Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Действительно, так как то, согласно уже доказанному свойству 2, Р(А+А) = 1, а так как события А и А несовместимы, то по свойству 3 Р(А+ А) = Р(А) + Р(А). Два последних равенства доказывают наше предположение. 5. Вероятность невозможного события равна нулю.
В самом деле, события й и й~ несовместимы, поэтому Р(й) + Р(й~) = Р(й), откуда следует, что Р(Я) = О. 6. Если событие А влечет за собой событие В, то Р(А) ( Р(В). Действительно, событие В может быть представлено как сумма двух событий А и АВ. Отсюда, в силу свойств 3 и 1, получаем: Р(В) = Р(А + АВ) = Р(А) + Р(АВ) > Р(А). 7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
Из того, что для любого события А имеют месю соотношения ЯС А+а = А=АЙСЙ, следует, в силу предыдущего свойства, что имеют место неравенства О = Р(ю) ( Р(А) ( Р(й) = 1. 32 Глава 1. Случайные события и ик вероятности 93. Примеры Мы рассмотрим теперь несколько примеров вычисления вероятностей событий, пользуясь классическим определением вероятности. Приводимые нами примеры носят исключительно иллюстративный характер и не претендуют на то, чтобы сообщить читателю все основные методы расчета вероятностей.
Пример 6 Бросаются три игральные кости. Что вероятнее: получить в сумме выпавших очков 11 или 12? Эта задача была одной из первичных, на которой формировались понятия и методы теории вероятностей. Утверждают, что с ней связана и следующая легенда: однажды к Галилею (а кто говорит, что к Гюйгенсу) за консультацией обратился ландскнехт.
Его интересовал именно предложенный нами вопрос. Ландскнехт оказался мыслящим человеком, склонным к теоретическому и экспериментальному мышлению. Он заявил Галилею, что согласно логике обе зти суммы должны появляться одинаково часто, но опыт учит другому, а именно, что сумма 11 появляется чаще, чем 12. В чем здесь дело? Обоснование ландскнехта на первый взгляд звучит убедительно: числа 11 и 12 оба могут быть разложены на сумму трех положительных слагаемых лишь шестью различными способами, а именно, 11=1+5+5=1+4+6=2+3+6=2+4+5=3+3+5=3+4+4; 12=1+5+6=2+4+6=2+5+5=3+4+5=3+3+6=4+4+4; отсюда, по его мнению, вытекает равновозможность обоих интересующих нас событий. Однако Галилей возразил ему, сказав, что каждое из этих разложений следует снабдить еще определенным весом и пояснил свою мысль таким рассуждением.
Назовем кости «первой», «второй» и «третьей»! тогда разложение 1+ 5 + 5 на самом деле может произойти не одним, а тремя различными способами: 1+5+5=5+1+5=5+5+1, т. е. единица может выпасть на первой, второй или третьей кости. Точно также разложение 1 + 4+ б может произойти следующими шестью различными способами: 1+4+6= 1+6+4=4+1+6=4+6+1=6+1+4=6+4+1. Таким образом, 11 в сумме может появиться не шестью, а 27 различными равновозможными способами. Сумма же !2, оказывается, разлагается лишь 25 различными способами.
Здесь все дело в том, что разложение 4 + 4 + 4 осуществимо лишь одним способом. Теперь заметим, что общее число всех возможных равновероятных выпадений трех игральных костей равно 6' = 216. Это было правильно посчитано еше в ХП веке. 63. Примеры Обозначим через А и В случайные события, состоящие в выпадении соответственно 11 и 12 очков в сумме.
Тогда согласно данному нами классическому определению вероятности, 27 25 Р(А) = — и Р(В) = —. 216 2!6 В математической статистике показывается, что для уверенного раз- деления двух вероятностей, отличающихся менее чем на одну сотую, нужно произвести много тысяч испытаний. Пример и Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется точно один туз. Решение Полная группа равновероятных и несовместимых событий в нашей задаче состоит из всевозможных комбинаций по три карты, их число равно Сзр. Число благоприятствующих событий можно подсчитать следующим способом. Один туз мы можем выбрать С4 различными способами, а две другие карты (не туз) можно выбрать С22 различными способами. Так как лля каждого определенного туза две остальные карты могут быть выбраны С322 способами, то всего благоприятствующих случаев будет С' С22.
