В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Величины /ь Уз, /з представляют собой площади этих эллипсов, деленные на 2п. Поэтому ./, =а,/2тыь /з =сз,/2тыз, Уз =аз/2тыз и хьз (/и /з' /з) ыг/'+ыз/з+ыз/з Следовательно, частоты изменения импульсов р„, р„, р, равны аЗЕз а.ЗЕз МЕз Ы = — =О)7, Ы = =ЫЗ, 07з= =ЫЗ. а/, ' " а/, * * а/, 11.7. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ Важным свойством переменных действии является свойство адиабатнческой ипвариаптности, которое заключается в том, что переменные действия сохраняют свои постоянные значения и в тех случаях, когда гамильтопиан системы зависит от времени через некоторые параметры Л/(!), которые, как говорят, адиабатически меняются со временем, т.
е. очень медленно. Под медленными подразумеваются такие изменения, при которых Л/(!) мало меняются за отрезки времени, равные по порядку величины периодам Ть т. е. нх/ ~ — 1Т/(< Л/, ! = 1, 2, ..., з. Ж (61,11) Ясно, что такие механические системы не являются строго изолированными. Покажем, что переменные действия н таких системах являются адиабатическими нпвариантами. Рассмотрим систему, совпадающую в каждый момент времени с изученной выше консервативной системой, которая допускает полное разделение переменных. Предполагаем также, что движение системы фипитно.
Гамнльтоннан такой системы явно зависит от параметров Л„..., Л,„которые удовлетворяют условиям (61.11); его можно представить в виде Я=-Я(д,((!ь рп Л ), ..., Р,(д„р„Лз)), (62.11) При постоянном Л, р/ являются периодическими функциями соответствующих координат дб д/ в данном случае являются периодическими функциями времени, Если параметры Л/ меняются со временем медленно, то, несмотря на то что система, описываемая гамильтоннаном (62,!!) неконсервативна, решение уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде, близком к (24.1!): 3 = — Яз(гз„..., а,) !+3,(д,, ..., д„сзь ..., сз„Ль ..., Л„), ' (6З,1 !) где, однако, параметры 0~у, а поэтому и величины с!о н Мо медленно меняются со временем, Подставляя (63.11) в уравяепие Гамильтона — Якоби и пренебрегая в нем членами, пропор.
циональнымн 'Лу, получим уравнение «нулевого приближения» ~(а (уу —,,' Л) 6.(4. — „— ' Л.)~(=Ж(с,, со!) (64.11) В силу (61,11) это уравнение можно решать, полагая нсе Л; постоянными, и лишь в построенных решениях считать нх задашпуми функциями времени. Поэтому все формулы, полученные выше для консерватннной системьу, остаются справедливыми, но во все соотношения теперь войдут зависящие от времени параметры Лу, Производящая функция канонического преобразования от переменных (д), (р) к переменным (хР), (У) определяется функцией Яо, которая теперь, однако, будет зависеть и от Лу! оо=оо(Чу ., %,,)у, Уо, Ль „Л,). (65.11) Заметим, что уу также зависят от ) . Напишем формулы канонического преобразования, генерируемого функцией (65.11): дз» Ру= —, доу (66.
1 1) дЯо уру= —, 1=1, 2, ..., з, д.)у ' Ю=У+д" = — Ю(/,...,У,;Л„...,Л)+ (67,11) дно(!у(Р .! Л) У Л) дху у ! (68.11) Новые уравнения движения имеют внд д.ЯГ аМ Ч1д'Зой(т, У, Л), У. Л)Л 'Ро .= у; д1ь д/д ьм' дУ!, дЛу у=! дЯ" Ч 1додо (д (ур, У, Л), У, Л) ) д!Рь 14 дфь дху у у — ! я=1,2,...,з, (62. 11) (7)у.11) 187 Во всех формулах дифференцирование по Лу должно производиться при постоянных (!)) и (Х); после дифференцнроваяия в формулах (69.11), (70,11) выполняется подстановка (67,11) и 85р производные — выражаются через У„..., Уо ср,, рр,. Для доказательства свойства адиабатической инвариантностн переменных У„усредпим уравнения (70.11) по интервалу времени, малому по сравнению со временем заметного изменения параметров 'Л; и достаточно большому по сравнению с периодами системы.
Прн таком выборе интервала времени величины Л; (в силу медленного изменения Л!) можно выносить из-под знака среднего, Следовательно, ч ъ дРЯр Р Л й др!р дЛр (=! дзр Покажем теперь, что производные — являются одно- дЛ! зпачными периодическими функциями Ч!. Если зто так, то тогда их можно будет разложить в ряды Фурье, коэффициенты кото. рых будут зависеть от (У) и (Л).
В свою очередь ряды Фурье для производных — ( — ) не будут содержать постоякных д!р (, дЛ членов„и поэтому при усреднении по достаточно большому ннд !Яр тсрвалу времени все производные ' обратятся в пуль и 8 э!! дЛ~ аднабатичсская ннвариантность всех У, будет доказана. Заметим, что Яр — неоднозначная функция координат р(п так как согласно (66.11) ее можно представить в виде (71.11у ор =,1' ~ Рэ "Ч! (72,11) 188 г=! За полный период изменения координаты р7! (при остальных фиксированных) Зр получает приращение ЛЯ, ~1рЩ 2яУ,, (73.11) ддр Функции — — однозначные функции координат, так как при дЛз дифференцировании по Л! добавки, кратные 2пУп которые приддр водят к неоднозначности Яр, исчезнут.
