В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Прнмсры из классической динамики заряженных частиц в электромагнитном поле общего вида приводят нас к понятию обобщенного потенциала, производные которого определенным образом связаны с соответству)ощими обобщенцо-потенциальными силами. Проиллюстрнруем это на примере силы Лоренца. В электродннамике вводят понятие обобщенного потенциала в ваде У= — — (А г)+еср. С (40.7) где е — заряд частицы, с — скорость света. Зная (40.7), силу Лоренца Г = еа+ — (гН) (42,7) С Здесь А и 5р — векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля, заданные как функции точки пространства и времени н определяющие напряженности поля: в = — т))р — — —, Н = (рА), 1 дА (4.),7) с дг можно представить как ди д ?дСг~ д Гди) г = — + — —.
= — ~У+ — — ) (43.7) дг гп ~ дг~ де, дг / Действительно, подставляя (40.7) в (43.?), получим е г дА Р= — игр+ — р(А г) —— с с ст = — стар — — — + — р (А г) — — (г ~г) А = ее+ — (гН1. (44.7) е дА е е ° е с дг с с с Здесь мы использовали известную из векторного анализа формулу 17(С а) — — (С р)а+(С(уаЦ, где С=г(г) — постоянный (т. е.
не зависящий от координат) вектор а— = А(г, 1). Заметим, что в качестве обобщенных координат, в частности, можно использовать и декартовы координаты; тогда обобщеннымп скоростями будут, очевидно, компоненты вектора скорости г=(х, у, г). В общем случае сила (43.7) может быть построена как обобщенная снла ' (45.7) Докажем, что это так. По определению обобщенной силы имеем дг дУ дг и дУ дг (46.7) дег дг дед сг дг дЧг Используя соотношение — = —., приведем (46.7) к виду дг дг дд~ де~ д / дУ дг 1 дУ дг дУ дг (Ъ- — ' —.
—.' — —. —— дг ~ дг дез ) дг дги дг дауд Отсюда, принимая во внимание, что убеждаемся, что Я; действительно определяется формулой (45.7), Следует подчеркнуть, что обобщенный потенциал, с помощью которого определяют сйлы вида (45.7), должен быть линейной формой относительно обобщенных скоростей (т. е. в 0 недопустимы степени г) выше первой), так как в противном случае обобщенные силы зависели бы от обобщенных ускоре- ний и задача динамики стала бы неопределенной. Следователь- но, в общем случае обобщенны!( потенциал имеет янд и =-(/")+(/"), (47,7) ,;.
(.(.г ° где 1/( )=~ 1//(((/), /)(// — линейная однородная форма обобщенных /=! скоростей, с/(с)(((/), /) — форма нулевой степени. Легко получить структуру обобщенной силы: д(/((Я д(// ~ 1 / д(// д(/, ' дУ~ где 7/ь= — — — ' — коэффициенты, антисимметРичные по нндекддь дч/ сам /, /г, так что Е у/ь(//(/» — О. /,г=-! (49,7) Последний член в (48.7) представляет так называемую гироскопическую часть обобщенной силы. Таким образом, при наличии обобщенно-потенциальных снл функция Лагранжа представнма в ниде Т(2) + 7 (!] ) 7 (с) (/(!) (/(!)) (50.7) Приведем здесь также выражение для полной механической энергии несвободной системы материальных точек: Д 7 (э) 1 7 (!) 1 7 (с)+(/(г) (б1,7) Обратим внимание на то, что, по определению, Е есть сумма кинетической и потенциальной энергий системы точек. 7,7.
ОБОБЩЕННЫЙ ИМПУЛЬС, ОБОБЩЕННАЯ ЭНЕРГИЯ При наличии обоб!ценно-потенциальных иднссипатнвных сил уравнения Лагранжа можно записать в виде д,я' ! дЯ вЂ” =(//, /=1, 2, ..., з, д/ 1( д!// ! дд/ (62.7) )00 где фз — обобщенные дисснпативные силы. Рассмотрим систему нз А( точек, нахадящу!ося в поле потенциальных сил. Функцию Лагранжа этой системы запишем, вы- бирая в качестве обобщенных координат декартовы координаты: Вычислим частные производные дЫ' дт ди — = — — — =.—.и!х!=р,. и т. д. дх! дх! дх) (53.7) Из (53,7) следует Теорем а. Если от какой-либо обоб!ценной координаты ул функция Лагранжа механической системы не зависит, а обоби(екнет! сила Ял!=Ю, то обоби(внный импульс рл лвллетсл интегралом движения (т.
