В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. связи в системе могут явно зависеть от времени иля движение может описываться в пеш>ерциальпой системе отсчета. В этом случае кинетическая энергия имеет вид Т =-Т>'> -РТ1»+ Твч и функция Лагранжа может содержать линейные по обобщенным скоростям члены. дп ~ Условие равновесия — ~, ::= О соответствует нзолнровандд ь=.о ному минимуму обобщенной энергии Тм> Т>о> ) 1уп» и определяется условием Мы будем полагать, что выбор обобщенных коорди»ат произведен так, что равновесию соответствует точка д,=О >здесь мы рассматриваем относительное равновесие в обобщенных коордипатах»,.).
Предположим, что, как н в случае потенциальных дь снл, — =О, т. е. М=,Же является интегралом, а Т1~> — полод> жительно определенная квадратичная форма обобщенных скоростей: Т ' = — л>вд>д>,~0, 1 В отношении разности 0>е>=01в> — Т1е>, входящей в обобщенную энерги>о, мы не будем делать такого предположения: -<о> 1 с>ь9>Ь 2 Уравнения движения в рассматриваемом случае имеют вид тгоЧо + сиЧь+ ааЧо = О, (б 9) где дА~ дАо дда дщ — аптисимметричпая матрица, соответствующая выбранному полоокепию равновесия, Если кинетическая энергия содержит член Т<'>, то мы будем понимать под б<п разность РО.=У"' — Тон =А Чь Появлепнс гироскопических сил резко меняет поведение решения.
Пусть решение имеет вид см Ч, = Ч,ое где Чоо=и;+(щ — комплексная амплитуда. Подстановка в уравнение движения (5.9) дает систему уравнений, для определенна собственных частот н коэффициентов Чм — комплексных амплитуд; — оо ачоЧоо+ ссоЧоо+ йоамЧоо = О (9.9) Собственные частоты определяоотся как обычно из условия существования нетривиальных решений; бе( 'й — оРтп, + си+ иоадД = О. Как и в случае потенциальных сил, общие свойства решений ы можно исследовать, умножая (6.9) на його и проводя суммнро. ванне по повторяющемуся индексу, Учитывая свойства билинейных форм, возникающих в уравнении * — ютпооЧ(о Чоо + сгаЧсо Чоо + (о1агоЧ~о Чоо = О а именно для нетривиальных решений коэффициент гл = пь о (и, ил + о,оо) '> О в силу положительной определенности и симметрии матрицы пои Действительная величина с = см (и,и„+ о,по) в случае локального минимума обобщенной энергии положительна, а антисимметричная матрица ам порождает билинейную форму 2а = оао,Ч~оЧоо = — 2а лиуо, которая тоже оказывается действительной.
140 Таким образом, для любого нетривиального решения собственные частоты системы удовлетворяют уравнению гпво+ 2ав — с =- О, откуда решения могут быть представлены в анде в~ = — — с е )т) 2) Следовательно, для любых а при с)0 решение носит колебательпый характер. Болсс того, даже в случае с<0, когда в системе имеется локальный максимум обобщенной энергии, при выполнении соотношения аг> — цгс, т.
е. при достаточно больших гироскопических силах, движение остается колебательным. В этом проявляется стабилизирующее влияние гироскопических сил на систему. Собствспныс векторы (7( =(7(о с, соответст- (Ь) '(5) Ь««( вующие собственным частотам в,„являются ортогопальными, как и в случае потенциальных сил, Действительно, умножая уравнение (6.9) с в=в«на (у(о, соответствующее ~ешени(о "+(г) («) при в =в„ а решение этого уравнения пр и в=оп на (у)о , получим систему уравнений ! 2 («) ' (г) а! ' (г) ° "(г) (3) — вот(292«о(у о +с(2(7)го(у о +(о),ац(у(о (уоо =-О, 2 (г) "(«) (г)' «(«) "(о) (г) — вгцгцЯоо (7(о +с(оооо (7(о +Увгац,(7(о' (уы =0 Напомним, что здесь всюду проведено суммирование по повторяющимся индексам, Вычитая первое уравнение из второго, получим — (в', т „— вг то,) ) + У (в,а(„) — а „, о),) = О. Здесь мы ввели обозначения («) «(г) (5) (г) т(„! =т)о(уоо (у(о", а(„! = а)2(у(о (ув У«)итывая симметрию матрицы ты=то(, легко показать, что т(„)=тм,).
