В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если ось вращения тела задана единичным вектором п, так что Й=йп, нли в тензориых обозначениях п=(п4=в,ем то моментом инерции тела от- исэсительно выбранной оси называют нелпчппу 1 такую, что кинетическая энергия вращения тсла вокруг этой оси имеет внд ди Т =- —. 3 Учитывая формулу (16.13), запншсм эпергиэо в виде Из полученной формулы находим выражение для момента инерции тела, вращающегося вокруг оси и: У„==у, п,п . (20.13) Момент инерции зависит от выбора оси вращения, направление которой определено вектором и, и этой зависимости моэнпо п(ээы дать наглядный геометрический смысл, вводя эллипсоид инерции.
Пусть некоторый вектор д=(х;) имеет длину Ы; (2 Псэстроим поверхность, определяемую условием Уг('" =. С, т. е. определим длину вектора И условием г(=С/)Л Иэ формулы (20.13) находим, что эта поверхность представляет собой эллипсоид — эллипсоид инерции. Часто константу выбирают так, чтобы численное значение ее равнялось единице. Утверждение о том, что поверхность второго порядка, определяемая тензором инерции у,„х,х =- И' =- С, является эллнпсоидом, следует из положительной определенности кинетической энергии, Если оси, связанные с твердым тслом, выбраны так, что тензор инерции в этих осях диагонален, то эллипсоид инерции определяется соотношением I х'+ l у'+.э' г'=С, При выборе константы, равной единице, полуоси эллипсоиди инерции а, Ь, с равны соответственно а=-1Т)Т),, 6=1ф7;, с=1(~'Т,, Моменты инерции лэобого тела удовлетворяэот неравенству треугольника; (и+ у,э~ ~ухал»уээ — уча а: ум 21В и аналогично для всех других осей.
Действительно у» = >.Ща> (рп>+ай>), ум = ), э>к> (х1П + г',П), 2 у.„==~ >па> (х1;1+у,',~), откуда Ум+ӄ— >>,=2 У''т1оа1о>~~О, гн ,>и — У а — Увз= 2у пгщх1;>- О. пл Лхгя системы точек, находящейся в плоскости г=б, неравенство треугольника переходит в равенство "гп+ г» = ">за. Практически определение главных осей инерции облегчается, если рассматриваемое тело обладает материальной симметрией. Осью материальной симметрии называют прямую, относительно которой для каждой точки массы гп; можно указать точку такой >ке массы, расположенную симметрично относите>>ьно этой пр>1моЙ, т. е, отрезок, соединяющий этн точки, проходит через прямую, перпендикулярен ей и делится этой прямой пополам. Плоскостью материальной симметрии называют такую плоскость, если для любой точки т> можно указать точку такой же массы, расположенную симметрично относительно этой плоскостм, т. е, отрезок, соединяющий эти две точки, перпендикулярен плоскости н делится ею пополам.
Покажем, что центр масс тела лежит на оси материальной симметрии и эта ось является главной осью инерции, т. е. центробежные момспты нпсрцни о>тюситсльно этой оси раппы пул>о, Пусть ось 07 является осью материальной симметрии системы, состоящей из 2>У точек, т. е. для каждой точки >пь где 1 == ( ~у, задаваемой радиусом-вектором г>=(хь уь г), существует точка массы т>ьэ=ть положение которой определяется вектором г>+э=( — хь — уь г>). Положение центра масс системы определяется равенством 1 и.~ К = — ~ >пп> 1'1О, мЬ 919 2И где М=-'~ и!! — масса системы. Проводя суммирование получим с=! й .= — ( ~ пг;г, + 1 ат!г! ьн ~ = !!), О, — ~ пг!г!), 2 %"т !=1 !=! с=! т. е.
центр масс находится па оси симметрии. Центробежные моменты относительно оси ОЯ равны нулю". зм х! и ,7„= — ~ т!х!з!= — ~ тгх!г!+~ вт х!г! — — О. Аналогична Центр масс системы точек, обладающей плоскостью симметрии, лежит в втой плоскости, а любая ось, перпендикулярная ей, является главной осью симметрии, Пусть плоскость ОХУ является плоскостью симметрии рассматриваемой системы 2Аг точек, т, е. для каждой точки тп 1ч:!<А!, определяемой радиусом-вектором г;=(хь у!, г!), существует точка, масса которой лгд.гг=!г!!, з радиус-вектор г!+з=(х!, уь г!). Очевидна, что г=(), а Х„=у!и=О, Поскольку положение начала координат ничем пе выделено в плоскости ОХУ, то результат справедлив для любой оси, перпендикулярной плоскости, а нс только для ОЯ, Для тел, обладшощих высокой симметрией, скажем, однородных тел вращения, указанные снойства позволяют сразу жо определить главные оси инерции.
Так, для тел вращения ось вращения н любые две перпендикулярные ей осн, перпендикулярные между собой, днагонализуют тепзор инерции, Рассмотрим теперь преобразования теизора инерции при сдвиге осей. Пусть в некоторой системе ОХИ тензор инерции определяется выражением Л,„(17.13). Координаты точек в новой системе О'Х'У'Х', начало которой сдвинуто относительно исходной системы, а оси коорднпат параллельны исходным осям, связаны со старым соотношением х, =- х,'. + сь где вектор с! определяет сдвиг начала новой системы. Подставляя зто выражение з (17.13), получим связь между тензором инерции в исходной системе и в новой 7'!,„: у!„, = у! + ~'и!!! (с 6„„— с с,„) + ~ т! о (2сзх„' ' 6, — х,' ' с,„— х,'„' с!).
