В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 26
Текст из файла (страница 26)
,««с«я« у= — + 2яс 2 Проведем каноническое преобразование, производящую функцию которого выберем в виде Р (4, Я) = †' с!а Я 2 Это функция вида Р! (с), Я). Формулы преобразования с Р,: дР! р = — = пс«ссс с!д с,с, дд дд щс«яс Р= — — = д0 и сспс С) сбч Одним из важных приложений теории канонических преобразований является возможность приведения гамильтояиана к такому виду, что задача интегрирования канонических уравнений может стать существенно проще исходной, Напрнмер, если «новый» гамильтониаи не зависит от какой-то координаты, то «новый» нмпульс, соответствующий этой координате, является константой, что упрощает общую задачу интегрирования канонических уравнений, Заманчива мысль построить такое преобразование, чтобы новый гамильтониан М' вообще пе содержал новых координат, т.
е. чтобы все новые координаты являлись циклическими. Продемонстрируем такую возможность на приме. ре гармонического осцнллятора. Гамильтоссссая осциллятора в канонических переменных р имеет вид Отсюда Г 2Р 4= у —.пЕ,Р=р'2».. -(), М =--М=-Р =Е. Обобщенная координата Я является циклической, импульс Р= — Е,дв — константа движения, причем Р'=О, ()=- — '=ы, дР Интегрирование зтих уравнений по времени тривиально е=- +а., Решение в старых координатах дает закон движения гармони- ческого осциллятора, полученный выше: д(1) = Ъ' — ' з1п(в(+()а).
Р 1О.б. скОбки пудссОИА — инВАгиАнты КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОВРАЗОВАНИН Важным свойством скобок Пуассона является нх инвариантность относительно канонических преобразований. Докажем зто. Пусть даны скобки Пуассона в переменных д, р 1 ~ ', дд1 дР1 дяд д41 / / — -1 Покажем, что скобки Пуассона (64.!0) Вычислим дчь ди дрх ~ — ! —— д<Ь дга дЬ 166 при условии, что Я1 и Р1 получены в результате канонического преобразования, удовлетворяют соотношению »=! й ! ачу, а дрй ) (65.10) — + —— аду ар«а0у у,й,»'=! ~ дай, дру ар,, дру у «, дч» д0у дрй а0у Пусть, например, каноническое преобразование задается с помощью функции Р, ((о), (Р)), Тогда рй= —, !гу= — и — =.О, тах дУ'й дрй дг» дРу д0у как Рй((о), (Р)) не зависит от Яу.
1(роме того, очевидно, др» д~Р» д0у дРу дРудтй дуу» С учетом этих равенств, замечая, что индексы суммирования й, й' можно переобозначнть, нетрудно получить нз (66.(0) ди до аЧ» др» ~ — — — — — ) 6» «='(и, о1» . (67,10) ди ди ди ди , дг!, др». дру, дй«, й,й =! 10,6. интеГРАльные инвАРиАнты пуАнкАРе Иивариаитамн канонических преобразований кроме скобок Пуассона явля!отса и так называемые интсграль. ные инварианты Пуанкаре. На этот счет имеется следууощая Теорема Пуанкаре. Интеграл Я У! = ~ « ~) Й(уйду 3 является инвариантом любого канонического преобразовиниуа Здесь 8 — произвольная двумерная поверхность в фазовом про- странстве размерности 2з. 166 (и, о)ч.р = ~,' ( ' уйй =! ' Свойство инвариантностн доказано.
дрй дуу», ) д0у дРу Доказать эту теорему рекомендуется самостоятельно. Мы наметим здесь лишь одну из возможных схем доказательства. Положение точки иа двумерной поверхности определяется двумя параметрами. Пусть на поверхности 5 такими параметрами будут я и !). Тогда !7(=!7!(ч, т)), р!=р((5, т)). Связь между элементами плошади !1!7!е(р! и !(5!(т) определяется якобианом дч7 др( д(, „,) д$ дз (68.10) дй, ч) ац др, д1! дч и имеет вид д (ч(, р)) дД ч) (69,10) .,!теидведеи идытиггиесиее иреебрезеиатгие аг иеремеыггасг (д), (р) к переменным (Я), (Р). Утверждеиие теоремы записывается в виде '1') у' ЯАР7= ~~ „') где!!(Р! ' Э !..
! з !-! (70. 107 илн в эквивалентной форме Но так как область интегрирования является здесь произволь- ной, (71.10) выполняется, если только раины якобианы д (чд р() ~з д Я!, р!) д(5, Ч),ь! д($,Ч) (72.10) Поэтому доказательство инварнантности 1! эквивалентно доказательству инвариантностн сумм якобианоа, Далее нужно взять каку!о-либо производящую функии!о канонического преобразования, скажем, Рз((д, (Р), (), и, выразив р! н Я! через производные от Р„нетрудно доказать равенство якобианов. Оказывается, что можно построить пслу!о последовательность интегральных инвариантов 'Здесь 5 — произвольная четырехмерная поверхность фазового пространства и т.
