В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 21
Текст из файла (страница 21)
гЬпжсннс осцнллятора прн наличии силы трении (71.8) описывается одпо1)одным дифференциальным уравнением с постоянпымн коэффициентами х+ 2рх+ ого~х = О. Решение этого уравнения ищем в виде (74. 8'г х = Се"'. (75.8) Подставляя (75,8) в (74.8), получим характеристическое авнепие е уравХг+2р) +огга 0 (76.8) Общее решение уравнения (74.8) имеет вид х= Сгеы'+Сге" ', ) кг=- — (о=с )/ Рг — огг, о. х(алое следует различать два случая. Если во>р, то ), = — 9~, =')гы' — р' о (77. 8) (78.8) н общее решение можно представить в виде х=-ае — жсоз(Ы+ао), (79.8) где а и по — вещественные постоянные. Их можно выразить через пачальнояе значения хо, хо.
хо =- а соз ао, хо — — — рхо — ого з1 п соо, откуда (80, 8) Т называют условным периодом. Заметим, что частота колебаний о, ных колебаний, определяется только не зависит от амплитуды колебаний как и в случае сабственпараметрами системы и (свойство нзохронности). 133 г хо+и о рхо г г х,+ хо а =- хо+ —, 18«о= —— ео оя ехо Формулы (78.8), (79.8) описыва~ат движение, которое называкп затухакнцими колебаниями.
Хотя функция (79.8) не удовлетворяет условию периодичности 7"(Г)=)(Г+Т), описываемое сю движение можно рассматривать как гармонические колебания с экспопеиинально убывающей амплитудой. Такое движение называют условно-пернодическим, поскольку интервал времени Т между двумя соседними максимумами отклонения от положения равновесия является постоянной величиной 2п Т=— За время Т амплитуда колебания уменьшается в с»'т раз, Показатель экспоненты рТ называют логарифмическим декрементом, так как рт !п к(!) (81.8) х 1»+ Т) Если 1»>ым то оба корня Х!л вещественны и отрицательны.
Общее решение х = С»е'*'+ С.е" (82.8) всегда вещественно при вещественных постоянных С, и Сь Движение в этом случае, характеризующемся достаточно большим трением, не является колебательным. Положение равновесия точка проходит за конечное время ис более одного раза. Движение состоит в аснмптотнческом (при 1-+.со) приближении к положению равновесия независимо от начальных условий. Этот тнп движения называют апернодическим затуханием. Наконец, если р=ыо, характеристическое уравяепие имеет всего один (кратности даа) корень л= — !». Общее решенно и этом случае имеет вид х=(С,-)- С 1) е-ш (83.8) в чем можно убедиться прямой подстановкой (83.8) в (74.8). Движение это не имеет колебательного характера, представляя собой особый случай апериодического затухания.
П р и м е р. Вынужденные нолебпния при наличии трения. Найти закон движения гармонического осциллятора, на который действует сила трения Г„в — — — их и вынуждающая сила Г(1) =Гасоз в!, если при 1=0 х(0)=х(0)=0. Уравнение движения з )'0 х+ 2рх+»езх = — ' соз ы0 »» где 2р= —. Запишем правую часть как Ке —" е' ', "1астный гл ел интеграл ищем в виде х=КеВе' !, причем В=-.бе'з. Подставляя решение в уравнение движения, получим В (ы'-'+ 12)иа — в') = — ", Отсюда 6=, 6=-. — агс!д ~п 2)»в )~( ~ — Р)'+ Фаям' х = Ке Ве'"' =- 6 соз (ой + 6). Добавляя к частному интегралу общее решение однородного уравнения (мы полагаем, что е»,>р) х,е = ое-и сов (е»! 1»»,), »а='Р е»е — Р', !34 получим полное решение х(!).— --ае — ш соз(<о/+ссц)-~ 0 сов(ьд.~ 6).
Заметим, что при Р>1/р амплитуда собственных колебаний аснмптотически обратится в нуль и колебания осцнллятора будут провсходить с частотой ьь Это так называемые установившиеся колебания, Решение, удовлетворяю)цее начальным успениям х(О) =х(0) =О, имеет вид иа г хя=,, " ~(оР— <з')(сов Ы вЂ” е-ш созе>( р м ((~>~ цз)й+ фпаыа) мо+" +2ры (з)пьи — е — и' з!пьи ) ~.
2ам l . Заметим, что выпуждениые колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, так как б<0 всегда. Глана й ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ зги СИСТЕМЫ С ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ СИЛАМИ Введение обобщенного потенциала (/(д, /) -(/0>+(/п~, где (/п)=А;(у, /) с/ь позволяет описывать гироскопические силы. Мощность гироскопических сил равна нулю, н в дд случае — = 0 опи пе вносят вклад в интеграл энергии д/ у ..