Так как — — одпо- дЛ/ значные функции координат дп то они являются периодически. ми функциями угловых переменных ррд эти функции не будут меяять свои значения прн изменении гр! яа 2п (при заданных значениях У;). Ияыми словами, любая однозначная функция Р ((д), (р)), выраженная через каоннческне переменные Ч!, У, является периодической фуннцией каждой гр! с пернодом, рандир яым 2гр. Итак, все — являются одпозначнымн периодичес- дЛ; киьои фупкциямн (ер). Выше мы показали, что в этом случае все /о=О и, значит, все /„=/мь /с=1, 2, ..., з. Оиойство аднабатической инвариантностн всех переменных действия доказано. При мер.
Кан изменится энергия заряясенной частицы е ,кассы пг в центральном поле (/(г) при медленном еклн>чении слсобого однг>/>одного магнитного полл напряженности Нр Запишем функцию Гамильтона заряда в сферической системе координат (ось Ог декартовой системы координат параллельна Н); ,я — ' -1 " р " ' //(«) — еНрц(2тс — еоНоге э(по О/8тсо. 2т 2тго 2тг'Мп' О 1 ( ддо )о 1 ( дпо ')о дпо 2т ~ дг / 2епго ~ дО / 2тго Мпо О ~ д<р / ен Г дно 1 +(/(г) — — ~ — ) =Ее 2ст ~ д<р (74. 11) где Ео — энергия частицы, Решение ищем в виде Ло = 2„(г, ам Рчо)+ Еоо (О ае Рос)+ Рте'Р.
Здесь в качестве постоянной а, мы выбрали р,о Подставляя Ео и (74.11), получаем — — о" ) — (Ео — (/(г) — ' ) «~=ам (78.1П 2 ( споо ) + Р'оо 2т ~ дО / 2тип 0 Ъ~раппеиие (75.11) определяет функцию р„(аь ат Рм, Ео, «) которая нужна для вычисления переменной действия /,: еНРпо — гетр,йг= — ~$/ 2тад+ (Ео — (/(г) — ) —. 2ст Очевидно, /, будет совпадать с У„вычисленным для случая // О если в последнем выражении вместо Е, подставить коме//Р бинацию Š— —. Значит, величина Е,+ енрчо Е " остает2ст ст 189 Здесь с — скорость света, По условию задачи магнитное поле. слабое, поэтому последним членом (квадратичным по Н) пренебрегаем, Уравнение Гамильтона — Якоби с учетом этого приобретает вид ся постоянной при медленном вклгочении однородного магнитного поля.
Кроме нее постоянной будет величина р„ь — ср-я компонента обобщенного импульса заряда, По физическому смыслу Р,ь — сохРапаюшанса пРоекЦигг момента импУльса заРЯДа на вектор Н. 11.З. ТЕОРЕМА НЕТЕР Теорема Нетер играет фундаментальную роль в современной теоретической физике.
Оиа доказывает существование общей связи между преобразованиями, которые оставляют действие системы ипвариантпым, н законами сохранения, Теорема Нетер в явном виде устанавливает зту связь и позволяет построить соответствующие динамические инварианты. Т е о р е м а Н е т е р. Всякому непрерьсзному обратимому преобрпзованщо координат и времени (заесссящему от постоянных пирометров), остиеляющему неизменной (т, е. инеприантной) функс!исо действия рпссматризпемой гамильтонооой системы, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы. Первый интеграл уравнений Лагранжа называют динамическим инеарипнтом. Теорему 1-!егер можно закончить другим (вполне эквивалентным) утвергс<дением: е...соответствует некоторан георелса сохранения и констпнтп дессжения».
Любое непрерывное преобразование имеет инфинитезимальное (т. е. бесконечно малое) преобразование. Совершим бесконечно малое преобразование координат и времени (временную переменную 1 здесь мы рассматриваем как координату): у =ус+ е~Ь((у) 1) (77. ! !) 1'=1+а'Р((у), 1), (78.!1) Очевидно, если параметр е=О, то преобразование (77.! 1), (78.11) переходит в тождественное. Рассмотрим реальное движение системы в нештрихованиых переменных: ус=Рс(1). В штрнхованиых переменных в силу ннвариантностн действия ь 2 '! Я (о, д, 1) й! = ~ Я(д', д', 1') й1' реальное движение системы происходит по закону у; =-Рг(1') Выразим закон движения системы в переменных дн 1, ограничиваясь членами порядка е; уг(1) =Рг(1') — еЯ,(Р1(1), 1), 190 нли оу (! — 6!) = Р, (1) бд,, где 67!=в~~(70ф, г), 61=-аТ(Г(г), ~), При таком преобразовании (имеется в виду преобразование (7?.11), (78.!1)) траектория системы в ксч!фигурационном пространстве (линия АВ) меняется (рис, 3,1!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
