В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В этом случае обобщенные днссипатнвные силы = — =- — б„дь а д!П даа Рассмотрим вначале простейший пример — движение линейной системы с двумя степенями свободы с учетом сопротивления среды. Пусть система состоит из двух одинаковых материальных точек, спели!генных пружинзмн, >кесткость ка!ждой иэ которых !ь То1пги могут двигаться вдоль огп д нпсрцнальиой системы. Предположим, что коэффициенты х! и на характерпзуlи ют сопротивление среды, причем и!= —, Уравнения двцжеа! ния с учетом диссипативных сил имеют внд ! а цг+ 2!аа4!! — (заде+ кг!)!.= О, а 2 Еа+ 2!айса — а!а !1!+ нада == О, 'Здесь д — отклонения от положения равновесия, а параметры н, и ха характеризуют сопротивление среды.
Используя полученные результаты, введем нормальные координаты О!=О!+дь соответствующу!о синфазным колебаниям с частотой м=ва н Оа"= =д! — !7а, описывающую противофазные колебания, частота которых а!=!аДЗ. Введенные координаты диагонализующие полную энергию Е'=Е,-1- Е'„где Е, =Е'(О,), приводят к системе уравнений ! О!+ !аоа О!+ 2уь6!+ 2уайа = О Оз+ Заа'0„+ 2,ТО, + 2у,0, = О, (11.9) 6, (() =- Ле-т 'е'"', 6 (!) =Вее и!еаГ'""' ', 146 (я! + я,) (к! — х.,) где у!= 4 Уа= 4 Если система симметрична, т.
е. н!=на, то та=О и уравнения расцепляются. Решение в этом случае имеет вид Лснммстрия системы прпводит к появлению перекрестных члепов в уравнениях двнжсппя, так что в общем случае анализ становится довольно сложным, Для выяснения качественной стороны мо11<но ограничиться случаем малого затухания, Предположим, что У,<<асм так что Решение системы можно полУчить методом итераций. Предполагаем, что решение такой системы представимо в виде О,=-.Ае т'+с"Л+а(с), О., —.— Ве с, с+ с г з ч,с + Ь (С) > (! 2.9) где (а(1) )«(А(, 1Ь(1) )«(В! — малые поправки.
Подставляя соотношения (12.9) в уравнения (11.9), в первом порядке по тс получим уравнения для определения а(Г) н Ь (г): а а-~1-сааа = — 2У,Ве' о'ас Ь+ Оса; Ь = — 2Т,Аа'"'. Каждое нз этих уравнений описывает вьшужденпыс колебания под действием выиуждасощсй силы, которая пропорциональна соответствующей моде нормальных колебаний. Установившиеся колебания в системе: а(с)=+ — "', Ве"' Ь (1) =. — ~' Аес ас, саб Таким образом, влияние слабых диссипативных сил приводит к затуханию колебаний в каждой моде по экспонеициальному закону. В первом прибли>кеиии в камсдой моде колебаний появляются колебания с частотами, соотвстствусосцнми и другим модам амМса„ причем амплитуда этих колебаний пропорциональна коэффициенту у, пл уви~Аи' 2Ф= — Ь, О,О,„, где О, — нормальные коорднпаты системы без затухания.
При учете диссипативных сил в общем случае система уравнений принимает вид О,+сасн19,= — Ь, Ом. (1 3.9) 147 Этот вывод легко обобщается на случай произвольного числа степеней свободы. Пусть днссипативпая функция Рэлея задает- ся матрицей коэффициентов Ь,„,; Полагая, как раньше, Ь, «ым), используем методы итераций для решения уравнений, полагая, что решения представнмы в виде — )+)о Ограничимся линейными по Ь,„, членами, Подставляя зто реше.ние в уравнения системы (!3.9), получим уравнения для определения а,; 2 )ии) ) а,+Ь„а,+ма)а,= — 'у' Ь,,„Л,„е <', очм .Мы выделили в сумме член с т=з и перенесли его в левую часть уравнения, чтобы исключать резонансные решения вида .1е) ', появление которых вызвано сделапнымн прибли)кениямн. С учетом сделанных замечаний решение имеет вид Х )о г а.(/)= — 4, ',, е Оюоомо и ~~о ав о)е и описывает затухающие колебания в каждой моде.
