В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В результате изменения координативремснн начала н конца движения переход ог траектории АВ в траектории А'В' приводит к изменению действия. Нетрудно найти это изменение 65 в явном виде: 5л в' — 5лв= ~ ( 6")+ ' дЗ д! ~,1 д.ч 1в (-бд,)~ ь! дЕ л ! (70 11) Рве зд ! Рм=ры(!1м !о Ч~ !) 1=1 Подставляя эти функции в (80.11), находим 5=5(!! ! !4 !о) Вычислим вариацию 5 при фиксированных моментах времени ! и 1а, используя определение [80.11); 65 = ~ ~ ( — — — ( —.) ~ бд!!(г'+~~)1 —: бдз~, (81.11)" !=! !.
! ! !91 Введем понятие функции действия 5(1)=~Я(д, о, !)6(, (80.11) предполагая, что в (80.11) вместо (!)), (с1) подставляются решения канонических уравнений, т. с, функции 9!(!)о, ро !о, !) и их производные. Определенная таким образом функция действия является функцией времени и начальных условий. Аргументами функции действия могут быть также координаты !7!, время 1, а также начальные положения !7м и начальный момент времени !а. Действительно, предполагая, что йе! — ~ О, и выражая начальные импульсы (р!!) через (д), 1, (с(э) и !о, получим равенство (89.11) можно переписать по-иному; З~У' — У„рф, — сопз1. !'= ! Теорема Нетер дает единый' вывод законов сохранения.
Дей- ствпмльно, полагая Я; О, 7=1 (однородный сдвиг по време- ни), получаем сохранение гамнльтониана, т. е. энергии систе- мы. 1 ели Т=О, Я!=-О прн 1т"-А, Я;=1 при (=й, то р!,=-сопз1, т, с. сохраняется обобитеппый импульс. 1эвссмотрим механическую систему, которая в некоторой ингрцивльнай системе отсчета описывается лагранжианом и .э Ф и!г! Я=~ — — ~ Уо()г! — г!!), 2 с-! к~ !.! ! Здесь и качестве обобщенных перемеинь!х выбраны обычные координаты и импульсы, а гамкльтониан совпадает с полной механической энергией системы У частиц, Поэтому инвариант- ность дейстпия относительно преобразования Г-1+а, Я;=О прп псех 1 приводит к сохранению полной энергии системы — (уп= 8,, ! *! !«с! !и ! 13 этой инварнантности проявляется свойство простраяства— прсмсни: однородность времени.
1'посмотрим преобразование радиусов-векторов точек си- стемы г', = г, +ей„! =-1, 2, ..., Ф, (90. 11) Ф Р = ~~, т!г! = Р,. (91.11) 193 7 Н. Р. Хваток Г. А. Чи!!мв Сумму в выражении (89.! 1), о невидно, можно записать в виде сумм скалярных произведений трехмерных векторов р; и Я!: (р, О!)=-сопз(. !=! Выбирая все векторы Я! одинаковыми, а их декартовы компоненты равными соответственно 1) й!=.(1 О, О), 9) й!=(О, 1, О), 8) й!=(О, О, 1), получим из (89,11) закон сохранения полного импульса системы: Инвариантность действвя относительно преобразования (90.11) связана с важным свойством пространстна — его одно. родностью. Рассмотрим теперь преобразование координат, описываю.
щее бесконечно малый поворот системы. Преобразование радиуса-вектора каждой точки снсгемы имеет вид (92,11) г,'. =г,-1-(ег!), где е — вектор бесконечно малого поворота. 1золь е1л! в этом случае играет вектор (ег!1'. Подставив е1?! в (89.11), получим и н и ~', (р; з0,.) = ~' (р! (ег!]) =- ~е,)~~ (г!р!)) -=- !=. ! !=-- ! =(е Ь)=(е 1.,) -(е ~' 1г!!!р!0)) (93.11) Отсюда следует закон сохранения полного момента импульса системы Ь=,)' (г!р!) = Ь„. Инвариантность действия относятслыю преобразования (92,11) обусловлена изотропностью пространства, т. е.
отсутствием в нем каких-либо выделенных направлений. Важное значение теоремы 1-1етер состоит в том, что аналогичная теорема может быть сформулирована для любой гамильтоновой (илн лаграижевой) системы и пе только в классической механике, Теорема Натер сформулирована и доказана в теории поля, где она играет еще более фундаментальную роль. Глава 12 КИНЕМАТИКА ТВГРДОГО ТЕЛА 12.1.
МОДЕЛИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Описание движения твердого тела следует начать с выбора модели. Как правило, используют две основные модели. Твердое тело можно рассматривать как совокупность материальных точен, расстояннс между которыми нс меняется в процессе движения.