Антисимметричность матрицы а(2= — аг„приводит к условию в,а„, — в,а„„=(в,+в,) ац,и(') и('! =О, откуда т(,,)=0 при гэов, а следовательно, и с(„)=0 при гэоз. Ортогоиальность решений позволяет записать обобщенную энергию в виде суммы Я = Т'2' — Т(о'+ (У(о' =я~ Яц где Я,=в,т,— с,. 2 И( Учитывая, что частоты удовлетворяют условию гггого — с =- — 2аппо для любых пар действительных частот Г со„.=- — — ~- о1 ( — ~ + —, ос,ы т энергия системы отлячается знаком для этих пар: если движение происходит вблизи локального максимума энергии Я, = ~~1+ ~~-~,1+ Колебания с частотой ы с ростом амплитуды приводят к уменьшению энергии. Проявление эффекта гироскопической стабилизации движения н окрестности неустойчивой точки хорошо иллюстрирует следующий првмер. 1зассмотрнм круговую ограниченную задачу трех тел.
Пусть две точечные массы т, и т, обрашаютсп вокруг общего центра масс по круговым орбитам. Пробное тело массы р« тгд движется в гравнтациояпом ноле масс т, н тм пс влияя па пх движение, Пусть расстояние мелсду тачками т, и пго разно 1 (рггс, 2.9). В янерциальпой системе отсчета Ох'у' двиггсение точек вокруг общего центра масс происходит с угловой скоростью, определяемой из условия т,й'хо = бт,т,/1'.
Коордипатьг точек во вращающейся системе удовлетворяют условию Рлс. 2,9 т,хг+ т,хо = О. Учитывая, что хг — хо=1,, для частоты обращения получим С1М Йз = —, где сИ = тг+ тм гэ При этом х,= — 1, х,= — '1. ого огг М М Начало координат вращагощейся системы совпадает с центром масс. Координаты точки х, у во вращающейся системе связаны с координатами ннерциальной системы х', у' соотношениями х' =х сов ср — у з1пср, у' = х з! и ср+ у соз ср, где ф=И.
Кинетическая энергия точки и имеет вил Т= > (х' -~ у' ) — — >' (х'+у') ->» (х'+у')+рьз(ху — ух), 2 2 2 (7.9) а ес потенциальная эпергия— У=- — т ' — — ~ — ' — —,. >8.9> )/ (х — х»" ->р нв )/(х — х~) ~+ />~ Функция Лагранжа содержит лннейпь>с по скоростям члены, которые во враща>о>цейся системе ОХУ прнводят к появленн>о гироскопических снл, поскольку слагаемые Т»> и Тм> в этой системе естественно интерпретируются как проявление сил инерции. Положение равновесия относительно координат ОХ>' опре.
делается условием — ==О, — ~,, =О, дб > дб дх ~к=й 0 ду х.-а=.» что дает для положения равновесия х =О, у»:=* ~ 1 Ъ/з 2 Таким образом, в системе имеются точки, образующие равностороннвй треугольник, тн>~ие, что пробное тело находится и них в положении относительного равновесия. Эти точки называются треугольными точками Лагранн<а. рассмотрим малые отклонения от положения равновесия, Пусть х«1, у=у — «1 — отклонения от одного из по2 ложений равновесия, например ха=О, ус= — 1. Функция )/3 ~> Лагранжа, приводящая к линейным уравнениям движения в переменных х, у, имеет вид Ь=р + рь)(ху — дх)+ — (Зх'+2хху+99'), (9.9) хэ > чн »й~ 2 8 где введено обозначение я =- 31/ 3 М Потенциальная энергия в точке х=О, д О имеет максимум, так что относительное положение равновесия является неустойчивым, ИЗ Уравнения движения точки в плоскости ОХУ, получаемые, нз функции Е, имеют вид заа иаа х — 2йд — — 'х — — 9=-0, 4 4 (!0.91 ~ за~,11 Ч+ 241х — — д — — х =-О, 4 4 Действие гироскопических сил, как отмечалось ранее, может стабилизировать движение.
