Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1119912), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для примера, пусть у нас имеется некоторое техническое устройство, скажем, электрическая лампочка. Нас интересует вопрос: проработает ли она безотказно 1500 часов? Заранее мы не можем ответить ни утвердительно, ни отрицательно. Для этого у нас нет данных. Но мы можем и должны ответить иначе, что доля тех лампочек из большого числа находящихся в одинаковых условиях эксплуатации, которые проработают по меньшей мере 1500 часов, равна р. Эта величина существенно зависит от того, на каком предприятии изготовлена лампочка и, безусловно, от того, в каких условиях ей приходится работать (исправность проводки и патрона, размеры колебаний напряжения и силы тока и пр.). Конечно, каждая электрическая лампочка индивидуальна по своим качествам, но этих лампочек изготовляется очень много и испытать можно большое их число, притом изготовленных в одних н тех же производственных условиях.
Мы встречаемся, таким образом, с повторением испытаний двух различных типов: а) повторение испытаний для одного и того же объекта изучения (повторное извлечение шара из урны, содержащей несколько одинаковых шаров; извлечение наудачу карты из полной колоды и т.д.); б) испытание многих сходных объектов. Именно по этому образцу на заводах производится испытание качества изготовленной продукции. Формулировка детерминистических закономерностей, к которым все привыкли со школьных лет, звучит так: 2. При каждом осуществлении комплекса условий 6 обязательно происходит событие А.
В следующем параграФе мы увидим, что вероятность случайного события измеряется числом, заключенным между 0 и 1. Единице соответствует те события, которые обязательно наступают при каждом осуществлении комплекса 8. Такие события называются достоверными. Если же событие невозможно, то ему соответствует вероятность О.
Мы видим, что детерминистические закономерности можно рассматривать как частный случай стохастических, для которых вероятность р равна 0 или 1. Таким образом, стохастические закономерности являются более широкими, чем детерминистические, и позволяют точные, количественные методы применять и в тех случаях, когда о классическом детерминизме не может быть и речи. О мы пока ие даем определеиия понятия вероятности и полагаемся иа имеютдиеся у читателея иитуитивиые предсювлеиия.
24 Глава Ц Случайные события и их вероятности Каждый исследователь, имеющий дело с применениями теории вероятностей к физике, биологии, инженерному делу„организации производства или любой другой конкретной области знаниИ, исходит в своей работе из убеждения, что вероятностные суждения выражают определенные объективные свойства реальных явлений. Поэтому утверждение, что при выполнении некоторого комплекса условий 6 событие А имеет вероятность р, имеет серьезное познавательное значение. Оно указывает на наличие определенной, хотя и своеобразной, но от этого не менее объективной связи между комплексом условий 6 и событием А. Даже только утверждение, что вероятность события А при осуществлении комплекса условий Ь существует (хотя и неизвестна), является содержательным утверждением, нуждающимся в объективном обосновании и последующей проверке, если оно принято в качестве гипотезы.
Философская задача состоит в выяснении природы этой связи. Ее решению посвящено большое число исследований, но задача до сих пор еще остается не решенной. Трудность этой проблемы привела к тому парадоксальному результату, что среди ученых встречается стремление не найти положительное ее решение, а снять ее, объявив вероятностные суждения имеющими отношение только к состоянию познающего субъекта (измеряющими степень его уверенности в наступлении события А и дающими основания для приписывания равных вероятностей исходов испытания при полном незнании).
В последнее время такие субъективистские выводы нередко делаются по поводу событий, происходящих в условиях неопределенности, как теперь принято говорить. $2. Поле событий. Классическое определение вероятности Мы до сих пор не давали формализованного определения ни случайного события, ни его вероятности. Теперь приступим к этому, стремясь одновременно воспитать у читателя теоретико-вероятностную интуицию. Такая цель заставляет нас вводить определение вероятности постепенно, как бы повторяя исторический путь.
