В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда, учитывая, что !14 = и, соя ~а+ и, я! и <!ч е, = аааиь = я!и О я! п ~рп, — я!и О соя ~ри, -1- соя Оп„ получим Й,=(Й1и,) =0 соя ~р+1р я!и0 я!и ~р, йе = (й и,) = 0 я!и ~р — 1р я! и 0 соя ~р, Й, = (Й и ) = <р + ф соя О. (6,12) При составлении динамических уравнений движения удобнее использовать вектор угловой скорости, определенный проекциями на орты е; движущейся системы. Соответствующие выражения легко получить с помощью матрицы поворотов: й, = амйь, о где (й„')=(й„, й„, й,).
Приведем результаты вычислений: Й1=~рз!пОя!пф+0сояф й, = ~р я!и 6 соя Ф вЂ” 0 з(п ф, й,=~рсоя0+ф. (7.12) Полученные выражения (6.12) и (7.12) называют кикематическими формулами Эйлера. 204 12 б. ПОЛЕВОИ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА йвижение твердого тела можно описывать н в терминах полей, вводя локальные характеристики движения в окрестности выбранной точки наблюдения, Пусть положение точки наблюдения в заданной системе координат определяется радиусом-вектором х, Рассмотрим малые смещения точек твердого тела в этой окрестности, происходящие за время ба Пусть в момент г=О некоторая точка твердого тела имеет координаты хь а за время М переместится в точку с координатами х,. =-х~+ в~ Ы, где о; — скорость рассматриваемой точки твердого тела.
Скорости точек движущегося тела образуют поле скоростей о~ =- о,(х„). Точка с координатами х;=х;+6, имеет скорость до~ о'=о, (х,) ==а,(хн)+ — '6„. дха Поскольку поле скоростей определяет поле перемещений б~=о1 ДГ перемещение точки х; определяется выражением Ь; =Ьс+ — 6». да~ дха Положение этой точки после перемещения хг =х +По а для точки х; имеем х', = хс+ йь Расстояние между точками после перемещения, определяемое вектором 6'.
да; бс= хс — хс =6~+ — 'бн дгм не меняется, поскольку твердое тело мы считаем недеформиру- емым: бФс~бА+йбД, — =б,бь да~ дха Ото!ода следует условие, которому подчиняется поле скоростей твердого тела: дхо (8.12) Полученное выражение справедливо прн любых малых б; в ок- рестности точки хь откуда следует, что тензор скоростей дефор- мапий х до! ° И=в дхо является аптнснмметрнчным, т. е.
Ам= — Ам. Антнсимметрпчность тензора удобно записывать н явной фор. ме, используя следующее представление: А 1 ~ д ! + доо )+ ! ~ до! до! ) т. е. выделяя симметричную и антнснмметричиую части произвольного тензора. Тогда условие антисимметричности тензора имеет внд д;, до, — + — =-О, дха дх! (9.12) т, с. Заметим, что тензор Ам не зависит от координат. Действительно, дАа! 1 д ! до! доа '! 1 ! д до; дооа дхо 2 дхо ! дхь дх1,l 2 1 дхо дх, дходх! ~ Но из условия (9.12) следует, что доз до о дх, д„' так что выражение приобретает вид дАи 1 д ~ до! до ~ О дхо 2 дхо ! дх; дх! Антисимметричныи тензор, как отмечалось, характеризуется лишь тремя ненулевыми компонентами, и ему можно поставить в соответствие псевдовектор ! 1 доа о! р олАгл — ~ по 2 2 дх! или в векторных обозначениях вектор угловой скорости Я =- — гог ч.
1 2 Как мы установилн, вектор угловой скорости твердого тела не заниснт от координат рассматриваемой точки, т, е, является глобальной характеристикой движения тела. Независимость а1 от координат предполагает линейную зависимость скоростей йа точек твердого тсла от координат: .о г'а —— -Амх, +йа, Учитывая, что ЛИ=Ем,Я„, получим выражение для распределения скоростей точек твердого тела г'ь=- б ИР.а+он или в векторных обозначениях — Фг) +»,. () 0.12) Полученная формула называется формулой Эйлера, частный случай которой был получен ранее (4.!2), и определяет распределение скоростей точек педеформируемого твердого тела.
Если известна скорость некоторой точки твердого тела: ч=ча (() о — ~ о х;= с Олггг йм где йР— скорость заданной точки (начала координат). Геометрическое место точек мгновенных центров вращения образует в пространстве некоторую кривую, называемую полодией. ньа. Относитвльное ДВиЖение До сих пор мы рассматривали движение материальной точки относительно некоторой выбранной системы отсчета.
Результаты, полученные при описании движения твердого тела, позволяют решить вопрос о вычислении скоростей и 207 и задана угловая скорость вращения м=ы((), то формула Эйлера позволяет опррделить такие точки твердого тела, скорость которых в данный момент равна пулю: (йг,)+ ч, =О. Назовем любую точку пространства, пе обязательно принадле. жащую твердому телу, мгновенным центром вращения, если она удовлетворяет условяю ч(га) О, Используя тензорпь1е обозначения, нетрудно найти координаты точек мгновенных центров вращения: ускорений материальной точки относительно произвольной подвижной системы отсчета, если задано днах<ение точки в некоторой (лабораторной) системе и известно, как движется подвижная система. Поскольку системой отсчета называют тело отсчета (твердое тело), связанную с вим систему координат и часы, то, предполагая, что время в лабораторной н подвижной системах течет одинаконо, нетрудно получить преобразование скоростей и ускорений — преобразования Галилея.
