В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Мощные теоремы в теории устойчивости движения нелинейных систем (Ляпунова, Колмогорова, Арнольда, Мозера) были доказаны па основе уравнений первого порядка по времени, т. е. уравнений, близких к гамнльтоновым. Наконец, методы гамяльтоновой динамики оказываются чрезвычайно полезными при построении других физических теорий, где они и сейчас играют фундаментальную роль.
то в этих переменных уравнения Гамильтона сохраняют свой вид: Я,= ', Р,=- —, дтс' дМ' (37. 10) дру д0) где М'=М'Я, Р) — «новая» функция Гамильтона. Относительно функций Я), )>; предполагается, что они однозначные и име)ет непрерывные частные производные второго порядка по всем псрсмстн>ы. Поэтому якобиа~ преобразований (36.10) должен быть отличным от пуля: дЯ, дй> до» дЯ, д дЕ» дат др» дят Ми д0 дат дЬ др> дР> д», ' дяз дй~ д05 др, '" др, дР, дрт дР> дРБ д (0> ..., о, Р>, ..., Р ) ~0 д (Ео ..., д„ры ..., Р~) дР, дР, дР, дР, дед де; др> дрв (38.
10) Важную роль в канонических преобразованиях играет пронзводяшая функция, которая мо>кст зависеть от переменных !59 «рактичсскн этп методы явились исходнымн пунктами при по- стРош>нп квантовой механики, квантовой теоРии полЯ, стати- стической механики. Во всех этих проблемах значительное место занимают ка- нонические преобразования. Так, можно заметить, что урав- нения Гамильтона обладают важным и интересным свойством: онп сохраняют свой иид, т, е.
являются коварнаптпыми при та- ких преобразованиях переие~ных (д) н (р), которые уже не явл>потея точсчпымн преобразованиями. Этот более широкий класс прсобразоваппй называют каноническими преобразова- ниями, О и р едал си ив. /Синоническими преобразованиями называ- кот тт>к>>е преобразования канонических переменных (д), (р), которсне не изменяют оби(еео вида канонических уравнений дтс дй у) —.—.—, р)= — —, );-1, 2,...,з, (35.10) ()р) ' де> т)>1>1 лк>бой еалшльтоновой систелши Ипымп словами, если перейти к описаии>о движения систе- мы гншымп переменными Я! «О (>7> ° ° Чв рь ° ° р 1) Р— Р> (у» у рь ° ° ° Р. 1) (38.10) (д), (р), (Я), (Р), Всего таких переменных 4з, Независимых переменных, однако, 2з, так как 2з переменных можно выразить через 2а независимых по формулам (36.10).
В производящую функцию входят независимые перемеппыс, причем обязательно должно быть з «старых» и з «новых» перемени>ях, Следователь. ио, всего может быть только четыре вида производящих функций преобразования: Р>(сУ, !«) ЫЧ. Р), Рз(Р С!) Р«(Р Р) Переменные Яп Р> так же, как и д;, рь явля>отса каноническими в том смысле, что уравнения Га~иильтопа сохраняют свой внд в этих переменных. Это накладывает опрсделсппыс ограничения на преобразования переменных, и встает вопрос а >шобходнмых и достаточных условиях «каноничности преобразо,ваний».
Очевидно, для того чтобы динамика механической системы в переменных йн р> определялась уравнениями (35.10), а в переменных Яь Р> — уравнениями (37.!О), нужно потребовать, что~бы и уравнения (35.10), и уравнения (37.10) выводились из модифицированного принципа Гамильтона, т. е. I 5 б ~ (УР>(7,— Р ) (! —.0, /.=! и. з б|Д~ р,д',— ЗЕ1 п1=0. (39,10) (40.10) Какое-либо из этих соотношений можно умножить иа произвольную постоянную С (обычно умножают (40.!О)), не меняя самих соотношений.
Эта постоянная определяет так называемую валептпость преобразования. Если С=!, то преобразование наз>ава>от унивалентиым. Поскольку наличие постоянной С пе влияет существенно па общие выводы, будем полагать сс'равной единице. Напомним, что (39. 10) выполняется в конфигурационном пространстве Я), а (40,!О) — а пространстве (д), поэтому подыитегральное выражение в (39.10) определено с точност>ио .до полной производной по времени ФД, !), а подынтегральпос выра>канис в (40.10) определено с точностью до Ф(д, !).
С учетом этого, приравнивая (39,10) и (40.10), получаем з 5 бЯ~~'р,д,—,-).'.) б! —.б(' ~~~Р,О,—,~ )+ ""'ч 0 " (б(, и >=« и (41. 10) где Р (4, (), !)=Ф((~, !) — Ф(4, 1). (42.10) )60 Формула (41.10) выражает необходимое н достаточное условие каионичпости преобразования. Из нее можно получить формулы канонического преобразования, которос определяется производящей функцией Р, (!д Я, 1). Для етого вычислим ан, Й и запишем подынтсгральное выражение в виде '«,'Рд) — М=-~Р(),— ж'+~~ — "4,+ — '"' Ь)+ — '"'.