е. сохранлетел). Координата !7! в этом случае называетсл циклической. Доказательство теоремы тривиально, В самом деле, если условия теоремы выполнены, то дрь — "" =-О р„(() = рл(!,). е! Обобщенный импульс является, очевидно, линейной неоднород- ной формой обобщенных скоростей. Действнтелщю, д,Я' %1 р! = —. = ~ а !лог+ а ! — (7л дч) г-! Динамические уравнения (52,7) позволяют ввести понятие еще одной важной физической величины — обобщенную энергию механической системы.
Умножнм обе части каждого из уравнений (52.7) на соответствующую скорость у! и после этого сложим все уравнения: Здесь ртн р„н р„.; — х-, у-, з-компоненты импульса )хй частицы соответственно, Основываясь па этих соотношениях, можно ввести понятие обобщенного импульса как величины, равной дЯ' — Каждой обобщенной координате у! соответствует обобде! дЯ щенный импульс ру=- —.', р! также называют каноническим де! импульсом.
Запишем (52.7) и форме ЕР! дЯ в — = — +Он дг длт ! дан Представим — ( —,) дт в виде Е1 (, де) ) и подставим результат и (54.7): ~~ ~-"( — 'у!) — ',. у,- — ", у,) =-~,'(),"ур тл 1.—.л Далее, используя ф~ д~ ~-з т д~ — = — + ~, ' — ут+ — ут~, д1 д1 2ч1 ( дд; дд1 1=! (55.7) запишем (55.7) в виде 5 8 — — дт —.2' = — — + Я 1ут (56 7) а' гх1 дЯ' 1 д.У ъ1 Щ '1х'..( дч) д1 ',1 / ! Функция М((У), (У), 0 = 7; — Чт — ~' ъ-1 д.У 2~ д,) /=! (57.7) — =О, Я((у), (у), <)- — -Я((уч), (у,), 1„), (56.7) Заметим, что условия существования законов сохранения механической н обобщенной энергий в общем случае пс совпада~от.
Так, для сохранения Е необходимо, цтобы связи были бы стадг~ ционарпыми: — = — О, 1=1, 2,, У, Условия сохранения Ж мсдт нее жесткие. Такии образом, обобщенная энергия является фактически еще одним интегралом движения (прп выполнении условий теоремы), который может быть использован при решении конкретных задач. 102 является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и, вообще говоря, времени. Она называется обобщенной энергией механической системы.
г(з (56.7) следует Т е о р е и а. Если функция Лагранжа механической системьс явно от времени не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, то обоби(еннал энергия лвляетсл интегралом движенихч Действительно, при этих условиях нз (56.7) получаем Чтобы лучше понять различие между Е и Ж, установим структуру М. Согласно (50.7) и (57.7) имеем 5 5 5 К 1 дг>о> $1 дТ!>> % ~ дС>!>> И> ~ = ~ —. у',+ ~ —. у',— ~~ —, г'! — Т вЂ” Т Л4 д5>) 5 1 до! ~4 дч) С!! ! , >- — — ! Т>о> 1 Еl!>> 1 Ц>о> — >Т!о> Т>о> 1 Ц!о> 57' (59 7) Сравнивая (51.7) с (59.7), видим, что М и Я совпадают только в том случае, если Т!'>=Т!'>=О, т.
е. при условии, что все дг! — =О, Этн условия выполняются, если все связи, паложен- д! ные на систему, стационариы. Г1 р н м е р. Ф!»>к>>ия Лаарано>са враш,а>аи1ейг ч! римки, Система, изображенная па рнс. 1,7, вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг вертикальной оси; нижняя точка рамки может двигаться э" только вдоль вертикальной оси. Напряжешпють поля тяжести равна (О, О, — у). Все стержни жесткие и невесомые.
