В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Хотя мы доказали теорему о сохранении фазового объема, используя бесконечно малые канонические преобразования, не- трудно доказать ес н для конечных канонических преобразова- ний, замечая, что канонические преобразования обладьнот груп- повыми свойстаамн. 100. ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И СВОЙСТВА СИММЕТРИИ Рассмотрим некоторую функцию обобщеняых координат н обобщенных импульсов и((д), (р)). Предположим, что в результате бесконечно малого канонического преобразования зта функция изменилась на би. Под изменением функции понимаем замены се аргументов 0-+Я, р- Р, т. е.
переход от д(1), р(1) к нх значениям в момент времени 1+И. Вычислим ди; би = и (!)!+ б!)л рт+ бр!) — а (дл р1):=- ~~ ( — б!)! + — бр! ) ==- Ъ1 / ди1 дн ~(, дч, др! у=! С ~! дд др! др! да! ! 1=:! Здесь мы использовали формулы инфинитезимальных канонических преобразований. Положим теперь, что и есть гамильтоннан системы, Тогда бУ=а(т'л Р) (90.10) бд1=еб!!аж~)' 1Щ! бсь бр,=О ! ! (9! .10) Мы учли, что р;=сопя( и бр;=О, 171 н если Р0 — интеграл движения, то (дв, Рз)=О.
Из (90.10) видно, что инфиннтезнмальные канонические преобразования осуществляются такой производящей функцией )тм что гамильтоннан системы не изменяется, так как Ыв=О. Это наблюдение позволило высказать утверждение, что все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех инфиннтезнмальных канонических преобразований, при которых не меняется гамильтониан. П р и м е р. Рассмотрим систему, гамильтониан которой пе содержит обобщенную координату д!, т.
е. д! — циклическая координата, Запишем уравнения инфинитезимальных преобразова- ний 'С другой стороны, бЧт==а —, бр, = — — е— дРа дР, (92, рй) дла ' дд~ Сравнивая (91.10) и (92.10), получаем —:=-О, — ==бы, откуда дР~ дР~ дц( ' дла Р,=ро т. е. производящая функция представляет собой канони- ческий импульс, сопряженный координате д, /л~ Глава !1 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 11.1.
ГРУППОВЫЕ СВОИСТВА КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ (1,11) а на втором 6Р, (! 1, О') =- ~» ( — ! ба + — ~ 697 ), ( до! д!2. ! ! Из (1.11) и (2,11) следует, что переход (!7), (Р) — (!е'), (Р) можно осуществить сразу с помощью производящей функции дд! дР1 с Р!'=Р!(!7, О)+Р!(!"!, О'), так как — — = — = Р, и дО1 Ж1 (2.11) 6Р! = ~ ( — 6!71+ —,6Я!). % ~! дд! дР! ~'1 ( дч! д01 /=! (3.11) Таким образом, канонические преобразования обладают групповыми свойствами. Это наводит на мысль попытаться найти такое каноническое преобразование, с помощью которого можно было бы совершить переход от Р!(!) к Р!(1)=Р!(!с) от Ч!(!) к ге1=д!(!а) Если бы удалось найти способ построения производящей функции такого преобразования, то по формулам, связывающим старые и новые переменные, мы нашли бы канонические переменные как функции % = !71((!)о)* (Ро) Г) Р1 = Р! ((!)о) (Ро) 1) (!)!!) = !7!(Го) (Ро) = Р1(га) 1 = 1 !73 ...3 ОС' -':,17 Канонические преобразования обладают групповыми свойствами, т.
е. переход от переменных (!7), (Р) к переменным (Я'), (Р') можно осуществить следующими способами. Пусть, например, преобразования генерируются производящей функцией Р!(д, О), Рассмотрим двухэтапный переход от (!1], (р) к Я', Р', который осуществляется функциями Р!(!7, Я) и Р,(1!, О'). Тогда на первом этапе 6Р,(й, ~) =.~„'( — "6Ч,+ — '"! 6О1), д=! что, очевидно, эквивалентно интегрированию уравнений Га. мильтона, т.
