В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 19
Текст из файла (страница 19)
— постоянная величина, Так как детерминант (18.8) н все А содержат только степени квадрата Х, которые являются вещественными величинами, то детерминант и все дополнения характеристического детерминанта Л» — вещественные величины, которые удовлетворяют, очевидно, соотношениям Ль(1ы )=Ль( — 1 „). (25.8) Введем Ке(С~а' " +Сае ~"'»)=а„соз(о>„1+Кь). (26.8) С учетом зтого общее решение хь приобретает внд ха= 2' Ла(Ха) пасов(ыа1+~а) = т~Ла (Ха) Эя (27 8) а где Э„яма„сох(ы 1+р ).
(28.8) 1!9 Амплитуда простого гармонического колебания а„и его начальная фаза (1„ определяются начальными условиями, т. е. начальными значениями обобщенных координат хг(0) и обобщенных скоростей х~(0). Отметим трн важных свойства собственных линейных колебаний механических систем: 1. Общее решение, описываемое координатой хм представляет собой наложение гармонических колебаний с собственпымн частотами системы ы,. Это принцип суперпозиция.
2. Собственные частоты системы пе зависят от начальных условий и определяются только механическими свойствами колебательной системы. Это свойство изохронности. 3. Общее решение х„нс содержит функций вида соз(ры„1+ +(1„), где р>1 — целое число, т. е. не содержит гармоник, кратных собственным частотам системы. Это свойство, как и первое свойство, есть следствие линейности дифференциальных уравнений. Заметим, что ха нс является пернодичсской функцией в общем случае, в то время как 6 — периодическая функция. В конфигурационном пространстве х„ ..., ха в случае несо. измеримых частот «траекторня» представляет собой незамкнутую кривую.
Если частоты сонзмеримы, то «траектория» изоб. ражающей точки замкнута, Мы видим также, что собственные частоты ю характеризу1от движение системы в целом, а не изменение одной какой-то координаты ха. Однако можно так задать начальпыс условия, чтобы все координаты гармонически изменялись бы со временем с одной пз собственных частот системы. Действительно, амплитуды ов и начальные фазы (1„ определяются начальными условиямн, Пусть начальные условия таковы, что все а„, кроме п„, Равны нУлю, Тогда ха=атба(Хта)соэ(отт1+Рт), й=1,2, ...,З. В общем случае изменение каждой из координат системы со временем представляет наложение з простых периодических колебаний 6ь ..., 6« с пронзвольнымн амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.
А можно лн так выбрать обобщенные координаты, чтобы каждая из них совершала только одно гармоническое (простое) колебапие7 Путь к решению этой задачи указывают соотношения (27.8). Рассмотрим их как систему з уравпеннй относительно з неизвестных величии 6„. Разрешим эту систему, выразив б„через обобщенные координаты хы, хю и выберем величины 6„в качестве новых обобщенных координат. Эти координаты называют нормальными (или главными), а соответствующие им пров стые гармонические колебания — нормальными (главными) колебаниями механической системы.
Уравнения Лагранхса в координатах 6„выглядят особенно просто: (29,8) 6 +о)ибо = О, еа = 1, 2, ..., и. Мы видим, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на з независимых уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, н для полного определения ее зависимости от времени надо знать начальные значения только ее самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы кннематически и динамически. Очевидно, функция Лангранжа системы, выраженная через нормальные координаты (и скорости) распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебаяяю *> с одной из собственных частот ы; "1 Одномерным колебанием называют колебание системы е одной степенью свободы, 120 Подставим в (32.8) а' вместо Хг и возьмем соответствугощие амплитуды С», С';*, Тогда (пга)гй + слг) Лг, (Ха) Л г (Хи) Са = О, ла г или л,л,(х„') л„(г,г;) 2 гл=.г Х а— Х ахчлг(хг) ла(г2,) па —..-г Здесь числитель и зпаменатсль всегда положительны для вещественных Х".
Это следует из того, что обе однородные квадратичные формы (Т и У) являются определенно-положительными, т, е. они положительны при всех вещественных значениях обоих аргументов ((г)) и (й)) соответственно). В получешгой нами формуле стоят именно так составленные квадратичные формы, так как Ьх()г,„), Л,(Х,„) всегда вещественны как определиг 2 тели, все элементы которых вещественны. З.З. КОЛББЛНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЦБПОЧГК Рассмотрим собственные колебания системьг Лг частиц, соединенных одинаковыми пружинками жесткости гг н длины г в ненапряженпом состоянии, которые могут двигаться по кольцу радиуса Р.