Пусть в лабораторной системе ОХИ, осн которой определены ортами пь движение точки М задается радиусом-вектором г=г(1); г=х,пь а в системе О'Х'У'Г, направление осей которой определяется ортами еь закон движения г' = х',еь Движение точки О' относительно системы ОХИ предполагается заданным с помощью радиуса-вектора й = К (1) = Х;по а ориентация ортов е; по отношению к лабораторной системе определяется матрицей поворотов ар„..
е;г амн . Справедливо равенство г (1) = К (1) + г' (1), нли (1! .12) х,п;=Х,п;+х;еь Скоростью точки относительно выбранной системы отсчета называется вектор, компоненты которого равны производным радиуса-вектора точки в данной системе при фиксированных ортах, т. е, в лабораторной системе вектор скорости определяется уравнением ч=х,пь а в движущейся системе скорость точки— ч' =- х~еь Для вычисления скорости в одной системе, если известна скорость точки в другой системе, продифференцируем соотношение (11.12), учитывая, что е;=ампх, х,п,=Х;и;+ х;е;+х;амп„. (12.12) 208 Последнее слагаемое в правой части равенства удобно представить, вводя орты е„с помощью транспопнрованной матрицы; па=атает, Х1ап,п» =- Х;ама„„е,„.
Вводя в рассмотрение псевдовектор угловой скорости вращения двкжу1цейся системы 1 й1 = с инЛпзава запишем это слагаемое в виде хсагапа = с ьмй,хне„. (1З. Рй) С учетом соотношения (13.12) выражение (12.12) мол<но записать з векторном виде: ч — -- Чз + ч'+ (йг'). Здесь Ч' — относительная скорость (относительно движущейся системы отсчета), а сумма Ъ'„+ (йг'~ называется переносной скоростью, Очевидно, что структура полученной формулы не связана с дифференцированием именно радиуса-вектора. Любой вектор А, заданный компонентамн а; по отношению к лабораторной системе, будет при дифференцировании подчиняться тому же правилу.
Действительно, пусть А =а1п1 =аахен Вычисляя производную при фиксированных ортах пь получим А = апп = а,е, + а;ама еем или в векторных обозначениях — А' = — А+ (йА), ы, к' ЛГ Е1 (14.12) где введен оператор дифференцирования при постоянных ортах ~Р' 1 —; е„а й= — с мьапаме, лг 2 е! а = а, + — т'+ (йт') + (йг) + ~ й — г' ~ + (й (йгЦ. Е1 Е1 — угловая скорость вращения движущейся системы, Учитывая полученную формулу (14.!2), вычислим ускорения точка относительно лабораторной системы при сделанных ранее предположениях: ~Собирая подобные члены, получим формулу Кориолиса а = а,+ [Яг')+ [й [Рг'Ц+ 2[йч'[+а'.
,Здесь а' — относительное ускорение, сумма ачьп а„,„=- а„+ [йг[+ [й [мг'Ц называется переносным ускорением, а член, линейный по ско. рости относительного движения ч', называется корнолнсовым ускорением. Слагаемое в относительном ускорении, содержащее двойное векторное произведение, называется осестрсмптельным ускорением, так как оно направлено к оси вращения системы отсчета.
Раскрывая двойное векторное произведение по известному правилу [й [йг'Ц = Я (Яг*) — г'Й' н вводя единичный вектор и, определяющий поправление угловой скорости, двойное векторное произведснис мои<но представить в виде [а[огд.= — и р, р=г' (и, г')и .где определяет расстояние от оси вращения до рассматриваемой точки, Глава 13 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1зл. ОБШИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНЛМИКИ Рассматривая твердое тело как систему материальных точек с идеальными голопомными связями, воспользуемся теоремами динамики систем со спязямн для составления уравнений движения. Формулировки этих теорем отличаются от аналогичных для систем свободных точек.
Теорема об изменении импульса системы. Если в системе с голономными идеальными связями возможна трансляция системы как целого вдоль некоторого направления неподвижного в рассматриваемой инерцпальной системе, то скорость изменения импульса системы вдоль этого направления равна сумме всех внешних активных сил, действу~осцих в данном ниправленшь Рассмотрим систему, состоящую из АГ точек т„гп„..., те с наложенными на нее голономнымн идеальными связямн, определяемыми системой уравнений 1 (гь ° ., гн, 1) =О, где э= 1, 2,..., й(Зй(, Уравнения Ньютона, которым подчиняется система, имеют вид.
где Го — силы, действующие со стороны )пй точки системы на 1-ю точку (внутренние силы), ч; — внешние силы, действующие на 1-ю точку со стороны тел, не включенных в систему. Движение внешних тел считается заданным. И~ — силы реакции„действующие на (ю точку со стороны связей. Поскольку реакция связей не определена до решевия задачи, силы Иг являются неизвестными н должны быть исключены прн формулировке теорем динамики. Пусть бг; — виртуальное перемещение, удовлетвор яюгцее уравнениям связей 211 Для систем с идеальными связями виртуальная работа всех сил реакции рзвнз нулю: бАл —— ~' К!бг! = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
