Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Таким образом, для задания случайной величины необходимо знать не только, какие значения может она принимать, но и как часто, т.е. с какой вероятностью она принимает эти значения. Разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным или несчетным; значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы сплошь или же не заполнять интервалы, но располагаться всюду плотно. Для того чтобы задавать вероятности значений случайных величин, столь различных по своей природе, и притом задавать их одним и тем же способом, в теории вероятностей вводят понятие функции реснределення случайной величины.
Пусть ( — случайная величина и х — произвольное действительное число. Вероятность того, что ( примет значение, меньшее, чем х, называется функцией распределения вероятностей случайной величины (: Г(х) = Р(( < х). Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать греческими буквами, а принимаемые ими значения — строчными латинскими.
Резюмируем сказанное: случайной величиной называется величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей '1, Рассмотрим примеры функций распределения. Пример б Обозначим через р число появлений события А в последовательности п независимых испытаний, в каждом из коюрых вероятность его появления постоянна и равна р. В зависимости от случая р может принимать все целочисленные значения от 0 до ц включительно. Согласно результатам главы 2 Р„(тн) = Р(р = гп) = С„р е" Само собой разумеется, чю этими словами мы не дали математического определения новому понятию, а только описали то обшее представление, которое складывается у человека, знакомяшегося с реальными примерами случайных величин. В На с.
Н4 дано формализованное определение случайная величины. О 18. Основные свойстве функций распределения 113 Функция распределения величины р определяется следуюшим способом: 0 для х<0, Р(х) = ~~ь Р„(Ус) для 0 < х < и, н<н 1 для х > и. Функция распределения представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках х = О, 1, 2,..., и; скачок в точке х = (г равен Р„((с).
Пример 2 Пусть случайная величина С принимает значения О, 1, 2,... с вероятностями р„=р((=п)= (п=0,1,2,...), Л" ехр ( — Л) где Л > 0 — постоянная. Функция распределения величины б представляет собой как бы лестницу с бесконечным числом ступенек, со скачками во всех неотрицательных целочисленных точках. Величина скачка в точке х = и равна р„; при х < 0 имеем Р(х) = О.
Про случайную величину, рассмотренную в настояшем примере, говорят, что она распределена по закону Пуассона. Пример 3. Мы скажем, что случайная величина нормально распределена, если ее функция распределения имеет вид ь~)=<1 ~(-,, )ь, где С > О, а > О, а — постоянные. Впоследствии мы установим связь между постоянными а и С и выясним теоретико-вероятностный смысл параметров а и о. Нормально распределенные случайные величины играют особо важную роль в теории вероятностей и ее приложениях, в дальнейшем у нас будет много поводов убедиться в этом.
Заметим, что если в двух первых рассмотренных нами примерах случайные величины могли принимать только конечное или счетное множество значений (дискремные величины), то случайные величины, распределенные по нормальному закону, могут принимать значения из любого интервала. Действительно, как мы увидим ниже, вероятность нормально распределенной случайной величине принять значение, заключаюшееся в интервале х~ < С < хы равна ю ( (х — а) 1 Ф(хз) — Ф(х~) = С / ехр г~ — ~ дл 2оз ю и, следовательно, при любых х~ и хз (х~ ф хз) положительна. После сделанных нами замечаний интуитивного характера можно перейти и к изложению принятого теперь строго формального определения случайной величины.
114 Глава 4. Случайные величины и функции распределения В соответствии с общим аксиоматическим понятием случайного события, мы будем исходить из множества элементарных событий й. Каждому элементарному событию ы поставим в соответствие некоторое число ( = У(ы). Мы скажем, что ( есть случайная величина, если функция у(ы) измерима относительно введенной в рассматриваемом множестве й вероятности. Иначе говоря, мы требуем, чтобы для каждого измеримого по Борелю множества АЕ значений ( множество А, тех ы, для которых г(и) С АЕ принадлежало множеству с случайных событий и, следовательно, для него была бы определена вероятность Р(( С Ат) = Р(Ач).
В частности, если множество Ат совпадает с полупрямой ( < х, то вероятность Р(А ) есть функция переменного х РИ < х) = Р(А ) = я (х), которую мы назвали функцией распределения случайной величины С. Пример 4. Рассмотрим последовательность и независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. В этом примере элементарные события состоят из последовательностей появлений и непоявлений события А в и испытаниях.
Так, одним из элементарных событий будет появление события А в каждом из испытаний. Всего, как нетрудно подсчитать, будет 2" элементарных событий. Определим функцию р = ~(ы) от элементарного события ы так: она равна числу появления события А в элементарном событии ы. Согласно результатам главы 2 Р(р = я) = Р„(л) = С„'рьд" ". Измеримость функции р = у(ы) в поле вероятностей непосредственно очевидна. Отсюда, согласно определению, заключаем, что р есть случайная величина. Пример 5. Произведены три наблюдения за положением молекулы, двигающейся по прямой линии.
Множество элементарных событий состоит из точек трехмерного евклидового пространства Лг. Множество случайных событий Е состоит из всевозможных борелевских множеств пространства Яз. Для каждого случайного события А определим вероятность Р(А) посредством равенства (А) = г г г 1 / / ехр~ — —,[(х~ — а) +(хг-а) +(хг — а) ~ ~ах~Ахгйхз.