Несколько сложнее обстоит дело с системами, в которых имеются гироскопические силы, Вновь рассмотрим движение заряда в однородном магнитном поле, учитывая теперь дпссплативные силы. Уравнения движения будут иметь вид с х+ о)о))х+ 2хх — Й,у=О, у+ о)од+ 2 ух+Я,х = О, .Здесь о1о=егц2тс — ларморовская частота, а о)оз и/т, Действие диссипативных сил приводит к изменению собственных частот системы, так что Х)~ = — (х =Ь )йс) + У х' — (Яс+ о)оа) ~ 2) хйс, Р4 = — (х ~ Ы ) — Ф х' — (Ос+ о)оо) ~ 2(хйы В случае малых затуханий х«оос )) =+)(~ Й',+ао~(4,) х ),~ = — )(~а'.+.оазис) —. ) ~ Очевидно, что при любых (оы о)о' действие диссипативных сил приводит к затухающим колебаниям.
148 Вели рассматривать снстему с неустойчивым положением равновесия при д=О, то, проводя замену ь>сз — > — ыа', получим решения характеристического уравнения для этого случая. В Режиме гиРоскопической стабилизации, когда йьз — ыаз>О, в системе без диссипацни возможны колебательиые решения, описывающие движение по окружности. Наличие затухания и)0 в этом случае разрушает режим стабилизации, поскольку имеет- Я ся решение, для которого Ке Х=-и~Г '- — 1 - О, т. е.
у'Оа з соответствующее неустойчивой моде. Рост амплитуды колебаний в этой моде сопровшкдается уменьшением энергии, так как т Е с.-Ои к О Нвуст дА В общем случае в системах с диссипативными силами в режиме гироскопической стабилизации развитие неустойчивости в одной моде может повлечь возбуждение устойчивых мод за счет перекачки энергии, обусловленной наличием неднагональных членов матрицы Ь|,. Глава 10 ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА 10.1. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Описание движения механической системы с з степенями свободы с помощью канонических уравнений, нлц, как нх называют, уравнений Гамильтона, производится в 2з-мерном (фазовом) пространстве. Это связано с тем, что зачастую оказывается более удобным осуществить переход к системе 2з обы1п1авенных дифференциальных уравнений первого порядка по времени от з уравнений Лагранжа, по второго порядка по времени, Имеется в виду переход от з независимых переменных д; к 2з незавнсимым переменным, Заметим, что в 1)1упкции Лагранжа Ы'((д), (г)), 1) величины 01 и 1)1 не являются независимыми, поскольку о1 является производной д; по времени.
Простейший путь перехода к независимым переменным, очевидно, состоит н том, чтобы внести з новых переменных х1 согласно соотношениям 01 = Х1 (1,10) Эти з соотношений можно рассматривать как систему з дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих между собой 2з переменных д1 и хь Но теперь функция Лагранжа зависит от сй, хп а уравнения Лагранжа формально имеют вид — ~ — ) — — =О, 1=1, 2,, 3. 1 дЫ' 1 дЯ' (2.10) дЧ дЮ '=~%) (ЗЛ0) 150 Уравнения (1.!О) и (2.10) образуют систему 2з дифференциальных уравнений первого порядка. Движение механической системы теперь изображается кривой в 2з-меРном пРостРанстве хь дь УДобно вместо дь х1 ввести совокупность переменных дь рь в которых уравнения двнжепия системы приобретут более снмметричный вид.
