В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Уран//ение (22,11) является обыкновенным дифференциальным уравнением, из которого функцию 3/,(д/,) можно найти простым интегрированием, После такого разделенна мы получим уравнение в частных производных (23Л!) с меньшим (на одну) числом независимых переменных. В ряде случаев разделение переменных можно произвести , е~д р~~дрд ~ ю анвативна, то нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби целиком сводится к квадратурам.
Для консервативной системы с а степеннми сййЯйдц цаВмый полный интеграл представляется в виде ( / — .ДЪ~.)/' ,' 3 3=-Я Я/(йн аь ., а,) — Я~(а~,..., а,„)1, (24.11) / 1 где каждая из функций 3> зависит лишь от одной координаты ///, а Зр, как функция произвольных постоянных по ах,, а; получается в результате подстановки Я, = ~~ Б/ в уравне/ ! нне (18.! 1). Заметим, что Ма можно выбрать также в качестве одной из постоянных а.
Метод разделения переменных включает в себя как частный случай циклической координаты. Пусть, например, //, — циклическая координата. Тогда, очевидно, уравнение (22:;11) приобретает вид = Я~ (25.11) ад~ и его решение находится тривиальным интегрированием 5,= =а,аь Легко видеть, что постоянная и1 имеет смысл сохраняющегося обобщенного импульса, сопряженного координате дп Отметим, что отделение времени фактически соответствует методу разделения переменных, когда роль циклической переменной играет б П р и м е р.
Частица массы хп в однородном и постоянном гравитационном поле напрлвусенности йу= (О, О, — л). Гамнльтониан системы запишем в декартовой системс ко- ординат уху ну+ Ру+еу г У + гпдг. 2уп Уравнение Гамильтона — Якоби — + — ~~ — ) + ~ — ) + ( — ) ~ +туг=-О, (26.11) 'Решение (26.1!) ищем в виде 5 =а,х(-а,У+За(г) — ауй (27. 11) .Здесь мы положили! Я„=аз! Подставляя (27.11) в (26.! 1), получим (26.1!) откуда Зу(г)=')у'2уп ~ 1~аз — пзбг — ' ~ с(г (29.!!) 2ув 3 = — а,!+ и,х+ а,у+ (/ (30. 11) В ыражение (30.11) представляет собой полный интеграл уравнения (26,11). Производные 5 по а; приравняем новым постоянным: дну ~/2т .3 а~+ах а„— упгг —— 2а (32,11) У аг! 2 ау — упгг— 2м дх Г ву вг нэ = = !+ (1/ — ) Даа 2 ' д а,+а (33, ! 1) ' 180 Вычислим неопределенный интеграл а'+ и' г аг — тяг —— 2т и результат подставим в (31.11), (32.11), (33.11): (1,=х+ —.' !У ~аг — — г~ — лгйи, (34,11) тгг~я ~ г 2т / гбач 9 ~га ч I Цг — д -(- — "* ~l а„— г ~ г!г, Г' г )) = — ! — ~l — ~/ а 2 8 тяг )у' ~/ г агг+ а~г — ' — пгдз, (Зб.! 1) 2т аг1.
+агг — — ' — тук (33.11) 2т Из (34,11), (35.11) следует, что траекторией частицы является парабола; уравнением (36.1!) определяется закон движения з(1). Сохраняющиеся компоненты импульса рт р„найдем из соотношений и) Й Рл = =аь Рг= -аг Компоненту импульса р, можно найти как функцию з йз соот- ношения дя зл г г р,= — = у 2т(а„— туг) — а1 — аг. ; =; — ~,с~~г~- 11,6. ПЕРЕМЕНИЫЕ аДЕИСТВИŠ— УГОЛ» г1к>ф 101 Рассмотрим консервативную механическую систему и предположим, что существует хотя бы один набор канонических переменных, в котором все переменные разделяются.
Это нужно понимать так; можно отыскать канонические , переменные, в которых решение уравнения Гамильтогга — Якоби ' примет вид (24.!1). Далее предположим, что исследуемые нами механические системы могут совершать движения, близкие к периодическим: мы рассматриваем такие движения, в которых либо каждая из переменных д1(1 ~(1)~является периодической функцией времени с одинаковым периодом, либо каждый импульс рг является периодической функцией координаты !(ь в то вРемЯ как сама кооРДината не Явлаетса пеРиоД1!ческой 'функцией времени.
В первом случае движение называют(1либрацией, во втором — вращением. Нелишне также подчеркнуть, что здесь дп р1 и есть тот самый набор каяонических перемен. ных, в котором переменные в уравнении Гамнльтона — Якоби полностью разделяются. Рис, 1.11 Заметим, что механические системы, н которых реализуются вышеупомянутые движения, не столь редки. Есть системы, в которых возмо1кпы оба движения — либрация н врпщсппс — .