Искомая вероятность, таким образом, равна 4 32 3! С' С2 ! ' ! 2 3! ° 16 496 Сз 36 35 34 35 3 17 1785 1 ° 2 ° 3 т. е. немного больше 0,25. Пример 3. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз. Решение. Обозначим интересующее нас событие буквой А: оно мо- жет быть представлено в виде суммы трех следующих несовместимых событий: А ~ — появление одного туза, Аз — появление двух тузов, Аз— появление трех тузов. Рассуждениями, аналогичными тем, которые мы видели при решении предыдущей задачи, легко установить, что число случаев, благоприятству- ющих событию А2 равно С, См, 2 2 $ А2 — — С4 ° Сзз, з о АЗ 44'т 32. Так как число всевозможных случаев равно С34, то Сзь 3 ° 35 ° 17 2 Ктрт тторнн норонтноотор 34 Глава !.
Случайныв события н нх вероятности Р(Аз) = з С4 ' Сзаз 1 Сзв 3 35 17 В силу теоремы сложения 109 Р(А) = Р(А) + Р(Аз) + Р(Аз) = — = 0,3053. 3 ° 119 Этот пример можно решить и иным методом. Событие А, противоположное А, состоит в том, что среди вынутых карт не окажется ни одного туза. Очевидно, что тРи не-тУза можно вынУгь из колоды каРт Сзз, Различными способами и, следовательно, Сззз 32'31'30 31'8 Сз 36.35,34 3,17,7 Искомая вероятность равна 1(А) =1 — Р(А) =о,зо5з. Примечание. В обоих примерах выражение «наудачу» означало, что всевозможные комбинации по три карты равновероятны. Пример 4.
Рассмотрим теперь пример, который широко используется при проверке качества принимаемой продукции. В математическом отношении он близок к примеру 2. В урне находится ззГ одинаковых по размеру и внешнему виду шаров; среди них М белых и ззà — М черных. Наудачу вынимают и шаров (без возвращения в урну). Чему равна вероятность того, что среди них окажется т белых? Из условия задачи ясно, что мы предполагаем выполнение неравенств ти < п и ш < М, а также и — т < Ф вЂ” М.
Общее число всех равноаероятных случаев, как легко понять, равно Сн». Число благоприятствующих случаев подсчитаем следующим путем: разлйчных способов извлечь гп белых шаров имеется См»з, а и — т черных — Сн и. Таким образом, общее число благоприятных равновозможных случаев равно См С", . Отсюда искомая вероятность С~'3 .
Сй щ С и Пример 5. Колоду карт„состоящую из 36 карт, наудачу разделяют на две равные части. Чему равна вероятность„что в обеих частях окажется по равному числу красных и черных карт. Выражение «наудачу» означает, что всевозможные разделения колоды на две части равновероятны. Решение. Нам нужно найти вероятность того, что среди наудачу вынутых из колоды 18 карт 9 будут красными и 9 — черными. Согласно примеру 4, искомая вероятность равна, следовательно, С,',. С,'з (!8!)' С'з 36!(9!)« б 3. Примеры Чтобы составить себе представление о величине этой вероятности и при этом не производить утомительных вычислений, мы воспользуемся формулой Стирлинга, согласно которой при и -э со имеет место следующее асимптотическое равенство; и! Лпп и ехр (-п).
Таким образом, имеем: 18! = 18" . ехр (-18) т/2л 18, 9! = 9 ехр (-9) т/2л. 9, 36! Збм ° ехр ( — 36) 1/2а ° 36, и значит, (~/2л ° 18 !8и ехр (-18)) ~/2л 36 . Збм ехр (-36) (з/2л 9 9 ехр (-9)) После несложных преобразований находим, что 2 4 р — 0,26. т/)8л 15 Естественно возникает вопрос: какое отношение имеют найденные вероятности к реальным явлениям? Чтобы наглядно это ощутить, на одной из лекций был проведен такой эксперимент: студенты принесли несколько колод карт по 36 карт каждая и затем сто раз было произведено разделение колод наудачу на две равные части.
