Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для наглядного представления о различии статистик Больцмана и Бозе— Эйнштейна рассмотрим частный пример: К = 4, и = 2. Всевозможные размещения в зтом примере можно записать в виде табл. 3, в которой а и Ь вЂ” наименования частиц. В статистике Больцмана все 16 возможностей зв Глава 1. Случайные события и их вероятности таблица 3 представляют собой различные равновероятностные события, в статистике же Бозе — Эйнштейна случаи 5 и !1, 6 и 12, 7 и 13, 8 и 14, 9 и 15, 10 и 16 попарно отождествляются и мы имеем группу из 10 равновероятных событий. Вычислим теперь общее число равновероятных случаев в статистике Бозе — Эйнштейна. С этой целью заметим, что всевозможные размещения частиц по ячейкам мы можем получить следующим путем: расположим ячейки на прямой вплотную друг к другу, расположим далее рядом одну возле другой на той же прямой наши частицы.
Рассмотрим теперь всевозможные перестановки частиц и перегородок между ячейками. Таким образом, как легко сообразить, будут учтены всевозможные заполнения ячеек, отличающихся как порядком расположения частиц в ячейках, так и порядком расположения перегородок. Число этих перестановок равно (2!Г+п-1)! . Среди этих перестановок имеются и тождественные: каждое распределение по ячейкам считается (2!! — 1)! Раз, так как мы различали, какие перегородки были между ячейками, а кроме того, каждое распределение по ячейкам мы снова считали по п1 раз, так как мы учитывали не только число частиц в ячейке, но и то, какие это частицы и в каком порядке они расположены. Таким образом, каждое распределение по ячейкам мы считали и!(2!à — !)! раз, отсюда число различных в смысле Бозе — Эйнштейна размещений частиц по ячейкам равно (и + 2!г — 1)! и!(2!г — 1)! Таким образом, число равновероятных событий в полной системе событий нами найдено. Теперь мы легко можем ответить на вопросы нашей задачи.
В статистике Бозе — Эйнштейна вероятности р~ и рз равны 1 и!(2!г — 1)! Р~— (и+2!! — 1)! (и+юà — 1)!' и!(2!à — 1)! Сия йт! (2!т — 1)! Р (п + 2!т — 1)! (Рà — и)!(РГ + и — 1 )! ' и!(2!à — !)! б 3. Примеры 39 Рассмотрим, наконец, статистику Ферми — Дирака. Согласно этой статистике, в ячейке может находиться либо одна частица, либо не находится ни одной, индивидуальность частиц уничтожается. Общее число размещений частиц по ячейкам в статистике Ферми— Дирака подсчитать легко: первая частица может быть расположена ЛГ различными способами, вторая — только Лà — 1, третья — (Лà — 2) и, наконец, и-я — (Ж вЂ” и+ 1) различными способами.
Но при этом мы за разные способы принимаем способы распределения, отличающиеся только перестановкой частиц по ячейкам. Для того чтобы исключить индивидуальность частиц, мы должны число, полученное указанным образом, еще разделить на и! . Таким образом, и частиц по?У ячейкам могут быть расположены 1 Лг! и! — ЛГ(?т' — 1)... (л1 — и + 1) = (йг — п)йй различными равновероятиыми способами. Легко сообразить, что в статистике Ферми — Дирака искомые вероятности равны (Лг — п)йй Р1= Рг=1. М! Рассмотренный пример показывает, насколько важно точно определять, какие события считаются в задаче равновероятиыми.
Пример 7. У театральной кассы стоят в очереди 2п человек. Среди них и человек имеют моиеты только рублевого достоинства, а остальные— только монеты по 50 копеек. Билет стоит 50 копеек. Каждый покупатель приобретает по одному билету. В начальный момент в кассе нет денег. Чему равна вероятность того, что ии один покупатель ие будет ждать сдачу? Эта задача является переформулировкой вопроса, который возник при изучении проблем управления качеством продукции в процессе производства.
