Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Так как 11ш 1 — —" — ехр( — а ) 1 —— = О при а„< В и при постоянном ш (-И то в силу формулы (2) при и > Р„(ш)— что и требовалось доказать. по(е) аи — "ехр( — а„) < е, тп! в которой события одной серии взаимно независимы между собой и имеют каждое вероятность р„, зависящую только от номера серии. Через р„ обозначается число фактически появившихся событий и-й серии. Теорема Пуассона. Если р„-~ О при и -г оо, мо аи Р(р„= тп) — —" ехр (-а„) -~ О, (1) ш1 95 013. Теорема Пуассона Заметим, что теорема Пуассона имеет место и в том случае, когда вероятность события В в каждом испытании равна нулю. В атом случае а„ = О.
Обозначим а Р(т) = — ехр ( — а). т1 Полученное распределение вероятностей носит название закона Пуассона. Легко посчитать, что величины Р(гп) удовлетворяют равенству 2'Р(пз) = 1. Изучим поведение Р(тп) как функции т. С втой целью ш рассмотрим отношение а„= ар= 0,001 5000 = 5. Искомая вероятность равна Р(р > 2) = Е Р (т) = 1 — Р (О) — Р (1).
ш=з По теореме Пуассона Р„(0) а ехр( — 5), Р„(1) 5ехр ( — 5) . Р(р„> 2) ж 1 — бехр( — 5) = 0,9596. Поэтому и В Великой Отечественной войне реальное осушествление условий нашей задачи имело место при обстреливании самолета из пехотного оружия. Пулей самолет может быть подбит лишь при попадании в немногие уязвимые места — летчик, мотор, бензобак и пр. Вероятность попадания в зги уязвимые места отдельным выстрелом весьма мала, но, как правило, по самолету вело огонь пеппе подразделение, н общее количество выстрелов, выпушенных по самолету, было значительным.
В результате вероятность попадания хотя бы одной или двумя пулями имела заметную величину. Это обстоятельство было подмечено и чисто практически. Р(т) а Р(гп — 1) т Мы видим, что если ш > а, то Р(т) < Р(ш — 1), если же ш < а, то Р(пз) > Р(т — 1), если, наконец, тп = а, то Р(т) = Р(т — 1).
Отсюда мы выводим, что величина Р(т) возрастает при увеличении т от 0 до тпр = [а), и при дальнейшем увеличении уп убывает. Если а — целое число, то Р(уп) имеет два максимальных значения: при тпо = а и при гпв = а — ! . Привелем примеры. Пример 1. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5 000 з!.
Считая каждый выстрел за испытание и попадание в цель — за событие, мы можем для вычисления вероятности Р(ря > 2) воспользоваться теоремой Пуассона. В рассматриваемом примере 96 Глава 2. Последовательность независимых испытаний Максимальное значение вероятность Р„(тп) принимает при тп = 4 и тп = 5. Эти вероятности равны с точностью ло четвертого десятичного знака Р(4) = Р(5) 0,1751. Вычисления по точной формуле дают с точностью до четвертого знака Родео(0) = 0,0071, РдодоЯ = 0,0354 и, слеловательно, Р(р„> 2) = 0,9575. Ошибка от использования асимптотической формулы меньше 0,25% вычисляемой величины.
Пример 2 На прядильной фабрике работница обслуживает по несколько сотен веретен, каждое из которых прядет свой моток пряжи. При вращении веретена пряжа из-за неравномерности натяжения, неровноты и других причин в моменты времени, зависящие от случая, рвется.
Для производства важно знать, как часто могут происходить обрывы при тех или иных условиях работы (сорт пряжи, скорость веретен и т.д.). Считая, что работница обслуживает 800 веретен и вероятность обрыва пряжи на каждом из веретен в течение некоторого промежутка времени т равна 0,005, найти наиболее вероятное число обрывов и вероятность того, что в течение промежутка времени т произойдет не более 1О обрывов.
Так как а„ = пр = 0,005 800 = 4, то наиболее вероятных чисел обрывов за промежуток времени т будет даа: 3 и 4. Их вероятности Рооо(3) = Ръод(4) = Сооо ° 0,005 0,995 По формуле Пуассона имеем: 43 32 Рооо(3) = Р оо(4) = — ехр (-4) = — . ехр (-4) = 0,1954. 3! 3 Точное значение Родо(3) = Родо(4) = 0,1945. Вероятность того, что число обрывов за промежуток времени т будет не более 10, равна Р(ро ~ (10) = Х~~ РООО(тП) = 1 — Х~~ РГОО(тв). м=о я=п В силу теоремы Пуассона 4т Рви(тп) ое — ехр (-4) (тп = О, 1, 2,...), тп! поэтому дт 4т Р(ро ( 10) = ! — ~ —, ехр (-4).
