Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Из всевозможных случайных величин мы выделим прежде всего те, которые могут принимать только конечное или счетное множество значений. Такие величины мы будем называть дискретными. Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины (, прииимаюшей с положительными вероятностями значения х), хм хз,..., лостаточио знать вероятности р» = Р(С = х») т).
Очевидно, что по совокупности вероятностей р» можно определить функцию распределения Р(х) посредством равенства Р(х) = ~~) р», в котором суммирование распространяется иа все те индексы, для которых х» < х. Функция распределения любой дискретной величины разрывиа, возрастает скачками при тех значениях х, которые являются возможными значениями (.
Величина скачков функции Р(х) в точке х, как мы выяснили ранее, равна разности Р(х+ 0) — Р(х). Если два возможных значения величины ( разделены интервалом, в котором других возможных значений ( иет, то в зтом интервале функция распределения Р(х) посюяииа. Если возможных значений ( конечное число, например и, то функция распределения Р(х) представляет собой ступенчатую кривую с и+ 1 интервалом постояитсва. Если же возможных значений ( имеется счетное множество, то зто последнее может быть и всюду плотным, так чю интервалов постоянства у функции распределения дискретной случайной величины может и ие быть. Пусть для примера возможными значениями ( будут все рациональные числа и только оии.
Пусть зти числа занумерованы каким-нибудь способом: г), гм... и вероятности РЯ = г») = р» опрелелеиы посредством равенства р» = 1/2». В нашем примере все рациональные точки являются точками разрыва функции распределения. В качестве другого важного класса случайных величин мы выделим те из иих, для которых существует неотрицательная функция р(х), удовлетворяющая при любых х равенству Р(х) = / р(л) дл. 2) Зги и только эти значения аа ыы назовеы еезмелеянмя зяаееямямя лискретной случайной величины б 119 5 19. Непрерывные н дисяре гные распределения Случайные величины, обладавшие этим свойством, называются непрерывными; функция р(х) называется плотностью распределения вероятностей.
Отметим, что плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами: 1. Р(х) >О. 2. При любых х, и хз удовлетворяет равенству хз Р(х~ < 4 < хз) = / р(х) Ых. х, В частности, если р(х) непрерывна в точке х, то с точностью до бесконечно малых высших порядков Р(х < С < х + Нх) = р(х) дх. 3. ) Р(х) дх = 1. Величины, распределенные по нормальному или равномерному закону' ), дают нам примеры непрерывных случайных величин.
Пример. Рассмотрим ближе нормальный закон распределения. Для него плотность распределения вероятностей равна а)з 1 р(х) = С ехр ~— Постоянная С определяется, исходя из свойства 3. Действительно, х — а Заменой переменных = я это равенство приводится к виду о Интеграл, стоящий в левой части этого равенства, известен под именем интеграла Пуассона, причем Таким образом, находим, что 1 С= ат/2п и, значит, для нормального распределения 1 ( (х — а)~1 р(х) = — ехр с(- оз/2п п( 2оз ~~так называется закон с функцией раслрелеления, линейно изменяющейся от В ло ! в некотором интервале (в, Ь) и равной нулю левее точки а и свинине правее Ь.
120 Глава 4. Случайные величины и функции распределения Р с.зб Функция р(х) достигает максимума при х = а, имеет точки перегиба при х = а ж е; ось абсцисс служит лля нее асимптотой при х -! хоо. Для иллюстрации влияния параметра е на форму графика плотности нормального распределения мы приводим на рис. 15 графики р(х) при а = 0 и 1) ез = 1/4, 2) ез = 1, 3) сз = 4. Мы видим, что чем меньше значение е, тем кривая р(х) имеет большее значение максимума и падает круче. Это означает, в частности, что вероятность попасть в интервал (-а, а) больше для той случайной величины, распределенной по нормальному закону (с параметром а = 0), для которой величина с меньше.
Мы, следовательно, может считать е характеристикой разбросанности значений величины С. При а Зь 0 кривые плотностей имеют ту же форму, но сдвинуты вправо (а > О) или влево (а < О) в зависимости от знака параметра а. Помимо дискретных и непрерывных случайных величин, существуют, разумеется, и другие случайные величины. Кроме величин, которые ведут себя в одних интервалах как непрерывные, а в других как дискретные, имеются величины, не являющиеся ни в одном интервале ни дискретными, ни непрерывными. К таким случайным величинам относятся, например, все те, функции распределения которых непрерывны, но при этом возрастают только на множестве лебеговской меры нуль.
В качестве примера такой случайной величины приведем величину, имеющую функцией распределения известную кривую Кантора. Напомним построение этой кривой. Величина с принимает только значения между нулем и единицей. Следовательно, ее функция распределения удовлетворает равенствам Р(х) = О при х < О, У(х) = 1 при х > 1.