Масса каждой иа частиц равна пь Будем считать, что силы, действующие на частицы со стороны пружинок, пропорциональны удлинению пружинок в первой степени (рнс, 3.8). Заметим, что такая цепочка представляет собой простеншую модель, используемуго в теории твердого тела. Фуггкция Лагранжа системы Я ((х), (х)) = — ~ ' х — — ~~~(х„— х„+~)', (35.8) п=г и=.г где х„— смещение п-й частицы из положения равновесияг х„=гг(гр„— грпч), причем х~=хи+г.
Из (35,8) получаем уравнения Лагранжа пгх„ь-м(2х„— х„г — х„+г)=0, п=(, 2,..., .Ч (36 8) при дополнительном условии ха-— -хм, Решение удобно искать в виде (37.8) х„=~ ацш! "'Й Подставляя х„в уравнения Лагранжа, получаем уравнение „а 4 и з,пг Р (38.8) и 2 ' которым определяется связь частоты с разностью фаз колебаний ~1~ соседних частиц.
Решение (37.8) представляет собой бегущую волну с волновым вектором Й=ф1, так как пф=и(с(= =/гх„, где 1= — 2яР/М вЂ” равновесная длина одной пружинки, х,=а1 — координата положения равновесия и-й частицы, отсчн- Рис. 8,8 Рис. 4.8 тывасмая от У-й частицы в одном и том же направлении. Из условия х~=хнн определим возможные значения частот (как говарят, спектр частот): а-ьте 1 ~рй=2п), яь= — „ 2я! У где /=О, 1, 2,, М вЂ” 1. Поэтому имеем М частот: ъ и .
л) Оэу — 2 ~/ — з(о — ' т Ф (39,8) Очевидно, частоты ы; и ын ~ совпадают, а волновые векторы ф и фи ~ связаны соотношением ф~=2я — фи л (40.8) т. е, волновые векторы отличаются знаком. Одна из собственных частот ы, равна нулю. Все пружины в этом случае нспапряхкеиы, а все частицы движутся по кольцу с постоянной скоростью, т. е.
движение представляет трансляцию всей системы как целото, Все возможные решения имеют вид х~Р -.=. Рте Санси")' ''ЧР (4 1.8) Они описывают бегущие по кольцу волньц Из (40.8) и (41.8) следует, что решения !р! и !руу; (с двукратным вырождением частот ыу и !он-!) соответствуют волнам, распространяющимся в разные стороны, В результате наложения таких волн с равными амплитудами получается стоячая волна соз и!)!у соз К!ТУ+ !), ' 1 япа!руяп(еууу+ру), которая описывает нормальные колебания: 6у, = 2(Ау (сов (а!!У+фу), 6у, = 2(Ау (Яп (со!У+ ~у). Л' — ! Здесь / = 1, 2, ..., , причем предполагается, что Ф нечет- 2 нос.
Для /!У четных решение (41.8) при /=АУ/2 есть стоячая волна, а частота ыпуз очевидно невь!рожденная. Для нечетных АУ решение х„, записанное в нормальной форме, имеет вид (уу — ! !Та х„= у, (6у, соз пЯ)у+ 6у, яп а!ру) + 6„ у=! (43.8'г где 6з — нормальная координата, описывающая «колебаииез с нулевой частотой. Нетрудно показать, что функция Лагранжа (35,8) подста- новкой (43.8) диагонализуется: л-! Х= — ~ ~!~~ (6у!+6у« — с!у(6у!+6!2)1+6о~. (44.8г 1=! Здесь мы воспользовались выражениями известных сумм: „т, япп!ру= ~, созпЦ>у=О, л== ! и=-.
! уу Ф з! и' и!ру = ~ ' созз и!ру = —, г' 84. КОЛЕБАНИЯ ДВУХ СВЯЗАННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МАЯТНИКОВ Кинетическая энергия системы (рис. 6.8) Т = — («р;'+ <р~~). Спектр собственных частот ыу представляет собой совокупность дискретных точек на синусоиде (рис. 4.8). Этот спектр частот пазьшаюз акустическим.