т=н 0 13. Теореме Пуассона Но ,ри г'411 412,$13 т 4'2 14 — ехр( — 4) > ~ — + — + — ) ехр(-4) = — ехр(-4) = 0,00276. Ит! 'х 11! 12! 13! у 11! 39 та=11 С другой стороны, 4аь 4н ,112 ~~~, — ехр (-4) < — ехр (-4) + — ехр (-4) + пт! 11! 12! в<=11 4'зг 4 /4'д 1 4'2 ° 24 + ехр (-4) — ~! + — + ( — ~ + ..~ = ехр (-4) = 0,00284. !3! ~ !4 Яь14у' ~ !П 35 Таким образом, 0 9971б ( Р(1ьв ( (10) ( 0 99724. Подобно тому, как и при использовании локальной теоремы Муавра, возникает вопрос об оценке совершаемой ошибки при замене точной формулы для вычисления Р„(га) на асимптотическую формулу Пуассона а! Из равенства Рв(0) = ! — —" =ехр и1п ! — —" / а„! = ° (-.Е+) ) = 1-..Н -в.1, „, йг,и/ где мы легко можем найти эту оценку для случая га = О.
В самом деле, так как при любом положительном в 0 < 1 — ехр ( — я) < я, то каковы бы ни были а„ и и, сс ! д Я<~„<.~ -„(-') . Так как а„ 2 а„' ат Зи — а„ Зиз ! —— с а ! би2 и — а„ 2и(и — а„)' 41 Эта задача подробно исследована в статье КХ В. прокопова *Асимптотическое поведение биномиальното распределения !УМН. 195Х т 8. С. 135-142). Я Ктрс теераа мреьтаеена 98 Глава 2. Последовательность независимых испытаний то дг 0< 22„< 2(п — а„) Из того, что 22„неотрицательно, мы заключаем, что при замене Р„(0) на ехр ( — а„) мы несколько увеличиваем вероятность Р„(0).
В 14. Иллюстрация схемы независимых испытаний В качестве иллюстрации использования предыдущих результатов для целей естествознания мы рассмотрим весьма схематически проблему случайных блужданий частицы на прямой линии. Эта залача может рассматриваться как прообраз реальных физических задач теории диффузии, броуновского движения и пр. Представим себе, что в определенные моменты времени частица, нахолящаяся в начальный момент в положении х = О, испытывает случайные толчки, в результате которых она получает смещение вправо или влево на единицу масштаба. Таким образом, в каждый из этих моментов частица с вероятностью 1/2 смешается на единицу вправо или с такой же вероятностью — на единицу влево.
В результате и толчков частица переместится на расстояние р. Ясно, что в этой задаче мы имеем дело со схемой Бернулли в чистом виде. Отсюда следует, что при каждых и и пг мы можем вычислить вероятность того, что р = пг; а именно 1х и СЫ~ 1~~ -), если -и < т < и, Р(,и = пг) = О, если !т( > и При больших значениях и, как это следует из локальной теоремы Муавра, Р(р = щ) = ехр На полученную формулу мы сможем смотреть следующим образом. Пусть в начальный момент имелось большое число частиц, имеющих координату в = О.
Все эти частицы независимо друг от друга начинают перемешаться по прямой под влиянием случайных толчков. Тогда после и толчков доля частиц, переместившихся на расстояние пг, дается формулой (1). Понятно, что мы рассматриваем идеализированные условия движения частиц и реальные молекулы движутся при гораздо более сложных условиях, однако полученный результат дает правильную качественную картину явления. В физике приходится рассматривать более сложные примеры случайных блужданий. Мы ограничимся столь же схематическим рассмотрением влияния!) отражающей стенки, 2) поглощающей частицы стенки. Представим себе, что на расстоянии в единиц вправо от точки в = 0 имеется отражающая стенка, так что частица, попавшая в какой-либо 514. Иллюстрация схемы незааисимык испытаний 99 момент времени на эту стенку, при следующем толчке с вероятностью единица выбивается в том же направлении, откуда она пришла. Для наглядности станем июбражать положение частицы на плоскости (х,1).
Путь частицы изобразится при этом в виде ломаной линии. При каждом толчке частица передвигается на единицу «вверх» и на единицу вправо А или влево (каждый раз, когда х < в, с ве- П П роятностью половина). Если же х = з, то при очередном толчке частица сдвигается на единицу влево. 1 Для подсчета вероятности Р(р = т) поступим следующим образо: мысленно откинем стенку и разрешим частице двигаться свободно, как если бы не было стенки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
