В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Матрицы поворотов преобразуют координаты векторов, определенные в некоторой системс. Рассмотрим вектор г, неподви>кный в лабораторной системе. Пусть х; — координаты вектора в этой системе: г=х~пь а х» — координаты по отяошению к ортам е». г = х„е». Из соотношений х;и, = х»е» н е» = а„п, следует, что х, = ац»х», т. е. координаты преобразуются так же, как и орты, Учитывая соотношение ортогональности, получим выраженно для у„; х„= амх,, Если некоторый вектор А задан своими компонентами а, в базисе и,.: А=а,,п„а вектор А'=и;е,, определен такими жс ком. понентами, но по отношению к базису е,, то в этом случае уран пение е;=ампь можно рассматривать как преобразование, пе.
реводящее орты пь в орты ем а вектор А в вектор А'. Таким образом, можно говорить о приращении вектора АА=Л' — А, вызванном поворотом твердого тела. Подставляя в это выражение е;=а;„и„, получим уравнение для компонент вектора приращения в лабораторной системе, заданной ортами лм ба, — —. (агн — 6„,.) а„. Последовательность поворотон описывается пропзпеленнем ортогональных матриц. Пусть поворот тела из некоторого начального состояния, определенного ориентацией ортов е,=п„ в состояние е;=а,„пь описывается матрицей ам, а поворот из состояния е,'. =е; в е',. = а,' е„, залается матрицей а, . Конечное состояние твердого тела в этом случае может быть определено из начального с помощью матрицы Сы соотношением е,.'=Смою где Са,—— -а',,„а „, Напомним, что произведение матриц а; и а';„, некоммутатнвно; а,'ь,а„м ~ а„„а,'„„, операций.
так что результат зависит от порядка выполнения Очевидно, что матрица См ортогональна; С; =С,„. Преобразование поворотов в трехмерном пространстве происходит так, что при любом повороте существует нектар Х, неизменный в пространстве, Этот вектор является единствен'ным (с точностью до произвольного множителя), называетс~ собственным вектором и определяет ось вращения — прямую, точки которой остаются неподвнжнымн под лейстнисм прсобра. зовапия поворота.
,Г(окажем это утверждение. Пусть а „вЂ” матрица поноротон а Х вЂ” собственный вектор. Тогда справедливо ранспство Х,„= а„„Х„, Рассмотрим вектор Х такой, что а „Х.=).Х„, где Х вЂ” некоторос число — собственное значение прсобраэови 19В иия, Сушествовапис такого вектора очевидно для любой действительной матрицы и „, поскольку матрица Ь„,„=-. а„„, — Л6„„„ удовлетворяющая условию Ь„„,Х„=0 для Х„~о, приводит к условию бе16„„,=0, задаю~дему кубическое уравне- ние для Л вЂ” собственного значения преобразования: <Л вЂ” Л,1 1Л вЂ” Л,01 1Л вЂ” Л.„> —. 0, где Лиаз — корпи этого уравнения.
Очевидно, что хотя бы один действительный корень существуст всегда. Пусть Л вЂ” этот корень. Условие ортогоиальности дает Л,=~1, а поскольку мы рассматриваем матрицу поворотов, в нашем случае Л~>0 и бе1 а„„, = Л бе16„„, =. Л = 1. Других действительных корней пет, так как уравнение йе1а„п,=1 при Л,=1 приводит к условию ЛеЛз<0. Таким образом, если предположить, что Л2л — дсйствительпые корни, то хотя бы один из них должен быть отрицательпым, по матрица поворотов ис может иметь отрицательных собственных значений, поскольку зто приведет к преобразованию инверсий, Остается едикствеииая возможность — предположить, что 1гп Льз~б, т.
е. кроме корня Л,=1 других действительных корней ист. Мы пришли к выводу, что любой поворот, определяемый ортогональной матрицей, оставляет пеподвижпыми точки иа прямой, определяемой собственным вектором матрицы и называемой осью вращения. Фактически мы доказали теорему Эйлера, которая утверждает, что любое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, из одпого положения в другое может быть произведено одним поворотом на некоторый угол вокруг оси, проходящей через неподвижную точку, Действительно, если некоторое положение твердого тела получено в результате последовательных поворотов, то каждый поворот описывается соответствуюшей ортогональной матрицей аф.
