В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 35
Текст из файла (страница 35)
р«ш<ни«ка>орых инходится стандартными ы< ><>:<и<>и. Учитывая, что величина кинетического момента Ма постоянна: Ма = ) У1 ыз+ Узы, определим сохраняющийся угол 0: соз 6 =- .роуз з+уз„р 'С учетом полученного решения система кинематических урав- нений (28.13) можст быть приведена к уравнениям гр з(п 0„= мм <р соз 0„+ 1Р = ы, (29.13) решения которых н определяют движение твердого тела Ф=111+Фч (30.13) 1У а В завнснмостн от соотношения между У~ н Уз прецессии может быть прямой, когда У1)Ум нлн обратной, когда У~<Уз.
Полученные результаты могут быть применены к описанию движения планет, которые представляют собой слегка спл|оснутые тела вращения, Если распределение масс обладает симметрией, то можно полагать У,=Ум УзчьУь Например, для Земли Уз>Уь Если период суточного вращения известен и угол между осью вращения и осью симметрии мал, то период обращения полюса — период Эйлера — определяется полученным соотношением У1 — Уз 12 пя 1 В частности, для Земли ' '" =0,0033, так что ыяв — — Я!300.
у~ Наблюдаемое движение полюса несколько отличается от расчетного, что может быть обусловлено отклонением в распределении масс от принятой модели или тем, что модель абсолютно твердого тела в этом случае оказывается слишком грубой. заав СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА Рассмотрим подробнее общий случай свободного движения, когда решение может быть получено в квадратурах, — случай Эйлера. В этом случае задача интегрирования может быть разделена на две части. Во-первых, может быть проинтегрирована в квадратурах система динамических уравнений Эйлера и получены выражения для компонент вектора угловой скорости независимо от выбора координат, определяющих ориентацию твердого тела, и, во-вторых, до конца интегри- рустся система кннематических уравнений, например, при выборе в качестве параметров углов Эйлера.
Первая часть задачи решается благодаря выбору подвижной системы координат для записи динамических уравнений, поскольку в этом случае коэффициенты в'а пе зависят от времени. Система однородных уравнений Эйлера имеет два очевидных интеграла — энергшо н квадрат кинетического момента: в 2Е =- УФ+ )а-?в+ Уа~?з, М' =.
АЖ+ УФй+ Уз~?в. .Используя зтп интегралы, легко исключить любые две функции, например а?, н Ые, из уравнений движения. Обычно исключают Яьа и оставляют уравнение для а?а: 3 вУаАЙ, '=- ЬМа — 2ЕЛа) — Ла ()а — 1а) йв1! (2ЕУв — Ма) — (а (У вЂ” Уа) йа1 а?а=йа(Е, М, Ра) содернаит не только линейные, ио и квадратичные по энергии члены. Такая структура характерна для релятивистских одномерных задач, где интегралом является квадрат четырехмерного импульса. Полезно поэтому несколько обобщить понятие эффективной энергии, определив ее условием а?=О.
В нашем случае это приведет к существованию двух ветвей эффективной энергии Еавв, определяемых уравнениями ав — аа ув (32.13) Ма вва?в Е = — +— а.?в 2 Х, — Ха в. Ес Халнлоа, Г. А. Чнлвоа Полученное уравнение нвляется уравнением с разделяющимися 'переменными и легко интегрируется. Прежде чем переходить к вычислению квадратуры, проведем качественное исследование н рассмотрим возможные области изменения параметров и переменных. Пусть движение происходит с некоторым заданным 'значением величины кинетического момента М=сопзй Движение возможно лишь в области изменения энергии и пеРеменной <?ь УдовлетвоРЯющпх Условию а?ва)0, СтРУктУРа уравнения совпадает со структурой уравнения в задачеободномерном движении в случае существования интеграла энергии, В этом случае полезным оказывается введение эффективной потенциальной энергии, возможно, зависящей от дополнительных параметров (например, момента в задаче о движении в центральном поле).
В рассмотренных ранее задачах, однако, энергия входила линейно, а в нашем случае выражение Поскольку мы полагаем l~>Уз, наедем следующие обозначения: М' ~И' Е,„= —, Е„ы= —, 21з Значения параметров Е,нс и Е~,г 'определяют область измене:ния энергии в рассматриваемой задаче при фиксированном значении кинетического момента; Еыы ~ Е(Е,„. Зависимость Е,аа(й) изображена на рис. 1.13. Движение с заданным значением Е происходит в области Е (11) Е Е ь (Г1), что определяет область изменения переменной й: ~10 ~~ ~ » «(й20 ' Границы области, соответствующие значениям Я„=О, йы=О. .определяют точки остановки. В отличие от обычных, графиков разность Š— Е,аф теперь не является кинетической энергией точ- ки, так что непосредственное определ ление скорости по виду графика несколько сложнее. В рассматриваемом случае й ~/(Š— Е (й))(Е.ь(11) — Е), т.,е.