Уров>>ения связей.' /! = х"; + у; '+ з'-!' — 1':=- 05 I О>,' ° /г -- хо+до+ зг 1г — О /о = агс1и ~' — о>7 = О, х! /„= агс(и дг — о>1 = О, /о .=- а, — го =- О, кг Рас. 1.7 /о = хо = О, /г = у, = О, /о = ао — 2а! = О. Число независимых координат равно единице, так как ЗЛ' — 8 при 5>>=З равно 1. В качестве независимой (обобщенной) координаты выберем угол О. Нетрудно проверить, что тогда г>=ко= — 1созО, го= — 21соз0, и уравнения связей удовлетворяются тождественно. Выразим 2>, зь йо через обобщепну!о координату и обобщенную скорость г, = гг = 10 з1 и О, а„= 210 з1 п О.
Найдем функцию Лагранжа Т = т/о (1 + 2 з! пг 0) О'+ лг/оо>г з1 по О, 7'=Т' >+Т'о', /7=- — 4>пу/сов О, (7=(51~>, ро = ко+ у' = 1г 3 ! и' О, о,', =-- /г з! и' 0 — ! !— 103 Я = Т~ пй Тон — (1~ ~~ =-тР (1 + 2 я(по О) Оо+ + т Рооо я(и' 0+ 4тд1 соя О, Так как — =-О, сохраняется обобщенная энергия П.Х д1 М= д~ Π— Я(0, О) =-.Уо, до Функцию Я получим нз формулы Я Тцп Т<о~ 1 (1~о~ тР(1+2я)поб)бо — тамо яд и' 0 — 4тп( соя О.
Равенство Я=Хо представляет собой первый интеграл движения. В данном примере А' имеет смысл механической энергии тачек в системе отсчета 5', жестко связанной с рамкой. Чтобы показать это, помимо системы отсчета 5 с неподвнжпымн ортами и,, пю и, введем систему отсчета 5', арт и; которой направим по асн вращения, орт по — в плоскости, а арт и;— перпсндикулярна плоскости рамки. Часть потенциальной энергии системы точек, которая связана с снламн инерции, в неинерцнальной системе отсчета 5', движение которой относительно ннерцнальпой системы отсчета 5 задано с помощью функций времени — %(1) — ускорения начала снстсмгя 5' и о(1) — угловой скорости вращения 5' — определяется формулой (см., например: О л ь х о в с к и й И. 1Л. Курс теоретической механики для физиков, Изд-во ХГУ, 1974) Уз= т (% 14') — т~~ — '(ока.
Здесь т=~„ть ! вектор 1-й точки ы(1) =-(О, О, оо), (х' — раднус-вектор центра масс в 5', г, '†радиуса 5'. В рассматриваемом нами случае % †- О, г', =(О, 1я!и О, — (сааб), г,'=(О, — 1я(п О, — 1созО), г'=(О, ΄— 21сая0), 104 поэтому Уи= — тыЯРз1п'О. Эта часть потенпиальнои энергии определяет центробежные силы, действующие па точки в 5', Заметим, чта Уо добавляется к потенциальной энергии частиц, обусловленной действием внешних сил и силами взаимодействия точек системы. В частности, если поля однородны и постоянны, то векторный и скалярный потенциалы можно, например, задать как А =- — (Нг), <р= — (е г), 1 г где е и Н вЂ” постоянные векторы, не зависящие от координат.
7.8. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА— ОСТРОГРАДСКОГО Идея, которая положена в основу всех интегральных н некоторых дифференциальных принципов, заключается в положении, что реальное движение механической системы сообщает экстремальность некоторой физической величине. Для математической формулировки этого положения необходимо, как н ранее, ввести в рассмотрение наряду с реальным движением совокуппость мыслимых двигкений, под'щннв их вполне определенным требованиям. Формулировка интегральных принципов проводится в конфигурационном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