д. И наконец, ~ г(гь... 66„г(р,... 6р,. В Х,. интегрирование проводится по произвольной области фазо- вого пространства (как говорят, по объему фазового простран- ства). ! 8.7. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ НРБОБРАЗОБЛНИЯ Рассмотрим канонические преобразования Г6 = гд+ бг(;, Р~=-Р)+6Р~ вида (73. 10) где бдь бр; — конечныс, непрерывные функции обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени, бесконечно малые по сравнению с (д;( и (р,( соответственно.
Подчеркнем, что ЬП н бр; являются приращениями д( и рь а пс их вариациямн. Канонические преобразования, задаваемые формулой (73.10), называют бесконечно малыми или ннфипитезимальными каноническими преобразованиями. Ясно, что (73.!О) могут быть построены с помощью производящей функции, близкой к функции тождественного канонического преобразования Рг(д, Р)=~ 07Рз+еРг(ч Р 0 (74,10) дрэ дрь дГ, р~= — =Р;+е — ', Р( — р;= — е — ', ддд ддэ дц дРа , др Я~= — =д;+а — '. д рд дрэ (76.10) Учитывая (75.10), видим, что Р( — р(=0(е), и поэтому с точностью до членов первого порядка по параметру з имеем дГЧ (ч, Р, () Рз — Р= — и дц дгъ (ч, р, () ()г-6(=" дрз (77.10) (78.
10) 168 где е — малый параметр. Рв будем называть также производящей функцией. Формулы преобразований, задаваемых (74,10): Заметим, что в Рз можно заменить Р; па Рь Положим е=Ю, Рз=М(д, Р), Из (7?,1О) — (78.10) найдем ба,— ~ь-й,=: (.— —. ай,=- (о,, дМ (79.10) дат брз =-. Р, — рз:= — г(! — =- НР~ -- г(р;. д.тг (80.10) даат Мы видим, что с помощью инфинитезимального каноническо- го преобразования с производящей функцией Рз=Ж мы полу- чили значения канонических переменных в момент времени 1+ +й, т. е. мы нашли д(1+И), р(1+й). Иными словами, изменение механического состояния га- мнльтоновой системы за малый промежуток нремспи Ю можно получить посредством инфинитезимального канонического пре- образования, генерируемого гамильтонианом.
Под этим углом зрения само движение механической системы можно рассмат- ривать как непрерывно совершаемое каноническое преобразова- ние, производящей функцией которого н каждый данный мо- мент времени является гамнльтониан системы. 1О,В. ТПОРЕМЛ ЛИУВИЛЛЯ Рассмотрим «элемент объема» фазового про- странства «1" = Ф о «ЧвФР1о «Рм и вычислим интеграл Г,=~ НГ по некоторой области (Га) фазового пространства, изображающий собой ее объем. Предста ним себе, что в объеме Го — — ~ дГ в момент времени (, сосредоточена бесконечная совокупность одинаковых механических гамвльтоновых систем (так называемый ансамбль Гиббса), отличающихся друг от друга только начальными условиями. С течением времени этот ансамбль будет передвигаться в фазовом пространстве, заняв в момент (а+б1 другую область Г с объ- емом Г=~), ... ~ п,...ЛР,(р,... (Р,.
~г) (81.10) 1 г(Чм г(7 ог(Ры г(Рм ~ ~ . ° . ~ бпла ° г(ЧАРъ пР ° ~гл' (г> (82.10) 169 Ясно, что каждая точка фазового пространства перемещается со временем согласно гамильтоиовым уравнениям. На фазовой плоскости это дни>кение изображено на рис. 1.10.
Покажем, что при перемещении объем рассматриваемого участка фазового пространства остается неизменным, т. е. Го=Г: Учитывая, что реальное движение системы можно рассматрн. вать как непрерывно совершаемое каноническое преобразова. нне, производящей функцией которого янляется гамнльтоянаи системы в момент времени 1, установим связь между перемен. ными д,о, рм в момент времени ро и переменными дь р; в момент времени 7а+М. !4з (79.10) и (80.!О) следует йЧ!» Д1 а дте (Ча, Ра ро) дЯ~ дррр дрор (88.10) дчро дЧ!а (84, 10) Так как (д), (р) являются функцнами (Чь), (Ра), запишем фазовый объем Г в виде интеграла по области 1=~~ ". !)7)дура" йуродроа дря, (88.10) Рзс.
1,10 где д (Ч! ° Ча, Р! Рд д (Чы ° - Чм Рм . Рм) — якобиан преобразования от переменных (д), (р) к перемен. ным (Ча), (р,), Элементы якобиана с учетом (83.10) — (84.!О) нетрудно получить в виде '1! б, а ~17 Ч! о Я (88 10) дЧ)о дррадЧ)о дР!о дРродР/о дЧ)а дЧ)одчоа дР)о дЧ!одР)р Подставляя (86.10) — (87.10) в выражение для якобнана .О(гь+М), найдем с точностью до линейных по Ы членон: р в(1,+лг)=1+ !' д*дда — "ду' ')б(=1. (88.10) ~ дрмдчоо дчоодРоа ) о=! 170 'Это теорема Л и уз ил л я, выражаюшая собой закон сохра. пения фазового объема; Фазовый объем данного ансамбля меха.нических гамильтоновых систем (в отсутствие диссипативных сил) не изменяется во время движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