е, полному решению основной задачи механики гамнльтоновым методом. Вопрос можно сформулировать так; Нанти каноническое преобразование, проведение которого сведет задачу интеерировинил канонических уравнений к тривиальной. ы.2, уРАВнение гАмильтОИА — якОБи Самый простой способ решения сформулированной задачи состоит в том, чтобы «новый» (преобразованный) гзмнльтониан М' сделать равным нулю. Тогда канонические уравнения в новых переменных становятся тривнальнымн: 4,= — =0,1,=- — =О, 1=1, ..., з, (4.11) дм' . В.зт' вРз дф н, действительно, !е; и Р; будут постоянными. Но при этом Ж' должен быть связан с М формулой /О-я =л-~-~, 'ч'', " (5.!ч где Р; — производящая функция канонического преобразования, Следовательно, (5.! 1) есть уравнение для пр((наводящей функции преобразовання, Выбирают Рг=— Р»(д, Р, !), Но так как гамильтониан М зависит от «старых» переменных (д), (р), а Р2— от «старых» и «новых» переменных, йв нужно выразить через те же, что и входящие в функцию Р» псременпыс, используя уравнения преобразования Рз=— (6,11) дч! Подставив (6.11) в ев, получим дифференциальное уравнекие в частных производных, которым определяется Р» как функция координат и времени: (7,1!) Одно из решений этого уравнения обозначают буквой 5.
Га. мильтон назвал зто решение главной функцией, Уравнение, оп. ределяющее эту функцию, называется уран Якоби. Обсудим вопрос о функции 5 более подробно, Прежде всего„ так как 5 является решением (8.11), ясно, что функция В зависит от он 1, в то время как нам нужно знать и характер завн- 174 симости 5 от «новых» импульсовРг, С другой стороны, озних мы знэем, что они должны быть постоянными. И тому и другому можно удовлетворить, если в качестве Я выбрать так называемый полный интеграл уравнения (8.1!). О и р е д е л е и и е. )тплтгьгм' интегралом уравнения первого порядка д) дУ дт 1(г,х„...,хм —, —,..., — )=0 дс дхг дк, называют фУнкйшо 1((, х,, х,,'каь ..., а.+,),' 'УдовлетэодлюЩУю этому уравнению и содерясащуюь столько независимых ггостоянных а„..., ая, ая+„сколько э этом уравнении незаэисимьгх переменных г, х~, ..., хз В нашем случае независимыми переменными являются 1 и з обобщенных координат уь поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби будет содержать э+1 постоянную.
Одна из этих постоянных, скажем, азег, аддитивная, так как в силу того, что уравнение (8.!1) содержит только производные от функции 5, по не саму функцию, если 5 есть решение уравнения (8.11), то и Я+аз+, — решение этого уравнения в>. Вспомним теперь, что полпгяй интеграл Я нам нужен в качестве производящей функции книотгчсского преобразования, а в формулы преобразования входит не сама функция 5, а ее пронзводпь)е — и —. Поэтому аддитивная постоянная дЯ до дэ~ дРг а,+, несущественна, а полный интеграл уравнения (8.11) можно записать в виде Я(г, ум, „д„ао ..., а,, (9.11) причем теперь ни одна иэ постоянных аг не является аддитивной. Если аг принять за «новыс», переменные Ро то 5 в точности будет соответствовать Г, по их зависимости от одних и тех же аргументов. Поэтому можно положить Рэ=~ц Заметим, что аг можно выразить через значения координат (уз) и импульсов (ро) в начальный момент времени (в, как и должно быть по самому смыслу преобразований, Итак, если мы нашли полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби Я, то, используя его как производящую функцию канонического преобразования, получим первуго группу уравнений преобразования; др, дд((Ч), (а), Г) дяг Полагая в этих формулах с=го, найдем ау как функции (Чв) (рз), Следовательно, аг определяются заданными начальными условиями.
го Известно, что всякое днфференпивльиое уравнение в честных пронзводяык первого порядка имеет решение, звеневшее от пронзвольиой функция, такое решение пезывзют общим интеграла(я урввиения. Вторая группа уравнений преобразования есть по существу преобразование к новым (постоянным) координатам де, дЧ((ч), (и), !! («7=()7.=- — ' - =— — ' д~Р ~( *н,.„..
