В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В пачалье мо ный момент амплитуда первого маятника максимальна (она равна <р„), а амплитуда второго маятника равна нулю. Затем амплитуда колебании первого маятника убывает и через время /=Т</4 обращается в нуль. Лмплитуда колебаний второго маятника возрастает, достигая максимального значения <р, прн 1 =Т,/4, Далее процесс повторяется в обратном порядке, т. е. происходит непрерывный обмен энергией колебаний между ма2я ятнпкамп. При Т, >> — амплитуды колебаний маятников о<о 2п Я<я(/) в течение одного периода Т== — практически неизмен. <оо ны, В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период Т) значения квадратов обоб<ценпых координат и скоро.
отей для каждого из связанных маятников в отдельности, и в частности, можно определить «средние механические энергии» для каждого маятника согласно формулам г Е< (/) =- — ~ — (<р < + <во <у <) Ю м — (1 + соя е/), гмр о яя Е Т 3 2 о т г в<о ° ° е. Е Ео (/) == — ~ — (<р,г + ио<ро) <// ю — (1 — соя я/), Т я 2 2 о где Е==п</о<о;"<р~/2, и при дифференцировании <р, я(/) по / мы положилн А<а=О, а при интегрировании пренебрегли изменением А<д(<) за время Т. В рассматриваемом случае равенства масс и длин подвесов обмен энергией является полным: маятники настроены в резонанс. Если же маятники нс одинаковы, то обмен будет неполным.
Обмена энергией не происходит также в тех случаях, когда каждая координата выражается через одну нормальную коордияату, так что нет сложения нормальных колебаний. 127 а =-ой 1 1 Рис. 7.8 Рис. 8.8 Принедем выражение для функции Лагранжа в нормалыпях координатах Оь Оя связанных с координатами срь ого формула. мн (47,8): З = пг('ого (О( — ого81+ Оо — (ого + 2ого) Оог), (58.8) 8.8, линеиные кОлеБАния консеРВАтиВных СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ Примем описанную в 8.2 процедуру построения репгеиий уравнения двигкения механической системы с одной степенью свободы, т. е.
рассмотрим случай 8=1. Если 8=1, точка равновесия п,о в конфигурационном пространстве определяется из уравнения причем положение равновесия будет устойчивым, если (51.8) Если условие (51.8) выполняется, то в окрестности точки дои возникает сила, направленная к точке д„, которая стремится возвратить систему к точке бич (ряс.
8,8). Вводя координату х= =д — дсч н обозначая коэффициент а(дсч) в выражении кннетн- ческой энергии ш, представим функцию Лагранжа механической системы в виде тх' лхх .Ы =- — —— 2 2 (52,8) Здесь мы сохранили, как и выше, только квадратичные члены пропорциональные х, х .
Система, которая описывается лагран'х 3 живцом вида (52.8), называется одномерным гармоническим оспиллнтором. Уравнение движения гармонического осцилляторп (уравнение Лагранжа) ,т+ахх~О, ы= (5 3. 8) 1ЗЕШСНИЕ1 х/ 2 з Сх а= у С1+Со, (да=. — —, с,' (55.8) Постоянную а пазыва1от амплитудой, со1+а — фазой, оо — циклической частотой или просто частотой колебаний. Начальная фаза и зависит от выбора начала отсчета времени. Частота определяется механическими свойствами системы и не зависит от печальных условий и, в частности, от амплитуды (свойство изохронпости). Подчеркнем, что это свойство связано с выбранным приближенном квадратичной зависимости потенциальной энергии от координаты, При сохранении членов более высокого порядка малости опо исчезает.
Энергия осциллятора сохраняется, так как У(х) явно от времени пе зависит, Энергия пропорциональна квадрату амплитуды: Е т.хх охи тм'и' (56.8) = — + — =— 2 2 2 Амплитуда и фаза выражаются через начальное механическое состояние хм ха нз соотношений х, =- а соз р, .т, =- — аа з 1и а, откуда х2 а $/ хцл+ — ', (на= — — '' . ' ' и~ (58.8) еа'... хоо) ' 129 б Н. 1о.
Халилов, Г, Л, Читоо х =- С, соз ля+ С, яп охг, или х =- а соз (в(+ а), (54.8) где постоянные Сп Сх, а н а определяются начальными успениями. Они связаны соотношениями Зависимость координаты колеблющейся системы от времена' удобно также представить в виде вещественной части комплекс лого выражения х = <<е (Ле<в"), (59 вв где А=аз'" — комплскская амплитуда, ее модуль равен амплитуде а, а аргумент — начальной фазе а. Механическое состояние осциллятора определяется заданием х, х в фазовом пространстве, В случае одномерной системы это фазовая плоскость переменных х, х, рассматриваемых как декартовы координаты.
