Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 20
Текст из файла (страница 20)
На рис. 13 показаны такие идеализированные пути, приводящие в точки А т в х и А', симметрично расположенные отно- Рис. 13 сительно стенки. Ясно, что для того, чтобы реальная частица, двигаясь с отражениями, достигла точки А, необходимо и достаточно, чтобы частица, двигающая в идеализированной обстановке (без отражающей стенки), достигла либо точки А, либо точки А'. Но вероятность попасть в точку А в идеализированной обстановке, очевидно, равна Точно так же вероятность попасть в точку А' равна (абсцисса точки А' равна 2з — гп) Искомая вероятность, следовательно, равна Р„(т; з) = Р(р = т) + Р(р = 2в — гп).
Если воспользоваться локальной предельной теоремой Муавра, то находим, что Р„(т; в) — ехр — — + ехр Это известная формула из теории броуновского движения. Она приобретает более симметричный вид, если начало координат поместить в точке х = з и, следовательно, перейти к новой координате з по формуле 100 Глава 2. Последовательность независимых испытаний в = х — в. В результате этой замены получим, что Р„(в = и) = Р„(в+ в; з) = ехр — + ехр Мы перейдем теперь к рассмотрению третьей схематической задачи, когда на пути частицы поставлена в точке х = в поглощающая перегородка.
Частица, попавшая на перегородку, в дальнейшем движении участия уже не принимает. Очевидно, что в этом примере вероятность попасть в точку х = пг (гп ( з) после и толчков будет меньше, чем Р„(тп) (т. е. меньше вероятности попадания в эту точку без поглощающей стенки); обозначим искомую вероятность символом Р„(тп; в). Для подсчета вероятности Р„(тп; в) снова мысленно уберем поглошающую стенку и предоставим тем самым частице свободно двигаться по прямой.
Частица, попавшая в некоторый момент времени в положение х = в, оказывается в последующие моменты времени справа н слева от прямой х = в с одной и той же вероятностью. Точно так же после попадания на прямую х = в частица с одной и той же вероятностью может лопасть как в точку А(тп, а), так и в точку А' (2з — тп, и). Но в точку А' частица может попасть, только попав предварительно в положение х = з, поэтому для всякого пути, ведущего в точку А', имеется путь, симметричный относительно прямой х = в и ведущий в точку А; точно так же для всякого запрещенного в действительном движении пути, приводящем в точку А, существует симметричный относительно прямой х = з путь, приводящий в точку Рис.
14 А' (рис. !4). При этом заметим, что мы рас- сматриваем симметрию путей, только начиная с момента попадания на прямую х = з. Проведенные рассуждения показывают нам, что из путей, приводящих в точку А в идеализированном движении, мы должны отбросить при подсчете числа благоприятствующих случаев в реальном движении ровно столько, сколько путей ведет в точку А'.
Отсюда, очевидно, следует, что Р„(тп; з) = Р(гг = пг) — Р(Р = 2в — т). В силу локальной теоремы Муавра — Лапласа имеем: Р„(тп; з) ехр — — — ехр Упражнения 1. Рабочий обслуживает!2 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени дяительности т равна 1/3. Чему равна вероятность того, что Упражнения а) эа время т 4 станка потребуют к себе внимания рабочего; б) число требований к рабочему со стороны станков за время т будет между 3 и 6 (включая границы)? 2.
В некотором семействе имеется 10 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 1/2, найти вероятность того, что в семействе а) 5 мальчиков и 5 девочек; б) число мальчиков заключается между 3 и 8. 3. В обществе, состоящем из 4 человек, дни рождения трех приходятся на один месяц, а четвертого — на один нэ остальных одиннадцати.
Считая вероятность рождения в течение каждого из месяцев для каждого лица равной 1/12, найти вероятносп того, что а) указанные три лица родились в январе, а четвертое лицо в октябре; б) три лица родились в каком-то одном месяце, а четвертое в каком-то из остальных одиннадцати. 4. При 14400 бросаниях монеты герб выпал 7428 раз. Как вероятно столь большое или большее уклонение числа выпадений герба от пр, если монета симметрична (т. е.
вероятность выпадения герба в каждом испытании равна 1/2)? 5. К электросети подключено и приборов, каждый мощностью а киловатт и потребляет в данный момент энергию с вероятностью р. Найти вероятность того, что потребляемая в ланный момент мощность а) окажется меньше чем пар; б) превзойдет гпар (г > О) при условии, что пр велико. 6. В одном из учеб н ых заведений обучаются 730 студентов. Вероятность того, что день рождения наудачу взятого по списку студента приходится на определенный день года, равна 1/365 для каждого иэ 365 дней. Найти а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января.
б) вероятность того, что найдутся три студента, имеющие один и тот же день рождения. 7. Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что а) в коробке не окажется бракованных сверл; б) число бракованных сверл окажется не более 3; в) сколько нужно класть в коробку сверх, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, в ней было не менее 100 исправных? Указание. Воспользоваться распределением Пуассона.
