В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Напомним, что для системы, обладающей з степенями свободы, обобщенные координаты дь В», ..., рь определяющие коцфнгурацгпо системы в момент времени 1, рассматриваются как декартовы координаты в соответствующем з-мерном пространстве, которое и является конфигурационным пространством. С течением времени состояние механической системы изменяется и точка, изображающая эту систему, описывает некоторую кривую. Движение системы удобно рассматривать как движение изображающей точки вдоль этой кривой. Время г прн таком рассмотрении является параметром, а каждой точке траектории будет соответствовать одно или несколько значений й Если нас интересует положение системы на конфигурационной траектории в каждый момент 1, то яужно добавить еще одну ось (1).
Тогда мы получим «многомерный график» двигкеиия рассматриваемой нами системы. Можно также изучать проекции многомерного графика на определенные плоскости, скажем ~д~ (рис, 2.7). На рисунке А, В являются проекциями изображающей точки в моменты 1, н гз соответственно, сплошной линией изображено реальное, штриховой — одно из мыслимых движений. Интегральный принцип — это утверждение о том, как осу'з .ществляется реальное движение системы за конечный (пс бес", конечно малый!) промежуток времени бг=(,— 1ь Тем, что было с системой до момента времени гь мы не интересуемся. Но коль скоро начальный и конечный моменты времени фиксированы, сгитается, что механическая система при всех мыслимых дви.жениях в момент времени 1, проходит через точку Л, в момеят Тз — В; эти точки соответствуют начальному н конечному положениям системы в ее реальном движении.
306 Наиболее об а п>~ я формулировка положения о движении механических спстсь "' и содерхснтся в так называемом принципе наименьшего дейст ~ '" 'твпя (его пазыэгпот также принципом 1'амильтопа — Остроградского): у, а Реальное деипсение механической системы в промежутке времени от 1~ до 1з таково, что при этом интеграл, называемый грункцией действия Я и равный 5= ~ Яй>, ~66.7) >> где Ы"=Т вЂ” У вЂ” лагранжиан динной механической системы, имеет экстремум (минимум). Переменная 1 при этом не варьируетсж Иными словами, при реальном движении должна быть рав.
па нулю вариация действия 66=6 ~ Яйг=О 1 (61.7) при условии, что все конфигурационные траектории в моменты времени 1, и 1г проходят через начальную и конечную точки реалы>ого движения, т. е. дуУ,)=бр,у,)=О, (62.7) Этот принцип, в отличие от дифферепцналыюго принципа Д'Аламбера, является интегральным в том смысле, что он содержит утверждение о двнжспни системы в целом за конечный промежуток времени М. Фактически из него следуют уравпе- 107 пия Лагранжа, тем самым из принципа наименьшего действия, можно сказать, получается вся динамика механнческой системы.
Пусть функции !7,(1), 1=1, 2, ..., ь, описывают реальное движение, т. е, д!(1) — те функции, для которых 5 имеет миннмум, Рассмотрим совокупность функций !7; (1) + !!7;(1), где бд;(1) — вариации функций д,(1), которые прсдполагак>тся малымн по сравнению с д!(1] во всем интервале времени от 1! до 1ь Кроме того, все 6!7!(1) удовлетворяют соотноп!ениям (62.7), Вычислим так называемую первую варнаци!о 5, имея в виду, что функция Лагранжа может зависеть от обобщешпях координат дь обобщенных скоростей дп 1=1,2,...,з, и времени 1: 66=61 Я((д), (д), !) о( =-~ ~' ~ — "бд~-Р—.
6!)!) с(д гпч з,! д.х' д„с 5Д~~ ап ~и ь !,! — ! Поскольку 6!1~= — 6!);, второй член в 63 мои!но проинтегрировать и а по частям и получить В силу условий (62.7) сумма исчезает, а остающийся интеграл будет равен нулю прн произ ,вольных значениях 6с, только тогда, когда каждый член суммы подыптегрального выражения обращается в нуль, Таким образом, мы получаем уравнения Лагранжа 2-го рода — — ! — — =-О, 1=1, 2, ..., з.