„,р~~, ° о,,ю,',ч „, ь'„Г~,"е„„„„„„, Р; мажпа выРазнть чсРез начальпыс зпочспнн (ое) (Ре) и гая в (11.11) (=(е. Если же (! 1.11) розрсцнмь относительно ды то мы получим й =-У7((и) Ф), !) '-= Ц7 ((Чо) (Ро), г), (12.11) Сформулируем общий алгоритм нахождения решений кано- нических уравнений методом Гамильтона — Якоби. !. Получить полный интеграл уранпспня Гамильтапа— ( Якоби (8.!1), т.
е. найти решение этого уравнения, содержащее ( е существенных постоянных и„иь ..., ае, «пр.р ° --. ° р$а(»д Ге 05 интегрирования г новым постоянным: — -: р7 да! 3, Разрешая этн уравнения относительно координаты дн за; пвсать нх в форме ц7=- цй (Г, иь ", и„~~... ~1) Этн процедуры приводят к полному решению задачи интегри- рования канонических уравнений, так как в итоге мы получаем дь р; в виде явных функций ! и 2з постоянных интегрирования, которые могут быть выбраны а соответствии с начальнымн ус- лаанямн. '4.
Зависимость «старых» импульсов от времени можно найдд тн нз' соотношений ре = —. де7 Итак, с помощью полного интеграла уравнения Гамильто- на — Якоби 3 осуществляется переход к постоянным коорди- натам ((( н импульсам аь Решение уравнения Гамильтона — Яко- би эквивалентно решению рассматриваемой нами задачи инте- грирования системы канонических уравнений.
С точки зрения математики это известное соответствие между уравнением пер- вого порядка в частных производных и системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно иавестна, что каждому уравнению в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первагс» порядка.
1!.з. твоннмА якоБи Функции у7=Ч7((, и„... и йь й.) Р7=Р7(! ин .' и>~ ()ь ..., р,), полученные иэ соотношений д5 до ''"'тр = —. ()7= —, '!'=1, 2, ..., з, де! ' диу ' !76 лелнютен решение!ми канонических уравнений; 5 — полный интеграл уривнених! Гамильтона — Якоби. Докажем эту теорему. Продяффсренцируем по времени дк да! — +~ д!Б ь 1 д!д ух==0„1'= 1, 2,, з. (13.11) д1да! 21 да!дд! л.---! Подставкм решение Я(1, д!(1),, и!, ..., а,) в уравнение мильтона — Якоби и проднфференцируем его по а!.' Га- д'5 ъ 1 дЯ' д'Л вЂ” + ~ — = О, 1' =-.
1, 2, ...„е. д!да! Ь дра ддада! ь=! (14,11) дд Мы учли, что производные —, содержащие постоянные он ддь стоят в гамнльтониапе М на местах импульсов р!,. Уравнения (13,1!) образуют систему з алгебраических неоднородных уравнений, нз которых можно найти дм Определитель этой системы равен функциональному определителю который не равен пулю в силу независимости а! в поляом интеграле 5(1, д!, ..., г!.;, аь ..., а,), Аналогичную систему с теми же коэффициентами образуют уравнения (14.11) относительно дЯ вЂ” Значит, др, ' — ./г=.1, 2, ..., а, АР дрь т. е.
мы приходим к первой группе канонических уравнений. Чтобы получить вторую группу канонических уравнений, продд дифференцнруем соотношения р! — — — (1=1, 2, ..., в) по 1; дд! (т! / а з дад ч!1 д!д р! =- +~~ дь д!дд! л'1 дд,дд! ~г= ! (16.11) !тт Далее продифференцнруем — +Я ((!)), ~ — ~, 1) =О по д!! д! ~ ~ада д!д ъ 1 дЯ' д'д дЯ' +~ + — = О. (16. 11) д! дд! дрк ддь ддх дд! л 1 Ищем решение (19.11) в пндс суммы 8=-Я(//о..., Ч„„д„ьп ..., [)+Бп(//ь). (20.!1) Подставив зто выражение в (19.1 ! ), получим дЬ" д5 дЯ ь+ " "а/ '' ач,, зд„+,' (21.11) Но поскольку (20.11) есть решение (19.11), то очевидно уравнение (21,!1) распадается на два уравнения: (22.11) ' кч, / дЗ зз д8 Ь~//ь..., д, и, ..., /, —, ..., —, —,, „,'аь);-:О, ь-и ь+и ''','~ з/ ' '''' дд~ /' дзьь~' ''"' (23.11) где аь — произвольная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