Суммарный поворот представляется произведением матриц поворотов л а „= П ай> = а<" ~асч м ... апЛ тй 1=! так что матрица а „также является ортогональной. Следовательио, имеется ось вращения, поворот вокруг которой характеризуется единственным углом, Последовательные повороты 199 будут характеризоваться последовательностью осей вращения. Совокупность всех осей вращения, проходящих через фиксированную неподвижную точку, при заданном движении твердого тела называют подвижным аксоидом.
12.З. УГЛЫ ЭЙЛЕРА Конкретный вид коэффициентов матрицы поворотов зависит от системы параметров, прнменяемых для описания движения твердого тела. Обычно используют систему независимых параметров, называемую углами Эйлера. Этн углы попучилн широкое распространение, поскольку определяют ориентацию твердого тела по отца!цепи!о к лабораторной системе как последовательность трех определенных поворотов, пг Пусть п~ — орты лабораторной сне стсмы, а е; — орты системы, связанной ег с твсрдьпа телом, как показано па рис. 1,12.
Предполагается, что система ортов е; первоначально совпадала с ла- бораторной системой пь а затем была приведена в указанное состояние путем последовательных поворотов, выполпеппых в следующем порядке. Ф 1, Поворот вокруг оси еа(пз) па угол гр, При этом орт е| займет поларис. 1.!2 жение в плоскости п,пв определяемое на рисунке ортом и, (пунктир), 2. Поворот твердого тела вокруг орта е, (оси узлов) па угол О. При этом орт е, займет положение, указанное на рисунке, а орт е, выйдет иа плоскости п„п,.
3. Поворот вокруг орта ез на угол ф, так что орт е, выйдет из плоскости п,па. Поскольку каждый поворот характеризуется простой матрицей поворота вокруг одной нз осей, матрицу полного поворота легко получить как произведение этих матриц. Первое преобразование определяется матрицей поворота вокруг оси ее на угол як сов <р з!и гр Π— 51П гр СОЗ гр О О О 1 Поворот вокруг линии узлов, оставляющий неподвижным орт еь определяется матрицсй 1 О О О сов О з!и 0 Π— з!и О созб 200 Последнее преобразование — поворот вокруг оси ез на угол з1> — описывается матрицсй А„, устроенной так же, как и матрица А,; сов зр 81п зр 0 — з1пзр сов зр 0 О 0 1 Ач.—— Результирующий поворот определяется произведением матриц„ взятых в той же последовательности, в которой выполнялнсь повороты А=А АзАо.
Выполняя вычисления, получим выражение для матрицы поворота; совьР сове — сов 0 в1п е ь|п зР совзР Мп зз+сов 0 сов зр ь1пзР зш ь1з з1п 0 А= — впшрсовьр — соз0 з1пРсаьзр — в1пь1~ з|пзз+соьп сов(рсоьзр соззрз1п 0 ь! и 0 ьш ~р — 51п 0 сов зр сов 0 Для выполнения обратного преобразонания достаточно взять транспонированную матрицу, 12А. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ТВЕРДОГО ТЕЛА Если рассматривать малые повороты, так что а„„=6,„,+Е,, ГДЕ Е ь,с' ,1, то матрица е,,ь антнсимметричпа: ззм зпи~ что следует из условия а за„,в=бь, которое приводит к урав- нению 201 16зь+ззь) 16,.в+еввь) =61 .
