В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Однако такая ситуация является скорее исключением, чем общим правилом. В общем случае невозможно указать иеобходимое количество первых интегралов, чтобы проиптсгрировать уранпеппя движения. Такие системы пазьп>ают пеиятегрирусмымп. Основы теории качествсипого исследования псиптегрируемых систем были сформулированы в конце Х1Х в, при изучепии некоторых задач псбсспой механики, решение которых пс может быть прсдставлсио в виде извсстпых элементарных или специальных фупкций или сходящихся рядов таких функций Дальнейшие исследования показали, что нсиптсгрируемые системы чрезвычайно широко распространены и являются иаиболсс типичными в задачах механики, В частности, к пим отиосятси такие простейшие системы, как математический маятник, па который действует вьну>кдиощая сила, система из двух связанных математических маятников и многие другие. Поскольку мы предполагаем вести качественный анализ пеиптегрируемых систем, для исследования общих свойств движения иам придется обратиться непосредственно к дипамическим уравнениям.
>ЗЛ. ФЛЗОВОЕ ПРОСТРЛНСТВО ДИНЛМИЧГСКОЙ СИСТЕМЫ Уточним прежде некоторые понятия, которыми мы пользовались ранее. Как известно, состояние механической системы с л степенями свободы полностью определяется заданием в каждый момент времени 2и переменных, например коордииат и скоростей точек системы х,=-(дп д>), 1(1(п. Предполагается, что взаимодействие тел рассматриваемой механической системы между собой и с другими 1впсшпями) телами происходит так, что если известно состояние системы н некоторый момент времени 1=0, то при задаипом законе движения япсшпих тел эволюция системы однозначно определяется пачвльпымп условнямя. Система, эволюция которой одпозпвчио.
определепа начальным состоянием, называется динамической. РВЯ ййпожсство всех возможных состояний системы об азует х1>п>>оное пространство. В частности, фазоаое пространство си- стем!к может быть ярос>й>апством коордипа!' и ска1>остей. Для в>еханпческай системы с и степенями свободы фазовое прост- рапс!'па 2п-мерно. В некоторых ела>аях, когда описание движения удобнее пранадпть с помощью канонических уравнений, фазовое про- странства строится как пространство координат и импульсов: х .= (г>'! Р>!. „Ели одномерных систем фазовое пространство является дву- Мерпым и ва многих случаях представляет собой фазовую плос- кость.
В общем случае геометрические свойства фазового про- страпспи нарождаются свойствами динамической системы. Разя>пц>>от локальные и глобальные свойства. Если в некото- рый момент времени координаты в импульсы, определяющие состояние некоторой системы, мало отличаются от координат и импульсов, опрсделя>ошпх другое состояние системы, такие со- стояши называют близкими. Для определения близости точек фаж>ного пространства вводят понятие расстояния между тач- ками, >>иределяя метрику пространства.
Обычно для этой це- ли используют метрику евклидова пространства. Напомним, что пространства конфигураций, образуемое обобщенными коорди- пвтамн н используемое для описания движения систем с голо- памнымн связямп в методе Лагранжа, оказывается римановь>м. Бпсдспие расстояния в фазовом пространстве позволяет опре- делить фазовый абьем, который часто используется при иссле- довании поведения канонических систем, Глобальные геометрические свойства фазового пространст- ва, определяемые динамической системой, формируют опреде- ланную топалоппо, Так, прн описании дан>кения математичес- кого маятника и качестве обобщенной координаты обычно ис- пользуют угол отклонения стержня ог поло>кения равновесия.
Поскольку точки гр=Ч>а и Ч>=Ч>!>+2п описывают одно и то же положение маятника, точки фазового пространства >рз и Ч>!>+2п должны быть отождествлены, т. е. фазовое пространство мате- матического маятника — цилиндр. Изменение состояния механической системы с течением вре- мени называется движением. Пусть при г=>, состояние систе- мы определено точкой хм фазового пространства, а при г=г!— тачкой хп.
Назовем расширенным фазовым пространством нлн пространством состоянии пространство, точки которого опреде- ли>отея координатами и>=(х>, В. Оператор, переводящий точки расширенного фазового пространства им в точки и>,: и>! =Т(т!) и>,, где т! = г! — !,, задает движение системы. Этот оператор называется оператором эволюции, Поскольку точку ип можно рассматривать как пачальи точку, для того чтобы определить движение в точке нпн и;, = Т (т,) ив, т, =- 1, — 1„ то операторы, определяющие отображение точек пространства состояний, образуют однопараметрическую группу, так как в,.
