В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Теперь мы можем записать принцип Д'Аламбера в независимых коорлинатах. Для этого получим связи между вариациями бг! и бдь исходя из (17.7): бг, == у — бдь ъ "! дг! '= 2.1 дч! г=-! Ч 1 дг! ° дг! г,=- ~ — юг+в дд! д! ! ! (20.7) (2! .71 н также (22.7) "! ~~~1~~ (тгг! — ' — Г! — "' ) бу,=~ ( — ~~~тгг! — !)— !' — — !1' ! !=.! ! —.— ! — ~~)тгг! г' — 7 ~Г! — !~ ба!=-О.
!.—.- ! г--! (23.7) дг; дг! ду! дя! ' Полные производные по времени от обобщенных коорлнпзт д! называются обобщенными скоростями, Подставим (20.7) в (8.7) и преобразуем результат; Под знаком производной — заменим — на —, и введем д дг! дй! Ы! дч! дд> кинетическую энергию системы точек как функцию обобщенных координат н обобщенных скоростей: Т= ~ — г! х-1 >и! а 1! 2 т((ц) (д) () (2й7) Гю=ч(Р~ .. ю~ е Р! !) ">>-" т>>!!~ . л~ ю~ ° ° д! !! а также обобщенные силы аю)=~„'~р, ф). (25.7)! С учетом (24.7) и (25,7) принцип Д*Аламбера можно записать в следующем виде: ~~~ ( —" ( — ".
~ — —," — а) бд, = О. >= (26.7): (28. 7) 93, Подчеркнем, что размерность обобщенной силы есть энергия, деленная па обобщенную координату, поэтому ее размерность нс совпадаст в общем случае с размерностью обычной силы. Совпадут онн лишь н случае, если д! имеет,размерность длины. Размерность суммы у 0>б!)>.=- г (г! бг!) есть размер/ =:! ! ! ность работы или энергии. Выра>кение (26.7) представляет собой принцип Д'Аламбера в независимых координатах. В случае голономных связей все бд! являются независимыми, и для удовлетворения (26.7) мы должны положить коэффициенты при каждой вариации бд! равными нулю: — — — =Ь 1.=1, ..., ..
Ы !дТ'. дТ (27.7) д! (, ач,,) дч, Уравнениями (27.7) описывается динамика механической системы в независимых координатах под действием заданных внешних сил; силы реакции в (27.7) пе входят. Неизвестными в этих уравнениях являются обобщенные координаты как функции времени. Число неизвестных и число уравнений совпадают и в данном случае равны числу степеней свободы. Если внешние силы имеют потенциал (7(г!, ..., г»), то ! =! зтричем Я~(Ч»...„Чз) не зависят ат обобщенных скоростей Чь„., , Чз. Введем функцию ю яИч), (ч), 1)=т((ч), (ч), г) — (7((ч)), (29.7) которая называется функцией Лагранжа, плн лаграпжпапам ди системы.
Учитывая, чта —, = О для всех 1=1, 2, ., з', (27,7) дч' нструлпо преобразовать н виду — — ) — — =-О, г'=к 1, 2,, з, (30,7) ~Ц~ ~ дчг / дну .Уравнения (30,7) иазыва~от уравнениями Лагранжа в пезавн. снмых координатах (2-го рола). Замечательно, что вся динамика системы материальных та. чек управляется мной скалярной функцией, зависящей от обобзценных координат, обобщенных скоростей н времени,— функцией Лагранжа.
В общем случае уравнения Лаграпгка (27,7) прелставлягот собой систему з дифференциальных уравнений 2-го порядка. Решение основной задачи линамнкн несвободной системы могкет быть проведено следующим образом. Рсшая систему уравнений Лагранжа, получим Чу=Чу(1, С» ..., С., ), 1=1...,, з. (31,7) ,Далее, если иам нужно знать положения тачек в любой момент времени й необходимо подставить (31,7) в (17,7), В результате находим г, = г,(у, Ч» ..., Ч,), 1 = 1, 2, ..., й/.
Силы реакции связей можно определить нз уравнений 1кз = лззгз — Рь (33.7) Прн этом гг находятся нз (32.7) путем двухкратного дифференцирования по времени, Таким образам, основная задача механики полностью решается. Заметим, что если рассматривать радиус-вектор г точки пространства как фупкцшо трех независимых вещественных пе. Рсменных Ч» Чъ Чз в атсУтствие свЯзей, та точечные пРеабРазовання г=г(Ч» Ч Чз) л=к(Ч» Чг1 Чз)~ У=У(Ч» Чз Чз) з=з(Чз Чз Чз) з> Букве, взятия в круглые скобки, обозначает всю совокупность соответствуюгпих перемеииык, например (д) =дь Зь, вч Ивогдз с целью упрозцеиня ззписи, тзм, где зто понятно, круглые скобки не стзвятси. описывают переход к произвольным криволинейным координатам рь дв, дв Из (23.7), (20.7) видно, что проекции ускорения материальной точки на единичные орты криволинейных координат е„ем ев можно записать в виде 1 Г Ы / дгв Х дгв ах= — ~ — ( —.) — — 1, 1= — 1, 2, 3, 1Ч ~ д1 (, дЧ, ) дд, 1' где г как функция дп г)1 определяется формулой (21.7) с а.
дг дг ' ( дчг — =-О, а Ьз=~ — ~ являются функциями криволинейных координат 61=61(гй, дм дв), Единичные векторы определяются как 1 дг ! дг 1 дг е,= — —, е,== — —, е.= — —. в= /и дгп ' Ив дрв Лв ддв Параметры 61(дь дв, дв) называ1отся дифференциальными параметрами Ламе, Метод Лагранжа можно применять н прн описании динамики свободной механической системы, Зачастую, особенно при использовании криволинейных координат, уравнения движения системы проще получить методом Лагранжа, чем проектировать, векторные уравнения Ньютона на соответствующие орты. В качестве примера получим уравнения движения материальной точки массы и в поле силы Г(г) в сферической свстеме координат.