Если начальное состояние осцилляторз задано координатами х,, хь то изображающая точка М(х<ь х т с течением времени <>О описывает фазовую траскторшо в фаз<ь вой плоскости согласно х=асоз(<в<+<х), х= — а<аз)п(<з/+ «) (60 ез или в явном виде (рис. 9.6) — + — '= Е (6ЕЩ а' и'ем Это уравнение эллипса; его можае также получить из закона сохранения энергии.
Фазовое пространство оказывается весьма удобным для изучения нелинейных колебаний. Задание начального механическоев состояния однозначно определяет фазевую траекторию; семейство фазовыв траекторий является, очевидно, однопвраметрическнм, так как апи определяются пе хв и хз порознь, а их комбинацией, образующей Е: Рве. 9.8 2 2 Фазовые траектории между собой пе пересекаются. Это следувч' яз однозначности решений уравнений диня<ения по пачальныва условиям. В данном случае все фазовые траектории являютсм подобными эллипсами, поскольку отношение их полуосей <мтстоянно и равно <о, з.а.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 130 Если механическую систему поместить в переменное (во времени) внешнее поле, то в ней могут возбудиться вынужденные колебания. Рассмотрим< эту задачу на приме- ре одномерного гармонического осциллятара. Потенциальную энергию системы представим в виде (62,8) где первый член описывает собственную потенциальную энергию асциллятора, а второй — потенциальную энергию системы во внешнем переменном поле. Предположим, что переменное пале достаточна слабое, так что отклонения х(~) от положения равновесия и колебания в целом по-прежнему являются малыми.
Если это так, та 0(х, 1) можно разложить в ряд по степеням малой величины х, ограничиваясь двумя первыми членами: 0(х, с)=О(0, 1)+ — х. дх хз (68.8) Учитывая, что 0(0, 1) — заданная функция времени и потому ес можно опустить в функции Лагранжа„а производная д0 ! — — — ! =Р(!) есть «внешняя» сила в положении равноведх !»-о сия системы, функцию Лагранжа гармонического осциллятора в псрс'.меппом внешнем поле представим в виде тх' мм»х Я = — — + хР (1). 2 2 (64.8) Уравнение Лагранжа, описывающее вынужденные колебания осцнллятора, является линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (66.8) (Б6,8) Тогда х(>) ищется в виде х (1) =-Ь соз (ь>с+р).
>з> Общее решение этого уравнения, как извесгно, представляется и андо суммы двух выражений: х=х««+х, где х„а — общее решение однородного уравнения, а х — частный интеграл неоднородного уравнения. Заметим, что х,а найдено в предыдущем пункте.
Особый интерес в связи с различными приложениями представляет случай, когда внешняя вынуждающая сила является простой периодической функцией времени частоты н: Р Я = Р„соз (о>1 + ~). Подставляя (66.8) и это решение в уравнение (65.8), находим амплитуду (67.8) >е (е> — е>') Полное решение уравнения (65.8) имеет ннд х= а сов (ы,)+а)+,' соз (И+ 6), (68 6) е> (е>О е> ) а постоянные а и а определя>ется из начальных условий.
Движение осциллятора под действием псриодической вынуждающей силы представляет собой сумму двух колебаний с частотами ые и а>. Рассмотрнм случай резонанса, когда частоты ме и «> совпадают. Для этого перепишем (68,8) в виде х=А соз(ы,)+р)+ .,-" (соз(а>)+)5) — соз(е>„(+ В). (698) м Се>о е>') Постоянные А н у, очевидно, определяются постояннымн а, ц, а так>ко параметрами, характеризующими переменное поле, В пределе е>->-ые, раскрывая неопределенность вида О/О во вто.
ром члене (69.8), получим х = Асов (е>е!+ 7)+ — ~' (соз ((ы — е) (+ ())— те (еь+ е>) — соз Оее1+ )))) ! „„-, = А соз (е>е(-)- у) + — ' з)п (а>е(+ ()). (70 8) 2аво Видно, что амплитуда колебаний в случае резонанса растет со временем по линейному закону Заметим, что решение (70.8) применимо лишь на ограниченных отрезках времени, до тех пор пока колебания являются малыми. 8.7. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ Рассмотрим движение гармонического осцнллятора, когда на пего действует обобщенная сила трения аида тх+ йх = — ах. (72,8) Разделим (72.8) па >и н введем обозначения — =ы, — =29, О (73,8) !З2 Р„== — ах. (7 !.8) Здесь постоянная а)0, х — обобщенная скорость, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, противополо>кную скорости, Добавляя (7),8) в правую часть (53.8), получим Здесь о>о — частота с б о ствеппых колебаний системы в отсутствие трения, р — коэффициент затухания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
