию ху! — г(Р(а) = О, .+О а » Г 1 Игл х у! — г(Г(а) = О. «-»,/ а 148 Глава 4. Случайные величины и функции распределения 20.
Случайная величина ( имеет непрерыаную функцию распределения Р(х). В результате и неэааисимых наблюдений над С получены следующие значения х, < хз « ... х„, упорядоченные по величине. Найти плотность распрелеления величины Р(х„) — Р(хз) 0= Р(х.) — Р(х ) ' 29. Случайные величины С и 0 независимы и одинаково распределены с плотностью распределения С Рт = Ре = 1 + Найти постоянную С и доказать, что величина С/О распрелелена по закону Коши. 30. Случайные величины С и 0 независимы, их плотности распределения соответственно равны 1 Рт(х) = (1х! < 1); 0 при в<0, Ре(х) = 2 хехр(-х /22 при х > О. Доказать, что величина 00 нормально распределена.
31. Пусть 9 и ~ независимы и имеют плотности распрелеления 0 при х<0, Ре(х) Рт(х) = Л ехр (-Лх) при х > О. Доказать, что отношение 0 = — распределено равномерно на отрезке (О, 1). ( (+1 32. Случайные аеличины ( и 0 независимы и равномерно распределены на отрезке (-1, 1). Вычислить аероятность того, что корни уравнения ха+ох+О = 0 нещестаенны. (Задачи 29-32 сообщены мне М.
И. Ядренко.) Глава 5 Числовые характеристики случайных величин В предыдущей главе мы вплели, что наиболее полная характеристика случайной величины дается ее функцией распределения. Действительно, функция распределения одновременно указывает на то, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями. Однако в ряде случаев о случайной величине требуется знать гораздо меньше, требуется получить о ней лишь некоторое суммарное представление.
Для теории вероятностей и ее приложений большую роль играют некоторые постоянные числа, получаемые по определенным правилам из функций распределения случайных величин. Среди зтих постоянных, служащих для получения обшей количественной характеристики случайных величин, особенно важны математическое ожидание, дисперсия и моменты различных порядков. 9 23. Математическое ожидание Начнем изложение с рассмотрения следующего примера: предположим, что при стрельбе из некоторого орудия для поражения некоторой цели требуется один снаряд с вероятностью ры два снаряда — с вероятностью рм три снаряда — с вероятностью рз и т.д. Кроме того, известно, что и снарядов заведомо достаточно для поражения атой цели.
Таким образом, известно, что Р ~ + Рз + " + Р» = К Спрашивается, сколько в среднем потребуется снарядов для поражения указанной цели. Для получения ответа на поставленный вопрос будем рассуждать так. Предположим, что производится очень большое число стрельб в указанных выше условиях. Тогда на основании теоремы Бернулли мы можем утверждать, что относительное число стрельб, в которых для поражения цели потребовался только один снаряд, приблизительно равно рп Точно так же два снаряда потребовалось приблизительно в 1ООрз % стрельб и т.д. Таким образом, «в среднем» на поражение одной цели потребуется приблизительно снарядов. 150 Глава 5.
Числовые «арактеристики случайны«величин Аналогичные задачи по подсчету среднего значения случайной величины возникают в самых разнообразных задачах. Вот почему в теории вероятностей вводят в рассмотрение особое постоянное, носящее название математического ожидания. Мы сначала дадим определение для дискретных случайных величин, отправляясь от только что рассмотренного примера. Пусть хн х2,..., хк обозначают возможные значения дискретной случайной величины с, а рнрз " рк ". МС = хр(х) дх в тех случаях, когда существует интеграл 2~ )х!р(х) дх. Для произвольной случайной величины С' с функцией распределения к (х) математическим ожиданием называется интеграл М1= 1хар(х).
(2) Пользуясь определением интеграла Стилтьеса, мы можем дать простое геометрическое истолкование понятию математического ожидания: математическое ожидание равно разности плошадей, заключенных между осью ординат, прямой у = 1 н кривой у = с (х) в интер- аале (О, +со) и между осью абсцисс, кривой у = Р(х) и осью ординат в промежутке (-оо, 0). На рис. 18 соответствующие плошади заштрихованы и указано, с каким знаком следует взять в сумме кажлую из плошадей. Заметим кстати, что геометричеРис. 18 окая иллюстрация позволяет математическое ожидание — соответствующие им вероятности.
Если ряд 2 х„р„сходится абсолютно, то его сумма называется «=! математическим олгидаиием случайной величины С и обозначается М5. Для непрерывных случайных величин естественным будет следующее определение: если случайная величина С непрерывна и р(х) — ее плотность распределения, то математическим ожиданием величины С называется интеграл 151 Ь 23. Математическое ожидание записать в таком виде: а ьо М~ = — / Р(х) дх + / (! — Р(х)) дх. (3) р(х) = ехр По формуле (1) находим, что (х — а)' Мс = х — ехр — дх. х — а Заменой х = мы приводим вычисляемый интеграл к виду а 1 г1 Мс = — / (ах+ а) ехр ~ — — ) дл = /г / 2) -,— '.1- '1 — '*') ""+/- '1-'-') ьг Так как У-( )ьг " У-( )ьг МС' = а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