Кннетнческу1о энергию точки найдем, учитывая, что приращение радиуса-вектора точки описывается формулой бг = — г(г и, + г г(0 па + г з ~ п 0 г(гр и„, а скорость— т = г = гпг+ г 0пе+ г з(п бгрп„, где п„пв, и,— единичные сферические орты. Поэтому гв = гв+ гвбв + гв з(пв Огра и кинетическая энергия точки Т = — (г" + гв0в+ гв з)пв бгрв). 2 Обобщенные силы ()г = ~Р' ) = (Р 11г? =Р'г, ЯВ =- (Р— ") =к(Г ПВ) = ГРщ д„=~Р.— "' )= з1 0Р,„, Подставляя Т и Я в уравнения (27,7) и полагая в пих у«-г, уз=0, вз=ц«, получим уравнения дан>кения точки в сферических координатах: т(г — г(6«+з)и'0 «р'))==Р„ т ~ — (г'0) — г'з«п6 сов 0«р«~ =-.гРз, «е (ш т — (г'з)и'0«р)=гзгп6Р, ег Проекшш ускорения точки на орты сферической системы ,координат ш, =г — г (6ч+«риз!и'О), ! «« шз — — — — (г'О) — г з! и 0 соз «р', г ег ш = — (г'з)п'6«р).
гыпн «И Приведем также функцию Лагранжа свободной материальной точки в отсутствие внешних снл в декартовых (х, у, г) :т, = — (х'+ у'+ г') 2 и в цилиндрических (р, «р, г) (рз + рз,,'л+ гз) 2 координатах. Пример. Задача о дв«гжении двух тел в однородном внеш- нем поле. Показать, что задача о движении двух взаимодейст- вующих (по 3-му закону Ньютона) между собой тел в одно.
,родном внешнем потенциальном поле сводится к задаче о дви- жении центра масс и задаче о движении р-точкн в заданном поле. В качестве обобщенных координат выберем координаты ра- диусов-векторов г, и гз частиц массы т«н тз. Пусть внешнее поле дейст««уст на частицу т, с силой рь на частицу массы тз — с силой Г, (причем по условию Г«~~рз), а потенциальная энергия взаимодействия частиц равна У(г), где г=г,— гь Функция Лагранжа в координатах гь г, '2 г е««г«ч«,г, я= + — — у(г)+(Ггг«)+(ра г«). Перейдем к независимым координатам К= т,г«+ «ч«г« г=г,— г,.
ги«+ м« Тогда Я=, Нь+ — — У(г)+(Г +Г.) Р+ т, + ГЛВ '1 !ВГВ и и 1 1 + (Гв!и! — Г!!ив] р= лв! + и!в !т!1+ тв Уравнения Лагранжа в координатах Н н г: ! де Ъ д.г — — ) =- —, (т1+ т,) Ё = Г1- р Г,„ тодд~ ди д ду д,Яв " д!7 Г1 Гв — „( — „) = — „рг=- —,„-и ( — „; — —.',) 7.6. СТРУКТУРА ФУНКЦИИ ЛАГРАН>КА, ОБОБШЕНИЫИ ПОТГНЦИАЛ Рассмотрим структурную зависимость функции Лагранжа от обобщенных скоростей и поставим вопрос: какой наиболее общий вид потенциала как функции обобщенных скоростей может быть, чтобы уравнения движения механической системы имели бы форму (30.7) и Начнем тем не менее с установления структуры кинетической энергии.
Подставляя (21.7) в (24.7), получим ! ! /=-! и-! — — а>иг(>д„+~ а>д>+Т (О! Аи, / ! (34.7) >> дг! дг! а>=-~!и! —— Е.4 дч, д! >г дг! дг! ам=~ п1,—— г.~ дЧ! д,ь 1-! (35.7) 97 4 В. Г. Хвлилвв, Г, и. вв!вглв В частности, если частицы обладают зарядами е!, еги а напряженность внешнего поля равна е, то Г,=ее, Г,=ее, У(г)= л, — если исследуется дан>кение двух гравитирующих частиц в Ш!породном поле тяжести напряженности йг, то Г,= — твя, Гв=твя, У= — Π— '', где 0 — гравитационная постоянная, г Из полученных результатов видно, что при движении 'точек в однородном внешнем потенциальном поле внутренние силы не оказывьнот влияния па движение центра масс сисгемы.
Это достаточно общий рсзулыат. Мы видим, что (36.7) )=-. ) ( Т=ТС2)+Т)))+Т)О) (37,7) где Т"= ' )2) 2 5'5 (33,7) )Л=.) — однородная квадратичная форма обобщенных скоростей, а 5 Т' ) =-~ а;4) (39.7) )=-.) — однородная линейная форма обобщенных скоростей.
В целом Т является неоднородной формой обобщенных скодс) ростей, н лишь в случае, когда все — --=О, т. е, когда связп д) стацнонарны, Т=Тм) н кинетическая энергия становится однородной квадратичной формой обобщенных скоростей. Отметим, что коэффициенты а)2 симметричны аы аь) и что Т)2)ъО, т. е. Т)') — положительно определенная форма обобщенных скоростей. Рассмотрим теперь структуру потсвциала. До сих пор мы всследовалн системы с потенциалами, зависящими только от координат (в том числе и обобщенных).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