ТД 7~0)+(/(О) приводит к уравнениям движения — лнпсйпым однородным уравнениям с постоянными коэффициентами; х — ЙУ+ 000 х=О, у+ьсх-Р сеоу=О, а+000~а=-О. (2.9) 136 поэтому гироскопические силы не меняют положения равнове- сия системы, которое определяется как изолированный минимум энергии. Однако гироскопические силы могут заметно изменить характер движения, Рассмотрим движение заряженной частицы массы щ заря- да е в магнитном поле. Пусть па частицу действует поле, на- правленное вдоль оси ОЛ инерциальпой системы отсчета, и, кроме того, на нее действуют потенциальные силы, энергия ко- торых определяется (/(г) =/егз/2 (пространственный осцилля- тор).
Выберем вектор-потенциал магнитного поля А=( — О„, О, О). Вектор-потенциал определен неоднозначно, поскольку функция Лагранжа определена с точностью до преобразования Е =Е+ — ' /(у, /), д/ не меняющего уравнения движения. В рассматриваемом слу- чае функция Лагранжа 01„'е ео . 000 /. = — — ух —— (1,9) 2 с 2 и еН Здесь введены обозначения еор-— — —, 1е= —. Движение ж оос вдоль оси ОЛ определяется лишь полем осциллятора н происходит по гармоническому закону: а — ао з(п (о~оГ+ фо) Движение в плоскости ОХУ пс зависит от движения вдоль осн 07 н определяется обычным образом с помощью подстановки Эйлера х=Аех', у=-Ве"', мо даст систему уравиеннй для определения коэффициентов е ()"'+ "о) А — ~"В = 9 ЖА+ (У+ еоо) В =. О, Нетривиальное решение системы существует при значениях 7, опредсляемых из характеристического уравнения ()„о ~ еое)о+ХЩе () (3,9) ео~=еоо+ — 3= 1ее со Й + —.
а .Г,е и 2 ~е " 4 Вводя обозначение (й/еоо)о=н, получим связь между коэффнци- ЕптаМН А-", В-', СООтВЕтСтнувщуЮ ЧаСтОтаМ а=ЕО4. Н ГО=гвен 4 2  — 1 н' / на к ~/ н+ — — н(1+ — ~ 4 (, 2 к+— (4.9) В+ Аф. Эти уравнения определяеот решения в виде х = А соз (ео 1+ фг) + В соз (ео+1+ фе), у= — Аз1п(ео 1+ф,)+Вз1п(еа+г+ф ), В предельном случае слабого поля н а( 1 о+ оеы гое еоо 2~/.
1ЗТ Таким образом, в системе, определяемой уравнениями (2.9), возможно движение, определяемое собственными частотами: т. е. движение с частотой ыгл — вращение пространственного осциллятора с частотой +.Й. Этот результат является частным случаем теоремы Лармора о движении в слабом магнитном поле. В другом предельном случае ее=О движение также носит колсбательный характер, хотя нзолировагшый минимум потспипальпон энергии отсутствует.
Этот случай соответствует безразличному равновесию. Более того, колебания будут происходить и в случае )„'>О, если выполняется условие 2' — У)О, т. с. в магнитном поле достаточно большой напряженности: Н= Н =.— ''$/ — (гпг для й -О. ья В этом случае потенциальная энергия точки имеет макснь!ун в начале координат, и в отсутствие магнитного поля материальная то'!кг! Экспопепциалыго быстро уходит из начала координат, Е~ При Н>Нц, магнитное поле вызы- 1,0 вает фипнтное движение и локалп- 1,0 зует частицу в начале координат. 0 — В этом случае две ветви реше- ния характеристического уравнения -0,!- (3.9) соответствуют колебаниям, амплитуды которых связаны соотРнс. 1.9 ношениями (4.'.)). Зависимость частот!!я от параметра х, характеризующего величину магнитного поля, приведена па рис. 1.9.
Вращение частицы в магнитном пале происходит по радиусу г!1, зависящему от начальных условий. Сохранение обобщенной энергии в магпвтном поле н окрестности точки неустойчивого равновесия для двух мод колебаний приводит к соотношению м=м. +я, где Я+ —— — (г' — аг!гг') = — (агг — ег') )т'. гп 'г 2 г м 2 '! 2 ~ О Подставляя значения частот ы~~ =(11~У!1' — ы,')' для энергии, аоответствуюп!ей этим значениям, получим — "о ~+ — пг)~а У1 — х (У 1 — х ~ 1), х = — '. 112 Из полученного выражения следует, что Я.ь) О и — '> О, дгг 138 т.
е. увеличение амплитуды колебаний >радиуса окружности, по которой происходит вращение) приводит к росту энергии, Иначе обстоит дело с величиной М: Я„'..с" О н = ~0. дл Это приводит к тому, что с ростом амплитуды колебаний энергия частицы уменьшается! Рассмотренный результат является общим для всех систем с гироскопическими силами. Пусть взаимодействие материальных точек допускает описание с помощью обобщенно-потенциальных снл ~у, >>а>+ О>1» Предположим так>не, что г=г1», 1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