полняются следующие соотношения; Т(тз+т,) =-Т(тз) Т(т,). Т (О) = 1, Т ( — т) =. Т (т) . Для механических систем классической физики переход от одного состояния к другому осуществляется через пепрерьщ. ную последовательность состояний, образующих в фазовом пространстве некоторую кривую — фазовую траскторию; х~- х;(1). В некоторых случаях, например прп изучении движения точ ки под действием периодической силы, бывает удобно фиксировать состояние системы в определенные моменты времени, Оператор эволюции в этом случае задает лишь дискретное отображение точек фазового пространства — отобразкение Пуан.
каре. В этом случае фазовая траектория отсутствует. Если оператор эволюции динамической системы определен для всех моментов времени и определяет непрерывное отображение, то такая система называется потоком. Если оператор эволюции системы определен для дискретного множества значений времени, то она называется каскадом, Для систем, динамика которых описывается с помощью непрерывного оператора эволюции, можно ввести фазовую скорость. Фазовой скоростью г'; называют вектор, определяемый соотношением $'~ — — хь Векторы фазовой скорости образуют в каэкдой точке фазового пространства линейное пространство, называемое касательным; $'1 = р', (х„, 1).
Рассматриваемые динамические системы можно задавать с по- мощью дифференциальных уравнений (1,16) х;=~~(хм 1), ( «~1, й: и, В частности, это может быть каноническая система. Система дифференциальных уравнений описывает динамическую систему, если начальные условия однозначно определяют эволюцию, т. е.
выполняются условия теоремы существования и единственности решения уравнений. 260 Если функции г";(хм 1) непрерывны в некоторой области фазового пространства и удовлетворяют в этой области условшо Липшица по переменным хе. 11,(хю К) — (;(х,'е 1')!<(.„Д !хь — х,'(~, где (.„— константа, не зависящая от г и хм то начальные условия определяют единственное решение на интервале 0<1(Т. Таким образом, решение уравнений (1.15) с заданными печальными условиямн определяет интегральную кривую в расширенном фазовом пространстве. Прн этом интсгралыпяе кривые не могут пересекаться, если выполнены условия теоремы.
Точка пространства состояний называется особой, если н ией возможно пересечение интегральных кривых. Заметим, что нарушение условий теоремы существования и единственности пе обязательна указывает на существование особой точки. Построение оператора эволюции для системы, описываемой д,ифференциальными уравнениями, сводится к отысканию решений этих уравнений при заданных начальных условиях, т. с.
решению задачи Коши. Хотя выполнение условий теоремы существования и еднпствсшюстн и гарантирует существование этого решения, практическое получение его и исследование свойств представляют, как правило, весьма сложную задачу. 1зя. лвтономныс снстпмы Качественное исследование динамической системы в общем случае очень сложно, поэтому мы рассмотрим некоторые частные случаи, часто встреча|ощиеся в задачах механики. Если правые части дифференциальных уравнений (1.15) не зависят явно от времени, то система называется автономной. Векторное поле Р~=(;(хь) автономной системы является стационарным. Фазовые траектории системы касаются соответствующих векторов и, следовательно, также явля~отея стацнопарпымн. Поскольку фазовые траектории пе меняются с течением времени, для решения этих уравнений справедливо следующее утверждение. Если х~=х;(1) — решение автономной системы, удовлетворяющее начальным условиям х;(0)=хм, то х;=х;(1+т) также является решением автономной системы, проходящим через указанную точку.
Таким образом, две различные фазовые траектории автономной системы пе пересекаются. Действительна, если предположить, что два различных решения х;=х;(1) и х~=х;(1) проходят через одну точку х„(й)=х~((е), то в силу сделанного утверждения эти решения совпадают прн всех й Фазавая траектория автономной системы, имеющая точку самопересечепия, или состоит из одгюй точки, или является пе- 261 рноднческой с некоторым периодом.
Действительно, если пря некотором т=Гэ — Г, х; (Га) = х, (1,), то решения совпадают при всех й В этом случае имеются лишь две возможности относительно выбора т: если равенство справедливо прн любых т, то, полагая т= — 1, получим х,(1) =х;(0), т. е. траектория системы — точка; если равенство выполняется пе при любых т, то существует минимальное значение т.п,=Т (Т вЂ” период), такое, что х;(1+ + Т) =х;(1). Таким образом, мы приходим к выводу, что любая траск.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