Для исследования этой возможности запишем решения этих уравнений, воспользовавшись как обычно подстановкой Эйлера х —.=. Ас", д == Вгх'. Подставим зти выражения в (10.9) и получим систему уравяе. ний для определешзых коэффициентов: Условие существования нетривиального решения дает собст. пенные значения 1.: Колебательный режим возможен в случае, когда соотяошенпс масс удовлетворяет условн1о «Ч 26 / 625 (л1, +п1,)' "= 271п,п1м — <.- — — ~~ — — 1 ~- 0,04, та 2 т' 4 В частности, в системе Земля — Луна, если пренебречь влиянием Солнца, возможны колебания частиц вблизи треугольных точек Лагранжа, Подставляя значение отношения масс для этот 1 го случая — = —, получим возможные частоты колебаний в~ 81 ' м 0,299Й, ох~ ' 0,954ь1. Соотношение между коэффициентами А и В, соответствующее движению с частотой а, в этом случае ~х~ — аа )А =,(2д а+ а )В что при подстановке я дает А = — 1,буе1чВ, где ~р 0,44.
!44 Таким образом, движспнс относительно вращающейся систсмьг координат вблизи рассматриваемой трсуголы ой точки Лагранжа происходит по закону х= — ),б7)7соз(ю )+0,44), р=-Ясов(в ~)+)в ~/з 2 Траектория этого движения — эллипс с центром в точке Лагранжа. Относительно иперциальпой системы отсчета ОХ'У' траектория — незамкнутая кривая, заполняющая область, ограниченную радиусами г'=г„'а„и г'=-г,'„,„. 92.
влияние диссипативных сил Рассмотрим, наконец, влияние диссипативных снл иа движение системы. В отличие от обобщенно-потенциальных сил их нельзя описать с помощью натуральной функции Лаграика 1.=Т вЂ” О, поэтому необходимо построить обобщенные днссипативные силы я к-1 дг, 0з =~~ дчь ю=! Диссипатнвные силы, такие, как трение, направлены в сторону„ противоположную относительному дввжепню тел, н могут как увеличивать, так и уменьшать энергию системы, Рассмотрим простейший случай сил сопротивления, пропорциональных скорости движения точек: Г~= — А,гь где )з)0.
В этом случае мощность диссипативных сил отрицательна: )р" = ~)" р,г,= — э /г,г', (О, что приводнт к уменьшению энергии системы точек, При использовании метода Лагранжа, однако, существует теорема об изменении обобщенной энергии, а пе полной, поэтому в системе со связями, янно зависящими от времени, или прн использовании обобщенных координат д„где явно включена зависимость от времени г=г(д, 1), днссипатнвные силы пс приводят обязательно к уменьшепн1о обобщенной энергии: Е'=Ц, д,= — ~й,г~+хэ лг —.
дГ с с Для описания диссипативных снл рассматриваемого тина удобно использовать диссипативиу1о функцшо Рэлея 2Ф= — рмфд„, где ры — симметричная матрица. Ограничимся далее анализом 146 лишь тех снл, для которых дисснпатнвная функция Рэлея отрицательна, а матрица рм — положительно определенная. В нашем случае зто соответствует силам, пропорциональным скорости прн условии, что преобразование к обобщепиь!м коордцна. там явно пе содержит времени. В приближении линейных уравнений движения положим Ьм=рм(О), предполагая, что двигкепис происходит лишь в окрестности начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