Другой подход связан с понятием сплошной среды и использует полевое описание состояния такой среды. Вводя поле деформаций, можно определить твердое тело как сплошную среду, деформации которой отсутствуют. В основном мы будем использовать в этой главе модель системы частиц. Определим вначале число параметров, необходимых для описания твердого тела, — число степеней свободы. Покажем, что для описания абсолютно твердого тела достаточно шести независимых координат, т. е. абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы, Систему материальных точек, расстояние между которыми неизменна, можно рассматривать как систему с голопомиымн связями. Для описания одной точки необ.ходимо ввести три независимые переменныс — координаты точки. Для описания системы из двух точек нужно шесть координат, однако дополнителы1ое условие добавляет уравнение связи, т.
е. остается пять независимых переменных; три точки,иележащие на одной прямой, требуют введения девяти координат, однако при этом появляются три уравнения связи, поскольку расстояние между каждой парой точек постоянно, и, таким об.
разом, остается лишь шесть независимых координат. Дальнейшее добавление точек пе увеличивает числа параметров, так что число степеней свободы твердого тела равно шести. Этот же результат можно получить, учитывая, что система отсчета определяется как абсолютно твердое тсло и с ним связанная система координат. По определению любая точка твердого тела неподвижна в этой системе отсчета, Следовательно, задание точки начала координат системы, связанной с твердым телом и ориентацией ее осей по отношению к лабораторной системе, полностью определяет движение твердого тела. 12~2.
МАТРИЦЫ ПОВОРОТОВ Обсудим способы описания ориентации н число параметров, необходимых для ее определения. 1Вб Ориентацию любой прямой, в частности каждой нз оси координат, связанной с твердым телом, можно задать с помощью направляющих косинусов. Пусть и;=(п„пь пз) — орты лабораторной системы, е;=(еь еь е~) — орты системы координат, связанной с твердым телом.
Каждый орт е; можно разложить по ортам па, (1,12) ес=ампм где ам= (е;па) — матрица направляющих косинусов. Назовем эту матрицу матрицей поворотов. Движение твердого тела мы описываем как изменение радиуса-вектора й=(1(1), проведенного из точки О лабораторной системы в точку О' системы, связанной с твердым телом, н изменения ориентации осей, заданной матрицей поворотов: аме Пм((). Движение твердого тела называют поступательным, если выполняются условия ам=О и Ььб, т, е.
если не происходит изменения ориентации системы координат, связанной с этим телом. Движение твердого тела называют чистым вращением, если К=О, а и;~,тьО. В общем случае движение твердого телз — суперпозиция поступательного движения и чистого вращения. Поскольку описание поступателыюго двнжепяя тривиально„ исследуем подробнее вращательное движение тела с одной закрепленной точкой. Матрица поворота ам построена так, что она пе меняет длину любого вектора, в том числе векторов е,. Это приводит к соотношенням ортогональности (е„е,) = 6„= аы (е,п„) =- омам (2,!2) при з=( 6,~=!,так чтодля векторов е„еь ез сохранение длины дает три соотношения: Й2Ф2ь=1, пайванд=1~ аыаы=1, каждое из которых выражает известное соотношение для направляющих косинусов: созаа+ сов'й+ сов~у=1, где а, б, у — углы между вектором е; н ортами системы и,.
196 Оставшиеся шесть соотношений при 1чьз содержат лишь трн линейно независимых: а,»а»„= О, ама»» — — О, а»»а»»=0, так что число независимых параметров, определяющих чистое вращение, равно трем. Соотношения ортогональности, которые следуют из приведенных уравнений, можно записать яесколько иначе. Если е~= =амп», то матрица коэффициентов разложения Ьы векторов и по ортам еч называется обратной к анк п,=Б„е»=бг»а» и„, н обозначается б,„=а,,„'. Для ортогональных матриц справедливо соотношение (3.12) -1 а>» а»т=-6 ю которое легко доказать, учитывая, что Ь~»а» =6; .
Сравнивая (1,12) и (2.12), получим а„,„==а„„, нли а,„=.а,„„ где а„„ =-а,„ — транспонировапная матрица. Ортогональные матрицы, описывающие повороты, имеют определитель, равный единице, т, е, пе меняют объем тела при его поворотах. Действительно, бе16ы — - 1 =- с$е1(а„„') де1 (а,„) =- (де1 а„„)', откуда бе1 а„„=. + 1. При малых поворотах, когда а; — 6,, определитель равен единице. Поскольку поворот, описываемый любой матрицей, можно представить как некоторую последовательность малых поворотов, таких, что определитель матрицы каждой из них равен единице, то для любого поворота бе1а,„„=+1. Матрицы а,, удовлетворшощне условию Йе1а, = — 1, описывают отрам<еиия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