8. В страховом обществе застраховано 10000 лиц одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти в течение года для каждого лица равна 0,006. Каждый застрахованный вносит 1 января 12 руб, страховых и в случае смерти его родственники получают от общества 1000 руб. Чему равна вероятность того, что а) общество потерпит убытки; б) получит прибыль, не меньшую 40000, 60000, 80000 руб.? 102 Глава 2. Последовательность независимых испытаний 9. Доказать теорему: если Р и Р' — вероятности наиболее вероятного числа появлений события А в и и и+ 1 независимых испытаниях (в каждом из испытаний Р(А) = р), то Р' < Р.
Равенство исключается, если (и+!)р — не целое число. 1О. В схеме Бернулли р = 1/2. Доказать, что: а) т ~ ~1 зе(п) ~~ 1тш и ехр ( хт) Р,„1п х )т) «-ке Рг~(п) если л =тт/з/й (0<я <+со). 11. Доказать, что при пр9 > 25 Р„(тп) = ехр (- — ~ [1+ + Д, 1 л' 1 (Ч вЂ” р)(л' — Зл)1 з/22пР9 2 ~ бз/йР9 где — — ""'( — "") тп — пр 0,15+0,25(р — д( Г 3 /йрд ' /(ярд)3 12. Произведено и независимых испытаний.
Вероятность появлеиив события А в т-м испытании равна ри Р„(тп) — вероятность тп-кратного появления события А в и испытаниях. Доказать, что б) Р„(тп) сначала возрастает, а затем убывает (если только Р„(0) или Р„(п) сами не являются максимальными). Г лт1 13. Доказать, что при х > 0 функция 1 ехр (- — ) Ил удовлетворяет нера- 2) венствам †, ехр (--х ) < / ехр (--л ) Ах < — ехр (--х ). 14. Эадача Бвнака. Некий математик носит с собой две коробки спичек. Кажлый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из коробок.
Найти вероятность того, что когда математик вынет пустую коробку, в другой коробке окюкется г спичек (г = 0,1,2,...,и; и — число спичек, бывших первоначально в каждой из коробок). 15. К линии электропередачи подключено и механизмов. Вероятность того, что механизм, потребляющий энергию в момент времени 1, прекратит ее потребление до момента 1+ Ь1, равна аЫ+ о(Ы). Если в момент! механизм не потребляет энергии, то вероятность того, что он станет ее потреблять до момента 1+ Ж равна ДЫ+ о(Ь1) независимо от работы других механизмов. Составить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вероятности Р,(1) того, что в момент 1 энергию потребляют г механизмов. Примечание. Легко указать конкретные осуществления условий этой зааачи; движение трамваев, электросварка, потребление энергии станками с автоматическим выключением и пр.
Упражнения )ОЗ 1б. Один рабочий обслуживает н однотипных станков-автоматов. Если в момент ! станок работает, то вероятность того, что он потребует обслуживания ло момента 1+ Ы, равна асз!+ о(сз!). Если в момент ! рабочий обслуживает какой-нибудь станок, то вероятность того, что он закончит обслуживание до момента Ф+ гз(, равна !уЫ+ о(Ь!).
Составить дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют вероятности Р,(!) того, что в момент ! работают н — г станков, один обслуживается и г — 1 ожидают очереди на обслуживание (Ре(!)— вероятность того, что все станки работают). Примечание. Нетрудно аналогичным путем составить дифференциальные уравнения лля более сложной выдачи, когда Ф станков обслуживает бригада из й рабочих. Для практических целей важно сравнить экономичность той и другой системы организации труда. С этой целью следует изучить установившийся режим, т. е. рассмотреть вероятности Рг(!) при ! -г оо. Оказывается, работа бригады, обслуживающей йп станков выгоднее как в смысле лучшего использования рабочего времени станка, так и рабочего времени рабочего, чем обслуживание одним рабочим и станков.
Глава 3 Цепи Маркова 5 15. Определение цепи Маркова Непосредственным обобщением схемы независимых испытаний является схема так называемых цепей Маркова, впервые систематически изученная известным русским математиком А.А. Марковым. Мы ограничимся изложением элементов его теории. Представим себе, что производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществиться одно и только одно из Й несовместимых событий А,, А,,..., А„(верхний индекс, как и в предыдущей главе, означает номер испытания). Мы скажем, что последовательность испытаний образует цепь Маркова, точнее, простую цель Маркова, если условноя вероятность в (в + 1)-м осо (в = 1, 2, 3,...) осуществиться событию А1 (з = 1, 2,..., Ф) зависит только от того, кокос й ь!! событие произошло нри в-м испытании и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события нроисходияи в более ронник испытаниях. Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминологии и говорят о некоторой системе Я, которая в каждый момент времени может находиться в одном нз состояний Ап Аз,..., Аь и меняет свое состояние только в моменты !паз,...,1„,...
Для цепей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние Аг (з = 1, 2,..., Й) в момент 1, зависит только от А! и того, в каком состоянии система находилась в момент $ (1, ~ < 1 < 1,), и не изменяется от юго, чю становятся известными ее состояния в более ранние моменты. Для иллюстации рассмотрим два схематических примера. Пример Б Представим себе, что частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты 1п1з, 1з,... Частица может находиться в точках с целочисленными координатами а, а+ 1, а+ 2,..., Ь; в точках а и Ь находятся отражающие стенки. Каждый толчок перемешает частицу вправо с вероятностью р и влево с вероятностью о = 1 — р, если только частица не находится у стенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