В табл. 2 приведены результаты этого эксперимента. В первом столбце указан номер испытания, во втором— число появившихся в одной из полуколод красных карт, в третьем — число случаев деления красных и черных карт пополам среди уже произведенных испытаний и, наконец, в четвертом столбце ланы значения частот. Приводимый на рис. 2 график наглядно представляет изменение частоты р/и в зависимости от числа испытаний. Вначале, когда число опытов невелико, ломаная линия порой значительно уклоняется от прямой р = р 0,26.
Затем с увеличением числа опытов ломаная в общем все ближе и ближе подходит к этой прямой. Пример б. Имеется и частиц, каждая из которых может находиться с одной и той же вероятностью 1/2!/ в каждой из 2!г (1!/ ) и) ячеек. найти вероятность того, что: 1) в определенных п ячейках окажется по олной частице, 2) в каких-то п ячейках окажется по одной частице. Решение. Эта задача играет важную роль в современной статистической физике, и в зависимости от того, как образуется полная группа равновероятных событий, приходят к той или иной физической статистике: Больцмана, Бозе — Эйнштейна, Ферми — Дирака.
Случайные события и их вероятности Глава 1. Табпипвв 2 Число красных карт Число благопр. случаев Число красных кв!гт Число благопр. случаев Номер испы- таний Номер испы- таний Час- тота Час- тоте 1 2 3 4 5 б 7 В 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3! 32 ЗЗ 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 8 9 11 9 !1 8 11 9 8 7 12 Ю 9 13 12 8 11 Ю 8 11 12 1О Ю 9 9 14 9 1О 10 7 $0 7 8 10 9 9 10 10 8 7 9 !О 10 9 8 7 12 9 б 7 О 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 9 9 9 9 9 Ю !О !О 11 11 11 11 12 12 12 0,00 0,50 0,33 0,50 0,40 0,33 0,29 0,37 0,33 0,30 0,27 0,25 0,31 0,29 0,27 0,25 0,23 0,22 0,21 0,20 0,$9 0,18 0,17 0,21 0,24 0,23 0,26 0,25 0,24 0,23 0,22 0,22 0,21 0,21 0,23 0,25 0,24 0,24 0,23 0,22 0,24 0,24 0,23 0,25 0,24 0,24 0,23 0,25 0,25 0,24 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 9! 92 93 94 95 96 97 98 99 100 9 8 7 9 7 9 9 1! 8 8 8 10 12 9 11 12 11 8 Ю 8 7 9 Ю 8 11 8 9 9 5 8 7 !О 9 б 10 10 9 7 7 10 8 8 10 8 11 9 9 1О 7 7 $3 13 13 14 14 15 16 1б 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 1В 18 !9 20 20 20 20 20 2$ 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 23 24 24 24 24 0,25 0,25 0,25 0,26 0,26 0,27 0,28 0,28 0,27 0,27 0,26 0,26 0,25 0,27 0,26 0,26 0,26 0,25 0,25 0,25 0,24 0,25 0,25 0,24 0,24 0,24 0,25 0,26 0,26 0,25 0,25 0,24 0,25 0,24 0,25 0,24 0,25 0,25 0,25 0,24 0,24 0,24 0,24 0,23 0,23 0,24 0,25 0,25 0,24 0,24 З7 О 3.
Примеры И и 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1О 20 30 40 50 60 70 80 90 100 и Рис. 2 В статистике Больцмана равновероятными считаются любые мыслимые размещения, отличающиеся не только числом, но и индивидуальностью частиц: в каждой ячейке может помешаться любое число частиц от 0 до и. Общее число возможных размещений мы подсчитаем следующим способом: каждая частица может находиться в каждой из К ячеек, следовательно, и частиц можно разметить по ячейкам № различными способами. В первом вопросе число благоприятствующих случаев будет, очевидно, и! и, значит, вероятность того, что в определенные и ячеек попадет по одной частице, равна и! уи ' Во втором случае число благоприятствующих случаев будет в СЯ раз больше и, значит, вероятность того, что в какие-то и ячеек попадет по одной частице, равна агь 211Я(У и)Н В статистике Бозе — Эйнштейна считаются тождественными случаи, когда частицы меняются местами между ячейками (важно только, сколько частиц попало в ячейку, но не индивидуальность попавших частиц), и полная группа равновероятных событий состоит из всевозможных размещений и частиц по Ф ячейкам, причем за одно размещение принимается целый класс больцмановских размещений, отличающихся не числами солержашихся в определенных ячейках частиц, а только самими частицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