Иногда удобно изображать ) <чу ), как на рис, 5.8. Потенциалы!ая энергия снстсмь! вблизи положения устойчивого равновесия, которое, очевидно, определяется значениями обобшепных координат !р„,о — — грини=О: (г'=.= — (22+йг )+ — (йго — 2г ) огя! 2 2 н12 2 ' г 2 !огг! г=п лг Рис. 8,8 Рис. 5.8 Функция Лагранжа ~ = — ( ро + р') — — (~2 + 22) — (Ч вЂ” р )' (4б З) ог!2 игл! н12 Уравнения Лагранжа г -2 Чгг+ огойгг ого МЯ Чгг) = О Яр~+ огойг~+ ого (!22 — орг) .= О 2 -г 2 2 ЗДесь ого=ф(, ого=к/т. Решение ишем в виДе 1Р,=СЯЯЯ", 12 = =- СЯЕЯ'. Уравнения для амплитуд 2 2 2 Сг (3,2+ ого+ ого) — огоСЯ = О, — ЯЙСЯ+ (Х + ого+ ого) С = О.
Характеристическое уравнение 2 2 Я ) '+ ого+ ого — ого 2 — ого г + ого+ ыо 2 2 Я или ЛЯ+ого+ого — — ~ого, откуда 2 2 и 2 2 Хг = — ого ) 2 = — (Яоо+ 2соо) Следовательно, собственные частоты колебаний 2/ 2 2 огг=!оо, ог,= ~' ого+2ого. Найдем теперь алгебраические дополнения гго(Х„). Я Для этого 128 нужно вычеркнуть в характеристическом детерминанте послед.
нюю строку, й-й» столбец и умножить оставшийся определитель на ( — ))зоз. Имеем А»(Х»)=о»о1 А»()»з)=о»о, Аз()»») =о»о, бз(Хз) = — о»о. (46.8) Решения з ф» = о»оо (О»+»из) фз = мо (О» — »9»), (47.8) где 8»» = а„соз(о»»1+()»), 6» = а, соз(о»„,1+рз) — нормальные координаты.
Амплитуды простых колебаний а„н начальные фазы ()„ определяются начальными условиями. Покамоем, что всегда можно так задать начальные условия, что все координаты (»р», »рз) будут гармонически изменяться со временем с одной из собственных частот. Пусть ф, (0) =»рз(0) =»ро, ф» (0) фз(0) =О. Тогда -г »ро =о»о (а,соз()»+ аз соз()з), 0 =о»о (а»о»» з)п й»+ азмззш ()з), 2 -г фа=о»о(а»созр» — а.соз()з), О= — мо(ам,з»п(3» — а»ооз»п~,). з Отсюда а,=фодоо, а,=-О, р»=0, йз=О и решение о »Р» л = о»о0„4)» =- а, соз м» А Пусть теперь»ч(0)= — »р,(0) =-»ро, ф»(О)=»рз(0) =О. Тогда а,==О, р».=-0, из=О, аз=фо!»оо и решение ф»= — фз=ыоОо, О»=а»созо»зд Очевидна роль симметрия начальных условий. Рассмотрим случай слабой связи»о',~~»о,', При этом условии "о имеем о»»=-о»о, о»з=о»о+ — =-о»о-»-е, причем е«о»о.
Запишем рсо»з шение в виде ) =о»оКе ~( ) а»е4-)-~ ! азоа'+л»~) е»о"=»хе(, ) е'о»Л ( 1- ° !() ~ 1,о ) — ( ',) (48,8) где Л»,о=о»о~ Р а~~+а~о -о. 2а»а»сов(е!+()з — 8»), а, мп()» и-. а,мп (з»+ ()з) »Яапа= о„соз р» ~ о, соз (з»+ (3») ' (49,8) 126 Амплитуды Лцз медленно изменяются с частотой е«о»»» в пределах о»„) а, — ао ~ ~ Л» л - о»оз | а» 4- а. ). Это явление называют биением. Проилл»острируем этот эффект при следующих начальных условиях: <р< (0) == <р„<ро (О),= <р, (0) = <ро (0) = О.
Тогда р< — - ро — — - О, а<=.ао=-<ро!2<во н решение <р,=- — (соя<во/ ~ соз(ы,+е)/)-=- <р,соя — ) соя<со/, <ро == ~' (соя озо/ — соя(ыо+е) /)= ~<ро я!и — ) яйп<ооб м: 2 2 Лмплнтуды колебаний являются медленно меняющимися функциями времени, а решсння представляют собой гармонические колебшшя с частотоГ< соо, по периодически меняющейся ам4я 2л плитудой, период изменения которой Т<; — - — Ъ вЂ”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