в заниснмости от того, какая область значений параметров и начальных значений реализуется. Проекция фазовой траектории такой системы па соответствуюРяс. 2Л! ьцу1о плоскость качественно изображена па рис. 2.11. Уравнение Гамильтона — Якоби для рассматриваемых нами систем имеет вид Я(д, (д,— '), ..., я, ~9,„— ")) '=-Яс„(37.!1) дх, ') а ~ — ') = л 1=1, 2, дИ / причем (38.! 1) (40.11) ддс д де! ' зависят только от д1 и являются периодическими этой же координаты. Весьма плодотворной является хода к таким «новым> каноническим переменным, (41,11) функциями идея",царевв которйх 182 Яд (ф ...
гу„ао ..., а~) = Е Яо1 (Ь1 а! °, ач), (39.! 1 ) ( М,=Я(я,~;:;- а,), / Канонические импульсы р1, определяемые соотношениями «новые» импульсы были бы постоянными движения Уь завися- щими от постоянных аь ..., а,: (44,11) (Ьввф~=— (46.1!) дУ! «Новые» координаты мы обозначили буквой ~~, они называются угловыми переменными. Канонические переменные У, Ч~ называются переменными «действие — угол». Уравнения Гамильтона в этих переменных очень просты: Р~=:У~(а» ..., а,), !'=1, 2,, з, (42.1!) а все «новые» координаты были бы циклическими, т.
е, «новый» гамильтопнан зависел бы только от импульсов Я'= — Я(Уь, У.,) (43.11) Из (41.11) видна, что в качестве У! можно выбрать л Уг.= — (уруйЬ !'=-1, 2, ..., з, 2п $ где интегралы берутся по полным периодам изменения импуль- сов р, как функций соответствующих координат, «Новые» переменные У! явля|отса независимыми функциями (о), что следует из (42,11): У~=-Уу(а» ..., а„), 1=-1, 2,, з. (45,11) Их называют переменными действия. Разрешая последние соот- ношения относительно а„ав ..., а„получим а)=ау(У„, ..., У), 1=-1, 2,, з.
(46,11) Подставляя (46.11) в (40.11), найдем Я=Я(Ум ., У,) (47. 11) Укороченное действие 5»((д), (а)) после подстановки в не- го а~ нз (46.11) приобретает вид ~О(91~ ", Ч», (м ", Ун). Но по установленному выше смыслу Я, как функцию (д), (У) можно рассматривать как производящую функцию каноническо- го преобразования к переменным, в которых (У) играют роль импульсов. «Новые» координаты при таком преобразовании можно получить из соотношений ' дф„ дУ! ' у = — — =О, дМо дчч (49.11) (50.11) !аз Из (49.1!) с учетом (47.11) получим д%, р1=- — „,' (-! рло (51,! 1) Каждая из угловых переменных, как видно, является линейной функцией времени. дуО Покажем теперь, что величина шг = — есть частота нздУ1 мснения импульса рр Для этого найдем прирап(сине ь5ьр( за пал.
ный период изменения р((с1;) при условии постоянства всех дру. гих (кроме с)1) координат: д Вз д э ддз (зсут = ф с(Чз = (~! с(сгь . (~) с(с)з = дчьь ' 9 дууг1с(ьь д!1 У ддз =- — у рз с(с)з ==- 2я —" =- 2пбьл и (52.1!) дуь (д) дзу где бгд — символ Кронекера со значениями бы=1, м=), бм=б, (зФ/. С другой стороны, асср = — Т, д.Фэ д/1 (63.1!) Сравнивая где Т; — полный период изменения импульса рр (52.11) с (53.1!), видим, что 2п = — Ту =шуТп д.ж'е дуу (64.11) откуда следует, что 2п Эу т> (55,11) "ь Подчеркнем, что это утверькдсьше относится лишь к системам, кото.
рые могут совершать двньксиин, близкис к периодическим в указанном з начале п, 11.б смысле слова, Двпмщннс произвольной мохзпической системы со многими степенямн свободы в общем случае пе является периодическая ни в целом, ни па кзькдай из ее каардинвт ьь отдельности, несмотря пз то что задача о движения этой системы допусквст полное рвздслсиис псремеииых в методе Гамильтоне — Якоби. Можььо показать, адпвка, что лшбзя од. назнвчивя функция механического састаниия системы 1(аь ..., 4», рь,.„, р,), выраженная через переменные чаействис — угол», является периодической Фушсцеей срь с периодом 2и. Поэтому ес маькиа прсдстввить и виде рззложеиня в кратный ряд Фурье вида !(аь д рь °, Р»)= э ...
ч С(1 (е /г' -<"' ьь - -»ь 184 есть частота изменения импульса. сракт(счески мы показали, что для нахождения чистот ы( нет необходимости решать динамическую задачу, т. е. отыскивать"1 Ж(!), Для определения са( нужно. Видно, что в соответствующих плоскостях фазовые траектории представляют собой эллипсы с полуосями !/ а,, '~ а,/ты, В плоскости Р,х, 7 а~, 7/и,/таз в илоскосги Р У, !/и,„!/а,/пкз в плоскости рзг соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