Раскрывая скобки, получим с точностью до ен 6пв+ез +ез„—— 6ьз, т. е. ььь= — еьь. Таким образом, координаты точек твердого тела при малых поворотах преобразуются с помощью матрицы е, з'. 6Хв=е„„Х . Очевидно, что закон преобразования справедлив для любого вектора, заданного фиксированными координатами в системе, связанной с твердым телом, а не только для радиуса-вектора какой-либо точки твердого тела. Антисимметрнчный тснзор е„, имеет лишь три отличные от нуля компоненты, поэтому любому антнсимметрнчному тензо- 'ру е,, можно сопоставить вектор, точнее, псевдовектор бцн, компоненты которого определены соотношениями Ьср1---- еам б»ра — - еаь бсра = вам Эти соотношения удобно записывать в тензорном впдс, вводя единичный антпснмметрнчпый псевдотензор третьего ранга Е»»м определяемый соотношениями с нм '— ' Е и ='-' Е и — — 1, с м= с ьн= с ам = — 1, а остальные компоненты тензора равны нулю.
Тогда псевдовектор бзь можно записать как свертку 6»»~ и тепзора а»»п 1 бч»~ = — С ц»,е»»,. Использование тензора Епа упрощает алгебраические операции над векторами. Так, векторное произведение двух векторон А, и Вь с помощью введенного тензора представляется в виде С» = Е»»»гА»Вм Соответствие между антисимметричным тепзором ам н вектором Ьчь взаимно однозначное, так что псевдовектору бйн соответствует тензор е»„= ~ »ь„йр . Справедливость приведенного равенства легко доказывается прямой подстановкой, если учесть полезные в дальнейшем выражения для свертки двух псевдотензоров: 6»»ьб» „=Ь»»б»„— Ь;„б»ь Учитывая приведеняые выражения, запишем приращение компонент радиуса-вектора точки твердого тела, вызванное его поворотом; ЬХ,=апХ»= с, М Х» или в векторной форме бг=[бгр, г1.
Приведенные соотношения позволяют ввести вектор угловой скорости, определяемый соотношением Й=- —, так что Ь~р я» г = [Яг~. (4.12) Угловая скорость является псевдовектором, однако в классической механике принято называть зту величину вектором, 202 так как преобразование инверсии в теории твердого тела не встречается, Формула, определяющая распределение скоростей точек твердого тела, называется формулой Эйлера, Мы получнлп формулу (4.12) — частный случай, соответствующий движению тела с закрепленной точкой. Если матрица поворотов задана в явном виде как функция некоторых параметров ),, — обобщенных координат, то нетрудно в!Ачислить компоненты уГЯОВОЙ скорости как !))ункцин соответствующих обобщенных координат н скоростей.
Движение ортов е!, связанных с твердым телом, вызывается изменением матрицы поворотов: е, (!) — ац, (д, (!)) п„, та к что скорость изм ен ения о ртов бам е! =- — д,п,. дд, (5.12) Переходя в правой части равенства (5.12) к ортам е с помощь!о транспоиированпой матрицы а„,м получим е, = — !),а ье„. дар ад, Матрица дьц, С!„— — — д,а „ Чз Дифференцирование этого выражения по времени сразу же дает ац,а„ц, + ац,а„,~ = О, С; =ац,а„„,= — С„ц. Отсюда следует выражение для вектора угловой скорости, заданное компонентами в системе, связанной с твердым телом: ! зц!А Й) = — 5 !! С! = — 5 и,„— а„,д„ 2 2 д!и а выражение (5,12) может быть записано в виде е; =-= 5 „„!11!е„,.
Йоз является аптисимметричной, что легко доказать непосредственно. Действительно, для ортогональных матриц ам — — а!!,, так что ац,а ь=бц,. Таким образом, любой вектор А, фиксированный постоянными компонентамн в движущейся системе, меняется по отношекию к лабораторной системе, причем о~ею = — с пшй~оАц или в векторной форме А=(ЙЧ Практически, однако, бьиает проще получить выражение для вектора угловой скорости, рассматривая его как сумму векторов, обуслонленных изменением каждого из параметров. В частности, для углов Эйлера ~, О, ф ь~' Й Йт+ Йа+ Й' ' где слагаемые равны соответственно Й„=- уи,„, Й, = Ои з, Йе — — 1ре,. Проекции вектора на орты лабораторной системы и; обозначим Й„й„, й,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