Такой подход позволяет избежать формального восприятия, а отправляясь от простейших представлений, постепенно переходить к более сложным и общим. Начнем с так называемого классического определения вероятности. При этом мы увидим, что оно в действительности является не определением, а скорее методом вычисления вероятностей при вполне определенных и сильно ограниченных условиях. Классическое определение исходит из предположения равновозможности как объективного свойства изучаемых явлений, основанного на их реальной симметрии.
Понятие равновозможности (равновероятности) является первичным, не подлежащим формальному определению. Оно лишь поясняется рядом простых и доступных примеров. При бросании на плоскость геометрически правильного куба, изготовленного из однородного материала, любая из шести граней (при подбрасывании наудачу) не имеет реальных преимуществ перед другими.
б 2. Поле событий. Классическое определение вероятности 25 Таким образом, если перенумеровать грани цифрами от 1 до 6, то при бросании куба могут произойти шесть равиовероятиых событий: выпадение граней 1, 2, 3, 4, 5, 6, При подбрасывании однородного по плотности правильного двадцатиграииика (икосаэдра) выпадение каждой грани в силу симметрии одинаково возможно. Мы имеем случай, когда возможны двадцать равиовероятиых исходов. Представим себе теперь, что при каждом испытании единственно возможны и несовместимых и равновозмозиных исходов Еы Ез,..., Е„. Слово «несовместимый» было введено в науку английским ученым Байесом (1702 — 1761) и означает, что если наступил какой-нибудь исход Е1, то ии один из остальных и — 1 исходов в этом испытании наступить уже ие мог. Так, если при бросании игральной кости выпала грань «3», то зто означает, что при том же бросании ие могла появиться грань «5». Каждый такой исход станем называть элементарным событием.
Наряду с элементарными событиями рассматриваются также случайные события. Часто представляет интерес наступление при испытании ие какого-то элементарного события, а одного из нескольких определенных элементарных событий. Например, при бросании игральной кости нас может интересовать появление граней с числом очков, ббльшим трех, т.е. появление какого-то из элементарных событий *4», «5», «6». Мы станем говорить в этом случае, что иас интересует случайное событие— выпадение числа очков, ббльшего трех.
Вообще, если иас интересует появление какого-то из определенных элементарных событий, например, одного из событий Е;„Е;„..., Ь';„, то мы станем говорить, что иас интересует наступление случайною события А, состоящего в выпадеиии какого-то из гп только что указанных элементарных событий. Вероятностью случайного события А называется отношение числа несовместимых и равиовозможиых элементарных событий, составляющих А (т.е. числа гв), к числу всех возможных элементарных событий (т.е. к числу и). Вероятность случайного события А обозначается символом Р(А). Согласно только что данному определению Р(А) = —. Например, при однократном бросании игральной кости полная группа попарно несовместимых и равиовероятиых событий состоит из событий Е~ Ез Ез.
Е«Ез Еь* которые состоят соответственно в выпадении 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Событие, состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется иа три частных случая, входящих в состав несовместимых и равиовероятиых событий. Поэтому вероятность события С равна 3 1 Р(С) = — = —. 6 2 2Б Глава 1. Случайные события и ик вероятности Очевидно также, что в силу принятого определения Р(Е;) = —, 1<!<6, 1 6' 2 1 Р(Ег +Ез) = — = 6 3 и т.д.
Рассмотрим теперь бросание двух костей. Если кости правильны, то выпадение каждой из 36 возможных комбинаций числа очков на первой и второй кости можно считать равновероятными. Так, скажем, вероятность выпадения в сумме 12 очков равна 1/36. Выпадение в сумме 11 очков возможно двумя способами: на первой кости 5, а на другой 6, на первой кости 6, а на второй 5.
Поэтому вероятность выпадения в сумме одиннадцати очков равна 2/36 = 1/18. Читатель легко проверит, что вероятность выпадения той или иной суммы очков даются следующей таблицей: таблица ! Подсчитаем теперь общее число возможных случайных событий, которое можно образовать из и элементарных. Очевидно, что можно образовать С„'" событий, каждое из которых будет содержать по тп каких-то элементарных событий (! < ш < п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