(63.7) зт ~ дч) / дч, Полезно помнить, что из решения задачи на экстремум функции получается система конечных уравнений, из которых находится точка, в которой функция достигает экстремального .значения. В данном случае мы имеем дело с функционалом, реп!ение задачи на экстремум которого дает систему дифференциальных уравнений 2-го порядка, Из этих уравнений находится линия в конфигурационном пространстве, задаваемая функциями !7!(1), на которой функционал достигает минимума, Линию эту называют экстремалью. !ов Поскольку задача построения тай нли иной механической модели состоит в составлении уравнений движения, мы видим„ чта фактически динамика системы определяется одной функцией — лагранжнаном, так как именна зта функция решает поставленную задачу.
Таким образом, лаграпжиан системы является интересным физическим объектом, изучение которого необходимо в связи с задачамн динамики. В частности, из принципа наименьшего действия видно, что функция 2' определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной ат произвольной функции координат н времени. Эта нужно понимать так: системе, определяемой ее уравнениями движения, соответствует нс одна функция Лагранжа Ы'.
Действительна, пусть имеется 2", связанная с Ы соотношением -~ =~+ — '" (! г! ° ° ° И. ст (64.7) Значит, 5 = 5 — Р (г, гу„.. „г(,) ) ~~'„ 6З=М вЂ” ~ ( — г~ бд,(!з) — — '~ бду((,)). зч! )ыл, '- зч! /.=! Но, так как Ьг!г(!,) =бг!!((з) =О, М 63' 109 и, следовательно, уравнения Лагранжа, получаемые с помощью функций .У и Ы', одни н те же. Неоднозначность определения функции Лагранжа вида (64.7) не сказывается на уравнениях движения, а каждая Я" из класса (64.7) решает задачу построения динамики системы однозначно. Вах<ным свойством системы уравнений Лагранжа является их коварнантпость.
Это означает, что уравнения Лагранжа сохраняют свой внд при точечных преобразованиях обобщенных координат *> 9у=г)((у! г)ы -~ Чв) ! (~ ° ~ з1 (66,7) т. е. прн пользовании обобщенпымн координатами г!!' уравнения Лагранжа будут иметь тот же внд: — ~ —., ) — —,=6, Х'=Я(ц(Я, 4(ц', йь), г), и г д.у' т д.у' ог ~ дч! ) дд. м Ззметим, что точечные преоорвзовзнии незевксимык координат, в формулы которых явно входит время, можно рассматривать в квк преобразования менгду координатвми в рвзлкчных снстемвх отсчете, в том числе и нсвнерциельных. Поэтому уревнении движении материальной точки относительно неиисрциальной системы отсчете можно звписеть в форме урзвнений Лагранжа, что н прп использовании обобщенных координат Ч1! Докажем прямо, что уравнения Литра!!зка ковариаптпы относительно преобразования (65,?).
Построим Ы': Я (Ч Ч 1)Ж(Ч (Ч 1), Ч(Ч Ч 1) 1) и производные Мы воспользовалнсь очевидным соотношением 0Ч!, адчь д!),. дч! Учитывая, что — — = — ', найдем ач!~ дч! ж дчз йд! откуда следует, что если то и а 1а,Н Х Ю.Н" ч! '! дч, ~ дд; Ранее уравнения Лагранжа в обобщенных координатах были выведены из принципа Д'Аламбера нли, как его также называют, динамического принципа виртуальных перемещений, который является дифференциальным принципом в том смысле, что в пем представлено суждение о движении системы в каждый момент времени 1. Можно показать, что между принципом Д'Аламбера и принцнпом наименьшего действия, который является ннтегралы!ым принципом, существует однозначная связь.
ыо Покажем это на примере консервативных систем. Динамичес- кий принцип виртуальных перемсшений утверждает, что в каж- дый момент времени 1 должно выполняться равенство у. ! Умпожим его па Ж и проинтегрируем по 1 от 1, до 1ь Тогда, если И,=Ы~ —— Ьд~(1,) =бг(~(1ч) =О, /=1,2, .„, а, мы получим 65=0. А это и есть принпип паименыпего действия. Глава 8 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ' СИСТЕМ С з СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ З,1. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ При рассмотрении задачи о собственных линейных колебаниях механических систем будем предполагать, что: 1.
Связи, изложенные па систему, стационарны, голономны, идеальны, а внешние силы от времени пе зависят и являются потенциальными "1. 2. Система обладает положением устойчивого равновесия, Поскольку мы будем рассматривать линейные (малые) колебания, встает задача линеаризацин уравнений Лагранжа в окрестности положения устойчивого равновесна, Значит, нужно найти такие положеяия. С этого и иачннастся исследование собственных колебаний механической системы. В положении равновесия все обобщенные силы должны быть равны нулго, т, е.
