Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Функции от случайных величин Сведения, полученные нами о функциях распределения, позволяют нам приступить к решению следующей задачи: по функции распределения Р(хпхг,...,х„) совокупности случайных величин (,,(г,...,(„ определить функцию распрелеления Ф(уь ум " ук) величин г1~ — — ~~((п(г,...,(„), г1г=Л(6 6 "() " Ъ=Ь(6 ь<г" (). Общее решение этой задачи весьма просто, но требует расширенг1я понятия интеграла. Чтобы не отвлекаться в сторону чисто аналитических вопросов, мы ограничимся рассмотрением важнейших частных случаев: дискретных и непрерывных случайных величин. В следующем параграфе будут изложены определение и основные свойства интеграла Стилтьеса; там мы дадим общую запись важнейших результатов настоящего параграфа.
РассмотРим сначала слУчай, когда и-меРный вектоР (6,6, ",ся) имеет плотность распределения вероятностей р(хи хг,..., х„) . Из предыдущего видно, что искомая функция распределения определяется равенством Ф(у~ уг, ° ° уь) = / ... ~ р(хи хг, х„) г(х~ г(хг... г(х„, и причем область интегрирования Р определяется неравенствами уг(х1, хг,...,хя) < у; ($ = 1,2,..., я). В случае дискретных случайных величин решение, очевидно, лается с помощью и-мерной суммы, также распространенной на область Р.
Мы применим теперь только что сделанное нами общее замечание относительно решения поставленной нами общей задачи к нескольким важным частным случаям. Функция распределения суммы. Пусть требуется найти функцию распределения суммы г1 =(~+ьг+" ° +ь» если р(хн хг,..., х„) — плотность распределения вероятностей вектора ((~,~г,...,С„). Искомая функция равна вероятности попадания точки ((псг,...,с„) в полупространство (~+сг+...
+С„< х и, следовательно, Ф(х) = / "~Р(хпхг ". хя)г(х~г(хг".~1хя. х;и« Рассмотрим подробнее случай и = 2. Предыдущая формула принимает в этом случае такой вид; х ю Ф(х) = О Р(хпхг) Йх,г1хг = О Р(х~ хг)г1хн1хг (1) и+и<к — ОЭ 5 Кура тмрнн вероатнасня 130 Глава 4. Случайные величины и функции распределения Если величины С( и Сз независимы, то р(х(, хз) = р((х()рз(хз) и равен- ство (1) может быть записано в таком виде: (2) В общем случае формула (1) дает: Ф(х) = (1х( р(«, х( — «) (1«.
Последние равенства доказывают, что если многомерное распределение слагаемых имеет плотность распределения вероятностей, то их сумма так- же имеет плотность распределения. Эта плотность в случае независимых слагаемых может быть записана в виле р(х) = / р((х — «)рз(«)г1«. (4) Рассмотрим примеры. Пример 1. Пусть С( и Сз независимы и равномерно распределены в интервале (а, Ь). Найти плотность распределения суммы г1 = с( + сз. Плотности распределения вероятностей с( и сз равны По формуле (4) находим, что 1 рч(х) = ~ р((«)рз(х — «) ((« = — ~ рг(х — «) (1«. ь- / а а Из того, что при х < 2а х — «< 2а — «< а, апри х> 2Ь х — «> 2Ь вЂ” «> Ь, заключаем, что при х < 2а и х > 2Ь ря(х) = О.
О, р((х) = рз(х) = 1 Ь вЂ” а* если х<а или х>Ь, если а <х<Ь. Ь 21. Функции ог случайнык величин Пусть теперь 2а < х < 2Ь. Подынтегральная Функция отлична от нуля только при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенствам а <х-х<Ь или, что то же самое, неравенствам х — Ь<х<х — а. Так как х > 2а, то х — в > а. Очевидно, что х — а < Ь при х < а + Ь. Следовательно, если 2а < х < а + Ь, то к-а р.(*) = ~ дх х — 2а Рч(х) = (Ь о)з = (Ь о)з.
а Точно также при о+Ь < х < 2Ь Р (*) = ~ дл 2Ь вЂ” х (Ь вЂ” а)т (Ь вЂ” а)' Собрав вместе полученные результаты, находим, что 0 при х<2а и х>2Ь, х — 2а при 2а<х<а+Ь, (Ь вЂ” о)г 2Ь вЂ” х при а+Ь<х<2Ь. (Ь вЂ” а)' Рч(х) = (5) (х — 2а)' 2(Ь вЂ” а)' При а+Ь < х<2Ь вероятность неравенства 6 + 6 < х равна Рве. 16 Функция р (х) носит название закона раслределенвк Симлсона. Вычисления в рассмотренном примере значительно упрошаются, если воспользоваться геометрическими соображениями.
Изобразим, как обычно, (~ и сз как пРЯмо- к «+» ( +Ь«2Ь) угольные координаты на плоскости. Тогда вероятность неравенства 6 + ~з < х при Ь--- 2а < х < а+ Ь равна вероятности попадания в дважды заштрихованный прямоугольный треугольник (рис. 1б). Эта вероятность, как легко подсчитать, равна 132 Глава 4.
Случайные величины н функции распределения (2Ь вЂ” х)2 У4 ) ! 2(Ь вЂ” а)2' Дифференцирование по х приводит нас к формуле (5). В связи с рассмотренным примером интересно заметить следующее. Общие вопросы геометрии привели Н. И. Лобачевского к необходимости решения следующей задачи: имеется группа из п взаимно независимых случайных величин (,, С„..., С„; найти распределение вероятностей их среднего арифметического.