Этого можно достичь, если в качестве переменной х1 яспользовать обобщенный импульс Регулярпь!й способ описанных преобразований состоит в переходе от переменных !1!, !)ь 1 к переменным дь Рб 1 с помощью преобразований Лежандра. Задача формулируется следующим образом. От функции Я((!)), (д), 1), зависящей от !)ь дь персйтн к фушсции Я((д), (Р), !), зависящей от с(ь рь 1, причем «новые переменные» р! выражаются через «стиру!о функцию» 2' с помощью (3.10). Вычислим дифференциал 5 с(Я == ~ ( — г(д~ ~ —..
г(о; ! + — г!( ! д2' дУ . ' д.У' 2~( дч дч, ') д /' -.! (4.!О) и введем функцию тв((!)), (Р), !) посредством Б Я =- '1 РЯз' Ж Р)-»вЂ” д2' . дчз /.—.-. ! (6, 1О) Найдем полный дифференциал бЯ=~~,(д!бр,+ р!«1!1,) — ~, ~ — г(д,+ — 4т)— дч! дщ ! ! !(1= «!!' бр — — г(!В) — — ' — !(!. (6.10) д~ ! ! 'д~ дЫ д! 2м(, ) д! й)о р! определяются нз (3.10), так что, выражая нз ннх 4 через йь рь 1, видим, что М действительно является функцией (д), (Р), й Функция Ж((д), (р), 1) называется функцией Гамильтона нли гамильтонианом механической системы. Это та жс обобщенная энергия, по в ней все обобщенныс скорости заменены обобщенными импульсами.
Зная эту функцию, можно вывести канонические уравнения. Для этого найдем ЙМ, считая тэ" функцией (д), (р), й 5 ам='~" ('~' б + дд' (Р~)+ дх' (1 (710) дч! др, Г д! ! ! д! —, — — — „— —, 1=1, 2,..., з. (8.10) дЯ дЫ дЯ!:. дН' дМ др, ' дч! дд! " д! д! 151 и сравним (6.10) с (7.10). Так как левые части обеих формул представляют собой полные дифференциалы одной и той же функции, их правые части также должны совпадать. Прн неза- висимых дь р; для этого должны выполняться Воспользуемся определением (3.10) и уравнениями Лагранжа, записанными в форме д2' Р~= —, аю дЫ' н подставим Р'; из этого уравнения вместо — в (3.10), Тогдп да получим симметричные (с точностью до знака) уравнения двиэксния механической системы в фазовом пространстве, которые определяются с помощью функции Гамильтона дМ дЯ' д~= —, Рт= — — ', /=1,2,...,з. дрэ ' дч! (9.10) Это и есть уравнения Гамильтона. Они представляют собой систему 2з дифференциальных уравнсннй первого порядка по времени отпосителы!о переменных д!з Рь Полезно помнить следу!ощий алгоритм составления этих уравнений: 1) построить функцию Лагранжа системы; 2) найти «новые переменные» вЂ” канонические импульсы — по формулам (3.10); 3) построить !)зун!гци!о Гамильтона Ж((д) (Р) 1)' 4) подставить функцию Гамильтона в уравнения (9.10), В процедуре перехода от переменных (д), (!)), 1 к (д), (р), 1 часть переменных заменяется новыми переменными ((!)) на (Р) ), другая часть пе меняется.
Первую группу переменных называют активпымн, вторую — пассивными переменными. Время 1, разумеется, це является динамической переменной и рассматривается формально как пассивная переменная, Заметим, что соотношения для переменных, которые не преобразовываются, будут аналогичны соотношени!о для «пассивной переменной» й д.у для д.у' дФ вЂ” — — — —, 1=1, 2,...,3. ' (10.10) а«ачг' аг а! ' Действительн!о, первые з соотношений нетрудно получить, сравнивая две системы уравнений; ддг ' ды' Рэ = — —, р! = —, 1 = 1, 2,..., з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