Всевозможные перестановки покупателей равновероятны. Таким образом, имеется Сы всех возможных равиовероятных случаев. Для разыскания числа благоприятствующих случаев прибегнем к следующему геометрическому приему. Рассмотрим плоскость хОР и допустим, что покупатели в порядке очередности располагаются в точках оси абсцисс с координатами 1, 2,..., 2п. В начале координат расположена касса. Припишем каждому лицу, имеющему рубли, значение ординаты, равное +1, 2п,2) а имеющему полтинники — значе- у=1 ние — 1. Будем теперь суммировать последовательно эти значения слева (2п,о) х направо и в каждой целочисленной точке отмечать в виде ордииаты полученную сумму (рис.З). Соединим Рис. 3 40 Глава 1.
Случайные события и ик вероятности теперь получившиеся соседние точки прямолинейными отрезками и начало координат с первой справа из этих точек. Получившуюся ломаную назовем траекторией. Ясно, что оиа иа концах отрезка [0,2п) имеет ордииаты, равные О. Каждой траектории поставлено в соответствие определенное расположение лиц с рублями и полтинниками. Интересующему иас событию благоприятствуют те и только те траектории, которые ие поднимаются иад осью абсцисс.
Вычислим теперь общее число траекторий, достигающих или пересекающих хотя бы раз прямую у = !. Эти и только эти траектории благоприятствуют противоположному событию, когда хотя бы одному лицу придется ожидать сдачу. Для этой цели построим новую, фиктивную траекторию. До первого достижения прямой у = ! оиа совпадает со старой, а от точки достижения этой прямой оиа является зеркальным отображением старой траектории относительно прямой у = ! (иа рис. 3— пунктирная ломаная). Каждая новая траектория начинается в точке (О, 0) и заканчивается в точке (2п, 2).
Отсюда вытекает, что единичных подьемов оиа имеет иа два больше, чем спусков (имеиио: и+ ! подъем и и- ! спуск). Отсюда следует, что всех новых траекторий будет С~'„'. Значит число событий, благоприятствующих событию нашей задачи, будет Сы — С~'„' и тем самым искомая вероятность равна Сз«» з» Сз„и+1 и+ ! $4. Геометрические вероятности Еше в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность «классического» определения вероятности, основанного иа рассмотрении коиечиой группы равиовероятиых событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслимо бесконечное множество исходов.
При этом по-прежиему основную роль играло понятие «равиовероятиости» некоторых событий. Общая задача, которая ставилась и привела к распространению поиятия вероятности, может быть сформулирована следующим способом. Пусть имеется, например, иа плоскости некоторая область С и в ией содержится другая область в с квадрируемой границей.
В область С наудачу бросается точка и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область у. При этом выражению «точка бросается наудачу в область С» придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области С, вероятность попасть в какую- либо часть области С пропорциональна мере этой части (длиие, плошади и т.л.) и ие зависит от ее расположения и формы. 0 4. Геометрические вероятности 41 Таким образом, по определению, вероятность попадания в область д при бросании наудачу точки в область С равна тез д р= вез б Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Задача о встрече. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут„после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы 61. Решение.
Обозначим моменты прихода лица А через х и лица В через р. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы 1х — р! < 20. Станем изображать х и р как декартовы координаты на плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Возможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60; благоприятствующие встрече — расположатся в заштрихованной области (рис. 4). Искомая вероятность равна'> отношению плошади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата: 607 407 5 р= 20 И То есть момент прихода одного лица не влияет на момент прихода другого. Понятие независимости событиа будет подробно рассмотрено в $9.
и В 9 7 мы увидим, что в силу независимости моментов прихода лиц А и В вероятность того, что лицо А придет в промежуток от я до к+а. а лицо  — в промежуток от р до р+ в, равна й/60 а/60, т.е. пропорциональна плоцяцги прямоугольника со сторонами Л и а. Некоторые инженеры-исследователи применяли задачу о встрече к решению 60 х следующей проблемы организации произ- Рнс. 4 водства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