Эта задача была им решена только для случая, когда все ошибки равномерно распределены в интервале (-1, 1). При этом оказалось, что вероятность ошибке среднего арифметического заключаться в пределах от — х до х равна 1 г (и — пх — 2г!г Р„(х) = — ~~г (-1)" 2" ' (г!)2(п — г)! где суммирование распространяется на все целые г от г = 0 до г = =Г -1 пример 2 двумерная случайная величина ((н с2) распределена по нормальному закону 1 р(х,р) = х 2яа~а2Л вЂ” г2 У (х - а)2 (х - а)(д - ь) (р ь)2 ехР 2(1 — г2) ~ а2 аг . а2 Найти функцию распределения суммы г! = ьг + с2. Согласно формуле (3), ! рч(х) = х 2яа~а241 — г2 1 / (л — а) (л — а)(х - л — Ь) (х — л — Ь)'! 1 ./ 1 (-')~ ~ ' )1 2(! — г2) ~, а2 а|аз аз Обозначим для краткости х — а — Ь через в и л — а через и; тогда ! /' ~ 1 (н2 и(в — и) (в — и)21 1 2вага2Л вЂ” г2 у ( 2(1-г2) т,а~~ а~аз о22 т' 2 Так как и2 и(в — и) (в — ц)2 а2 + 2га, а2 + а2 2г + а~ + го2 в2 2ив 2 + — = о го 2 аз а2 " а2а2 2 а2 ага2 вероятности попадания во всю заштрихованную фигуру.
Эта вероятность равна 5 21. Функции от случайных величин 2 о а!+газ + аг+ 2та1аг+ о'2 ( (а -1-та )' + 2 2 !тгг '!, аз + 2та,аз + с!22/ 2 о о.! + гаг „2(1 т2) + 2 2' о'2, г+2,а, +, 2 а, +2га1о'2+аз' !21 1'а1!22 !22 а2 + 2га1а2 + а2 и а! аг аг + 2та1аг + аг и 1т1ог то, введя обозначение 1 а1 + 2 1аг + а2 о а! + 2 г г з/Г-гг ~ !т! аг аг !т2+2г!т а +а' !т! г!т1а! !тг мы приведем выражение для рч(х) к виду „г <21,+2 + !1 ( ( Так как 1 82\ о = х — а — Ь и ехр ~- — ) й = з/2в, 2) < (х — а — Ь)2 ехр ц,1~!г ю+ В)' рч(х) = В частности, если случайные величины С! и Сг независимы, то т = 0 и формула для рч(х) принимает внд Нами получен, таким образом, следу!авгий результат: сумма нормально распределенных случайных величин распределена по нормальному закону.
Интересно заметить, что когда слагаемые независимы, имеет место и обратное предложение (теорема !. Крамера): если сумма двух независимых случайных величин распределена по нормальному закону, то калсдое слагаемое тпакхсе распределено по нормальному закону. Мы не останавливаемся на доказательстве этого предложения, так как оно требует более сложного математического аппарата. 134 Глава 4. Случайные величины и функции распределения Пример 3. Распределение уз. Пусть (~, (и..., („— независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же нормальному закону с параметрами а и о.
Функция распределения величины и х =~~ (6- )' к=! носит название у,'-распределения. Это распределение играет важную роль в различных вопросах статистики. Мы вычислим сейчас функцию распределения величины Ь = Х/т/й. Она окажется независимой от а и е'. Очевидно, что для отрицательных значений аргумента функция распределения Ф(у) величины г," равна 0; для положительных значений р функция Ф(р) равна вероятности попадания точки (6, см..., с„) внутрь шара и (хк — а) =р.п е. г Таким образом Ф(р) = ...
/ ~ †) ехр ~ †- У х; г(х~г!хз...г!х„. ,/ ./ ~, ~/2~г ) т; *г<г2п Перейдем для вычисления этого интеграла к сферическим координатам, с е. сделаем замену х, = р сов В~ сов В, ... сов В„н хз = рсозВ~ созВг ...з!пВ„н хп = /гзгпдь В результате этой замены к/2 я/2 т1/й Ф(р) 1 1 2 „ехр~ — — ~ Р В(В~ ...:В~-ч)ИР̄— и ..ггВ~ = Г 1 Р и-1 (т/2я) ( 2 ) учи =с„/ -р(-~ )р'-'ар, о где постоянная к/з к/2 С. = . /' ...
~ 22(В, ... В. ,) ВВ„ , ... ВВ, ! (т/2п ) зависит только от и. О 2!. Функции ог случайнык величин !35 Эту постоянную легко вычислить, пользуясь равенством гН Г=~=с./.*г( — ~')р'-'гр=сгЯ о Отсюда находим, что кчгя (У) 2" Т(п/2) / Р Р1 2) Р а Плотность распределения случайной величины г, при у > О равна (6) Отсюда, в частности, при п = 1 мы получим, естественно, плотность распределения, равную удвоенной плотности исходного нормального закона Г2 Г у!1 р(у) = 1/ — ехр ( — — ) (у > О) 1 2) При и = 3 мы получаем известный закон Максвелла 3 /6 , / 3у' ! гр(у) = — у ехр ~- — ь.
т/я ( 2 ) Из формулы (6) легко вывести плотность распределения величины з~з. Эта плотность равна О при х < О, а при х > О х"П ' ехр 2"ПГ(п/2) Распределения величин, тесно связанных с Хз и часто используемых на практике, сведем в таблицу (см. табл. 13). Пример 4. Функция распределения частного. Пусть плотность распределения вероятностей величины (С, г)) равна р(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