за а ! ~ а! != ! с=! !=! (43. 10) Приравнивая козффициепты при д!, !)!ч получаем аг, Ру= —, дду агч Р,= — — ' а0 ' У' = У+ — '. д! (44. 10) (46. 10) (46. 10) Р, =Р! — ~" РД~. (47,10) ! "! Иными словами, как и в преобразовании Лежандра, мы переходим от переменных (д), Я), ( к переменным (!1), (Р), 1, таким, что Рг = — —. Подставляя (47.10) в (43.10), получим дк! д0! а в. Р.
хал!!лап, г. А, ч!!жо!! Это н есть формулы канонического преобразования, определяемые функцией !', (д, Ц, 1). Практическая их значимость заключается в следующем. Задав производящую функцию преобразования Р,(д, Я, 1) и разрешая соотношение (44.10), можно получить явный внд функций Я!((д), (Р)). Из (45,!О), подставляя найденные 1,!;((4), (Р)), получим Р!((с)), (р)).
Наконец, подставляя в (46.10) д!((Я), (Р)), Р!((Я), (Р)), найдем новый гамильтоннан те'(Я), (Р)). Заметим, что уравнение (41.10) является основным в теории канонических преобразований и может быть принято за их определение. Тогда можно доказать, что при переходе к переменным Яь Рь которые определшотся формуламн (44.10) — (46.10), гамнльтонова форма уравнений движенвя сохраняется. Этот способ изложения обратен приведенному здесь, Формулы преобразований, определяемых производящими функциями Рз(д, Р, 1), Р,(р, Я, г), Р~(р, Р, 1), можно получить, воспользовавшись йреобразовапиямн Лежандра. Рассмотрим преобразование с функцией Рз(д, Р, 1). Поскольку Г! зависит от (!1), Я), а Р, — от (д), (Р), причем — Р! =.- аР, =- —, то для получения формул искомого преобразования д0т ' можно воспользоваться соотношением (43.10), выражая в нем Р, через Р, согласно 5 5 5 Е р!р! — У = ~ РЯ! — Я'+ ~ ' *( — Ь+ — Р ) + Ъ!, Ъ;! дР5 дР, 2.! (, да! дР, 1 /=.1 !'= ! + — ~; (Р,Я,+Я,Р,).
дР, д! 1 (48 10) Отсюда следуют формулы преобразования дР5 де! ' (49.10) дР, Ь!=— дР! ' у' = я+ — '. а! ' (50.10) (51.10) 5 !'15 55+У р!у! /=1 (52,10) 5 5 5 '~ р!р — и =- '~~М! — т+ ~ (фр!+ фа!)+ 1=1 ! -! ! ! 5 + —,' + ~~(Р!д!+4~Р!). (53.! О) /=- ! Из (53.10) находим дР5 !!5 = — —, др! ' (54.10) дГ5 Р =- —— дО! .' у'=у+ — '. д! (55,10) (56.10) Наконец, преобразование, осуществляемое производящей функцией Р„((р), (Р), !), можно получить, используя (43.10) и рас- Точно так же, используя (43,10) н рассматривая задачу как переход от переменных (!!), (Я), ! к переменным (р), (Я), г, дР! при котором р!= —, можно получить формулы каноничед5!! ского преобразования, определяемого производящей функцией Рз((р), (!5), !).
Нетрудно видеть, что в этом случае сматривая переход от (в), (!,!), ! к (р), (Р), 1 с помощью так называемого двойного преобразования Лежандра, так как дР~ здг! й=- —, Рз= — —. дчз ' дф~ ' Поэтому (57. 10) ~~Р,н) — М=-~Р!(;) — УР'+ ~1," ~фр + — „" Р!)+ (=.! / ! / ! 5 + — + ~, (РЛ~ -1- РЮ вЂ” РА) — РЯ!). дг„ дС Формулы канонического преобразования, определяемого произ- водящей функцией Р4, очевидно, таковы.
дР~ %= — —, вру дР'„ ~Ь=— дРз (5'8,10) (59,10) (60.10) Заметим, что во всех случаях формула преобразования гамильтоииапа одинакова: Я'=УЮ+ — ', г=1, 2, 3, 4, д!' Примеры канонических преобразований р~= — = у бнР,=-Р~ Я~=-- — = вь (61,10) дЕа ч ! дя~ дчз 2.1 дРз ! ! Видно, что это действительно тождественное преобразование. ед !. Тождественное преобразование. Рассмотрим каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией Рз=~" гу!Р!. Из формул (49.10) — (51.10) находим ! 2, Преобразование, меняющее местами координаты и импульсы (инверсия). Пусть преобразование задается производя. щей функцией р =У й!'с! с ! Из (44.10) — (46.10) имеем Рс=счс Рс= — 1с Т'=К.
3, То1сечньсе преобразования, рассматрссваемьсе с точки зрения канонических. Пусть производящая функция канонического преобразования Р =УБОЯ °" 4 !)Рс с =! Из (49.10) — (5!.10) получаем Я!=6(р ° с). !) (62.10) а это и есть точечные преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