(. Уйя) / / б 18. Основные свойства функций распределения 115 Рассмотрим теперь функцию с = у(ы) элементарного события, определенную посредством равенства 1 с = -(х~+хз+хз) 3 Эта функция измерима относительно введенной нами вероятности, поэтому С является случайной величиной. Для нее функция распределения равна Г(х) = Р(С' < х) = Я ~ ( —,', ~3, — Г) а, х*, х*, = х,+хтгхз<зх о я-хх 73 С только что развитой точки зрения действия над случайными величинами сводятся к известным операциями над функциями. Так, если (~ и Сз являются случайными величинами, т.е. измеримыми относительно введенной вероятности функциями 6 = 1~(ы) 6 = Л(ы).
то любая борелевская функция от них также является случайной величи- ной. Для примера ь =(~+6 измерима относительно введенной вероятности и потому является случайной величиной. Позднее мы разовьем только что сделанное замечание и получим ряд важных для применений результатов. В частности, мы выведем формулы для функции распределения суммы и частного двух случайных величин по распределению слагаемых. При помошн функции распределения случайной величины с можно определить вероятность неравенства х~ < С < хз при любых х~ и хз. В самом деле, если через А обозначить событие, состояшее в том, что с примет значение, меньшее чем хз, через  — событие, состояшее в том, что с < хы и, наконец, через С вЂ” событие х~ < с < хз, то, очевидно, имеет место следуюшее равенство: А = В+С. Так как события В и С несовместимы, то Р(А) = Р(В) + Р(С).
Но Р(А) = к(хз), Р(В) = к (х~), Р(С) = Р(х~ < с < хз), 116 Глава 4. Случайные величины и функции распределения поэтому Р(х~ < ( < хз) = Р(хз) — Р(х~). (1) Так как, по определению, вероятность есть неотрицательное число, то из равенства (1) следует, что при любых х~ и хз (хз > х~ ) имеет место неравенство с(х2) > с(х!), т. е. что функция распределения любой случайнои величины есть неубывающая функция. Очевидно, далее, что функция распределения я"(х) при любом х удовлетворяет неравенству 0< я(х) <!.
(2) Мы скажем, что функция распределения я(х) имеет при х = хь скачок, если Р(хо + 0) — Р(хь — 0) = Сь > О. Функция распределения может иметь не более чем счетное множество скачков. В самом деле, скачков размера, большего 1/2, функция распределения может иметь не более одного; скачков размера от одной четвертой до половины (1/4 < Сь < 1/2) — не более трех. Вообще скачков размером от 1/2" до 1/2" ' может быть не более чем 2" — 1. Совершенно ясно, что мы можем пронумеровать все скачки, расположив их по величине, начиная с больших значений и повторяя равные значения столько раз, сколько скачков этой величины имеет функция с (х). Установим еще несколько общих свойств функций распределения.
Определим я'( — оо) и я(+со) равенствами л(-со) = 1цп Е( — и), я(+ос) = !1ш я(+и) ь-~+са и-юь и докажем, что с(-оо) = О, я(+со) = 1. Действительно, так как неравенство С < +со достоверно, то Р(С < +со) =1. Обозначим через Яь событие, состоящее в том, что й — 1 < С < й. Так как событие С < +со эквивалентно сумме событий Яь, то на основании расширенной аксиомы сложения Р(С <+оо) = ~~~, Р(Ю. Следовательно, при и -+ со Л п РЯь) = ~~~ [Р(Й) — Р(1с — 1)] = Р(п) — Р(-и) -ь 1.
ь=1-» К=~-я О 19. Непрерывные и дискретные распределения 117 Отсюда, принимая во внимание неравенства (2), заключаем, что при и -ь со Р( — и) -ь О, Р(+и) -+ 1. Функция распределения непрерывна слева. Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность хь < х, < < хз « ... х„< ..., сходящуюся к х. Обозначим через А„событие (х„< С < х). Тогда ясно, что А; С А при ! > з, и произведение всех событиИ А„есть невозможное событие. По аксиоме непрерывности должно быть 11щ Р(А„) = 1пп (Р(х)-Р(х„)) =Р(х) — 1пп Р(х„) =Р(х) — Р(х-0) =О, что и требовалось доказать. Точно так же можно доказать, что Р(б < х) = Р(х + 0). Мы увидим, таким образом, что каждая функция распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям Р(-оо) = 0 и Р(+оо) =! функцией.
Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины. Заметим, что в то время как каждая случайная величина однозначно определяет свою функцию распределения, существует сколько угодно различных случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распределения. Так, если С принимает два значения — 1 и +1, каждое с вероятностью 1/2 и и = — с, то ясно, что всегда с отлично от ц. Тем не менее обе эти случайные величины имеют одну и ту же функцию распределения 0 при х< — 1, Р(х)= 1/2 при — ! <х<1, 1 при х>1.
9 19. Непрерывные и дискретные распределения Иногда поведение случайной величины характеризуют не заданием ее функции распределения, а каким-либо иным способом. Всякая такая характеристика носит название закона распределения случайной величины, если только по определенным правилам можно получить из нее функцию распределения. Так, законом распределения будет функция интервала Р(хн хз), представляющая собой вероятность неравенства х1 < с < хз. Действительно, зная Р(хп хз), мы можем найти функцию распределения по формуле Р(х) = Р(-оо, х). Мы уже знаем, что и по Р(х) можно найти для любых х1 и хз функцию Р(хн хз): Р(хн хз) = Р(хз) — Р(х~).
118 Глава 4. Случайные величины н функции распределения Часто в качестве закона распределения полезно брать функцию множества Р(Е), определенную для всех борелевских множеств и представляющую собой вероятность того, что случайная величина ( примет значение, принадлежащее множеству Е. Вероятность Р(Е), в силу расширенной аксиомы сложения, есть вполне аддитивиая функция множества, т.е. для любого множества Е, прелставляющего собой сумму конечного или счетного числа непересекающихся множеств Е». Р(Е) = ~~~ Р(Е» ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