определяется средним геометрическим. Максимальное значение Яа достигается в точках, удовлетворяющих условию .лр л Е+ (11о) = Е- (1)о) =Ео Рис. 1.13 Подставляя сюда значения пз уравнений (32.13), получим М М"" ыо = — Ес = 21а Таким образом, прн энергии Е=Е„тело вращается вокруг осн, совпадающей с ортом е,. Прн Й,=О ось вращеяия лежит в плоскости е;, е, и может занимать любое положение по бтйошению к ортам. В частности, если 0,=0, то М=у~йм Е=Е „,. Таким образом, тело, враща1ощееся вокруг оси с минимальным моментом инерции, обладает максимальной энергией, а точка иа графике Яз — — О, Е=Е,» изображает это состояние. Соответственно прн 11,=0 н Е=Е,ьь М=У~й, вращение происходит вокруг осп еь Вблизи границы области движение является равпоускореп- ным, так что граница достигается за конечное время.
Действн- тельшк пусть изображающая точка движется вблизи апь Разло- жим Е (Я) в окрестности точки Яни е (а)=е (я,„)+ —,„ла=е [а„) — йла, где — х= — <О. ай дй В этом случае справедливо приближение а -ла-у'йла(е+(а„) — е (а„о, т, е. ла — )/ ла, ьп, НО так что интеграл Л!=- ( ~~Ю, сходится. Этот результат ~/ьи ч означает, что все точки гранины ' Е+ — Е=О, ( Еч — Е~:О, (: (-= Š— Е ~О (Š— Е =О являются точками поворота и достигаются за конечное время. Таким образом, движение изображающей точки — колебания. угловая скорость аз=аз(1) при заданном значении момента Л) совершает колебания, амплитуда которых зависит лишь от значении энергии и определяется условием Е = Еэфф (аампл) ° Кинетическая энергия движения, обусловленного изменением параметра Яь имеет в рассмотренных точках простой корень. Точки Яв — — О, Е=Е ы и Я2 — — О, Е=Етах являются точками устойчивого равповссия, а движение в окрестности этих точек — гармоннческяе колебания.
Несложно вычислить период этих колебаний н определить закон движения. Пусть, например, Е=Е~ы+е, где е(<Е~ы. Это соответствует вращению вокруг оси еь Полагая, что в этом случае М' /!! Е+ (Я) — Е = Етв к — Еты = — ~ — — — ), ~в получим приближенное уравнение для Я2. 22Х Решение этого уравнения дает гармонические колебания для Яз ((): Яз =- Язз 5) и (1оз(+ сэ), которые происходят с амплитудой Язэ, определяемой отклонением энергии от экстремума Е „„а частота этих колебаний определяется лишь компонентами тепзора ннерппн и величиной кинетического момента Учитывая связь между компонептамп угловой скорости (3).13) ! )1(,/1 — )з) Яэ = М' — 2Е/з--Уз (Уз — Уз) Яз, lз (У1 — Уэ) Яэ — —.
2ЕУ1 — Мэ — Уз (/1 — lз) Яз, при Е=Е 1,+е получим выражения для компонент Я1 н Яз Яэ(()=-~ 1,2 — — ' "- " Я:((), 1))з )з ( lэ — (з) з ,(2 (1 ( )1 (э) 1 (33,13) Яэ(() = =~ $/ ' - Язэсоз((01(-(-сз) - у ~з(,А —.(2) Уэ (Уэ — 12) Таким образом, вектор угловой скорости описывает эллипсы вокруг оси е„прячем полуоси эпзх эллипсов определяются малой амплнтудой колебаний Яеь Поскольку величина вектора скорости практически равна Я,жМ/з'„ то период вращении вектора угловой скорости вокруг осп Гз 2 1 (1 (2) (21 УЗ) .(2,)з Аналогичные выражения справедливы и для вращения вокруг осн е,.
Выражения для ннх могут быть получены простой заменой индексов: ~~((1 (з) ((з — уз) ,.(1.(з Несколько сложнее исследовать движение в окрестности точкнз Яэ. При Е=Еэ точка Я=Я, является корнем кратности 2 для выражения (Š— Е,фе)'. В этом случае, как следует из общей теории качественного исследования движения, особая точка недостижима за конечное время, 1Ь»с>виляя >качение Еь-М>!21. и ураннщше длн угловой .н~цин >н И>, получим лиФФ«р«напальное ураниеищ / >.>, Иа . =>-. ~Г --- ' ' '- ($' — И'.1 ~ !'>(Ȅ— И:), (31.!3) ~~~1 где )1н>«>риронн>ии >иио урана«вин дис> Ц>аг>ири» кош >ан>у иим>ририиаиин так, ч>обы И>„(! > и, Й,(и):~(>, получим нипие выражение лля Ие. И, (г1 И>„11> А,И„!.
l„()„— 1>] И1с: М" — 2Е1„, ,)„(), — lх) И>м 2Ы, — М', (35.13) о помощьк> которых уравнения для угловой скорости Я> можно записать и ниде Из Ах (йм — Из) (И>е — И>). В обла«ти ичмек«вин»араметра Е при вадапном М нведенаые >или пшы удонл«т>щряют услаииям «> — "в е — Ис (И,ц=й прн Е.--Еичх)* га >х — Иа (Яхп'" О при Е=-Е„и,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