Внутри интервала (0,1) с принимает значения только в первой и последней его третях, в каждой с вероятностью 1/2. Таким образом, Р(х) = 1/2 при 1/3 < х < 2/3. 5 20. Многомерные функции распределения 121 В интервалах (0,1/3) и (2/3,1) с снова может принимать значения только в первой и последней трети каждого из них, в каждой с вероятностью 1/4. Этим определяются значения Р(х) еще в двух интервалах: я'(х) = 1/4 при 1/9 < х < 2/9, Р(х) = 3/4 при 7/9 < х < 8/9. Далее в каждом из оставшихся интервалов повторяется то же построение и этот процесс продолжается до бесконечности. В результате функция с'(х) оказывается определенной на счетном множестве интервалов, являющихся интервалами смежности некоторого нигде не плотного совершенного множества меры нуль.
На этом множестве доопределяем функцию Р(х) по непрерывности. Величина С с таким образом определенной функцией распределения не дискретна, так как ее функция распределения непрерывна, но в то же время С не непрерывна, так как ее функция распределения не является интегралом от своей производной. Все введенные нами определения переносятся легко на случай условных вероятностей.
Так, например, функцию с'(х(В) = Р(с < х!В) мы будем называть условной функцией распределения случайной величины С при условии В. Очевидно, что я'(х!В) обладает всеми свойствами обычной функции распределения. 520. Многомерные функции распределения Для дальнейшего нам необходимо не только понятие случайной величины, но и понятие случайного вектора или, как часто говорят, многомерной случайной величины.
Рассмотрим вероятностное пространство (гг, е, Р), на котором определены п случайных величин 6 = /!(ы), Ь = /з(ы), ", 6 = Ун(ы) (функции /!(ы) измеримы). Вектор (С!,Сз,...,(„) называется случайным вектором или п-мерной случайной величиной. Пусть (С!, См..., Сн)— случайный вектор.
Обозначим через (с! < х!, сз < хз " чн < хн) множество тех элементарных событий ы, для которых одновременно выполняются все неравенства /!(ы) < х1 гз(ы) < х2, ° ° / (ю) < х Поскольку это событие является произведением событий (/н(ы) < хн) (1 < к < и), оно принадлежит множеству Е, т.е. ((! < х!, (з < хм, 6ь < хн) Е й. Таким образом, при любом наборе чисел х!, хм..., х„определена вероятность с'(х!,хм...,х„) = Р(С! < х!, сз < хз," сн < хн). Эта функция и аргументов называется и-мерной функцией распределения случайного вектора (С!, Сз,..., Сч).
122 Глава 4. Случайные величины и функции распределения В дальнейшем мы прибегнем к геометрической иллюстрации и станем рассматривать величины (н ~г,..., С„как коорлинаты точек и-мерного евклидового пространства. Очевидно, что положение точки ф, Гг,..., („) зависит от случая и что функция Е(хихг,...,х„) при такой интерпретации дает вероятность попадания точки ((н Сг,..., („) в и-мерный параллелепипед (~ < хп (г < хг, ..., ~„< х„с ребрами, параллельными осями координат. С помощью функции распрелеления легко вычислить вероятность того, что точка ((н ~г,..., („) окажется внутри параллелепипеда а,<(;<Ь; (»=1,2,...,п), где а; и Ь, — произвольные постоянные.
Нетрудно подсчитать, что Р(аг < ~~ < Ь!, аг ( Сг < Ьг " . а» ( (в < Ьв ) = и = р(Ь„Ьг,...,Ь„) — ~г рг Ь~~ р» ~...+(-1)"У(аоаг,...,а„), (1) 1=1»сг где через рб.,» обозначено значение функции е(сисг,...,с„) при с, = а„сг = аг,..., с» = аь и при остальных с, равных Ь,. Мыпредоставляем доказательство этой формулы читателю. Заметим, в частности, что к (хп ..., х» н +со, х~+ы ..., х„) дает нам вероятность того, что будет выполнена следующая система неравенств: (г < хп (г < хг,, 5-~ < хь-и (»+г < хк+г ° ( < х Так как по расширенной аксиоме сложения вероятностей Рй~ <хп °,(»-г <х»-н(»+~ <хк+г ". си<ха)= ',г гР(~г < хм..., (» ~ < х» ~ „в < (к < в+ 1, ~»ч.г < хкег..., ~„< х„) = =Р(хн...,х» н+оо,х»+п...,х„), то гг(хн...,хь и+со,х»ч.н...,х„) является функцией распределения (и — 1)-мерной случайной величины (Сп..., С» н (к+н...,(„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