7,) =О, Р',) ., =О...,, Р,) =О. (1.8> Зная Рг((гу)), из (1.8) находим г)геч. Если обобщенные силы за- висят от г)7 и г)д то для нахождения положений рашювесия си- стемы нужно в (1.8) подставить значения г)1=0 и решить полу- ченные уравнения относительно г7„..., г).. Мы рассматриваем системы, на точки которой действуют по- тенциальные силы, поэтому уравяення (1.8) принимагот внд — =О,..., — =О, дУ дУ (2.8) дйх дй, где У вЂ” потенциальная энергия системы как функция обобшснных кооРдинат, РешениЯ г)ыч,...,г)„ч этих УРавнений опРеделают те значения координат, прн которых система может нахо- ч> Говоря точяее, здесь мы имеем в виду в механические системы, лагранжианы которых явно от времени не зависят, но допускают структуру у=т(з> (з„, ч„'ч,, ..., Ч,)+Г(0) ((з)) — иге) ((чи. Если уча~Же, то под потенциальной энергией системы, зависящей только от ОбабщЕННЫХ КООрднват ди ...,Ч„МЫ будЕМ ПОНИМатЬ ВЕЛИЧИНУ 0(со „дг)= =(дм — Тгз~, т, е, член Г<'> в функции Лаграилга мы формально относим к потепциальйой энерпгн.
В связи с последним заме щнием см. пример к и. 7.7. 112 диться в равновесии; этих положений может быть несколько„ причем равновесие в некоторых нз них может быть устойчивым, а в некоторых — неустойчивым. Устойчивость равновесия удобно рассматривать в фазовом 2з-мерном пространстве (пространство состояний). Механическое состояние в псм представляется н виде точки М 2з-мерного пространства, по осям которого откладываются обобщенные координаты Ч„ ..., Ч. и обобщенные скорости Ч,, Ч,.
Точку М называют нзобра>как>щей точкой. Так как устойчивость равновесия рассматривается относительно обобщенных координат и скоростей, то уравнения Лагранжа формально удобно переписать в виде систсмы 2а уравнений 1-го порядка по времени к г ат ) ат ао — — — — — Ч,=$п 1--1, 2, . (3.9 а> 1 ач),> аш ач>' Легко видеть, что (3.8) является системой уравнений 1-го порядка по времени относительно функций Ч> и Ць Уравнениями (3.8) определяется некоторое движение (состояние) системы Ч>о(1), $;о(1), подлежащее исследованию на устойчнност>ц оно называется невозмущенным движением. Решения Ч>" (1) и $>о(1) являются частными рсшспиямн дифференциальных уравнений (3.8), удовлетворяющими начальным условиям прн г= (о'. (4.8) Ч> ) > и= Ч> (>а) ° ° Ч,,(>— - >,= Чо(>о), $1!>=.ч,=к1(>о) асан теперь изменить начальные условия, придав начальным значениям переменных Ч> и $> небольшие по модулю приращения при 1 1о, т.
е. переходя к начальным условиям Ч>)>=а=Ч> (Го) ! 6А,, Ч>)~=~о — Чд((о)-~. 6оп Ь Ь-ц=йо>(Го)+6;, В.)>=-а=%о,(1о)+ 6, (5.8) 1!Ъ то соответствующее этим условиям движение называют возмущенным движением, а величины 6»п, бос 6„, ..., 6„— возмущениями, Возмущенное движение удобно характеризовать с помощью отклонении,' нли вариаций, величин о оь р ° (1~ 4„' при этом если все отклонения равны нулю, то возмущенное движение Ч>(1) и ф>(1) будет совпадать с невозмущенвым движением Ч>о(1), $>о(1). Мы видим, что невозмущенному движению отвечают нулевые значения переменных х> и ун а в фазовом пространстве ему отвечает неподвижная точка х;=у;=О, 1= 1,2,...,з. Заметим, что уравнения (3.8) будут уравнениями возмущенного движения, если считать, что а положении равновесия по- тенциальная энергия системы равна нулю, а все обобщенные координаты др отсчитывать от этого положения, т, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