220 Вслп начало новой системы совместить с центром масс, то пйпхпп=О, 1 н в этом случае 1„, -Уь„~-М(с бы, с,с„,), (21.! 3) где Уь„ — тензор инерции в системе центра масс, М = у тп Параллельный перенос осей преобразует момент инерции системы относительно оси, определяемой вектором и: 1, п,п,„=:. У ==. У'+ Мба. (22.13) Здесь г(=саннии — расстояние от точки О' системы центра масс до оси вращения, а!а — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Рассмотренное преобразование составляет содержание теоремы Штсйпера.
1З.З. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИИ ЭЙЛЕРА Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой существенно упрощаются, если динамические перемепныс — векторы кинетического момента н угловой скорости — задавать проекциями па оси системы е,„жсстко связанные с движущимся телом, В этом случае компоненты тензора инерции явно пс зависят от времени, Выберем систему координат, связанную с твердым телом, так, чтобы учесть симметрии в распределении масс и диагопализовать тензор инерции. Пусть У,>Уз)УЗ вЂ” главные моменты тснзора, Вектор угловой скорости мы будем задавать также проекциями на орты е,; Я =Я,е,. Кинетический момент вращающегося тела в этом случае М == М,е, = У„аЯае, = У„Я,е, + УэЯ,ез + УзЯ,еэ пм = пи,(() Используем теорему об изменении кинетического момента — М=)..
М т, е, определяется компонентами М = (У,Я„1аЯ„У„Я„). (23, 13)~ Векторь| е,, при движении твердого тела могут поворачиваться относительно инерциальной системы, определяемой ортами пы так что е, а,ьпы причем коэффициенты матрицы поворотов зависят от времени: Выполняя дифференцирование с учетом вращения ортов —" е,+М,— =Ь, —.=икчпк==(ме„(, а т4 ае,, че, ш ' ' ж ' Й получим выражение для изменения кинетического момента М,е,+(Й, М,е„]=В. (йй 13) Подставляя в это выражение значения вектора кинетического момента из (23.13), найдем проекции уравнения (24,13) па ор- ты движущейся системы; УФ~ = (Уз — 1з) 12Фз+ Ь~ '~Фа = (у1 '~9) ()ЛЗ+ 1 з~ указ = % уз) ~)я+ ~.з (25.13) Полученная система уравнений называется системой динамических уравнений Эйлера. Вместе с кипематпчсскими уравнениями, выражающнми угловую скорость через обобщенные координаты и скорости, полученная система шести уравнений первого порядка описывает вращательное движение твердого тела.
В качестве таких уравнений можно взять кинематнчсскпс уравнения Эйлера (7.12): Й, = ср ей п О гй и ф + 0 сов ф, Я, = ф з~ и 0 соз ф — 0 в~ и з)О й =-срсозО-)-ф. 222 Интегрирование этой системы уравнений в общем случае пссьма сложно. Общее решение в квадратурах для этих уравнений может быть получено в некоторых частных случаях, к которым относятся случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Случай свободного движения твердого тела, когда момент внешних сил, действующих на него, равен нулю, называется случаем Эйлера, В частности, если эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения У,=Х,, движение тела называют регулярной прецессией. Интегрирование уравнений в этом случае существенно упрощается. Напомним, что углы Эйлера имеют следующие названия: ф — угол собственного вращения, Π— угол нутации, — угол прецессии.
так что названия движения вращшощегося тела — прецессии или нутация — связаны с изменением соответствующих углов Эйлера. 11 «луч>и «кобол>нно линн еиии, когдз мом<ит иисшиих сил р;ив и и>лн». -ш >< ми:>иии<>и'и>ъих урии>ииий 3>>>>< ри яиш> ис иши< и! и> <>ги>и и мимо > бы>ь ирои>о<грировиип и«шиишгма ат си«>«мы кои< <>:>>ич>яких ) рпи>н иий (7.!2).
В рвссмслриносмом «г>>ч;>< >ч>мм! >ричиого ыли р< инин ио«лсдпего уравнения <'и« > ° >ы Г>5 131 ! ри>и>вль>ие <> ч> ;> иг><ниии«< ч .>и! у!шиш вин в«ой «п«1«>ы ~ г>1» 12>-.'>1,11„ 1,/<!)! — (,l !.- lч) ч>„И! (26,13)' (г, (27 13). И <1, ч>„си~ ~ (1 > ) ~ ч>ч~, ~1;,), .>, Таким <>брик><>, комов>пчпы <1! и Их векторв углаиой скорости ирои<вин<и вокруг ир>и ех «угловой скоростью И = ( 1 - - — ' — ) <ч>„ ,г> > лаз>ому и ишъ иск!ар угловой скорости !) 1>>е> ирншвется (ире.
ц«<'иру«>1 вокруг оси ез. 1(о>>уч«ии>з< р«шсиии диивмич<ских уравнений позволяют ираки!«<рирои<<!» кии«><в>инск>н' уриииспин (7.!2); <р х( и О гби >р > О сач >р <ч<> к(и (Ы 1 <(>!), <1 х!п Осок<1 — йгйи>1> -<>ясах(Ы 1->р<), <р сов О 1->р им, (28,13) Лля у<цшицчи>и иычигл<иий выборам лабораторную систему твк, чтобы иск<ар кии<тического момеита й>, который являстся шп«кролом звднчи, был иапрвилеи вдоль оси и<и! М= Мчи,>:,>'>((<>е! 1 5),,е!)-( l,ч>>>е„. Квк слсду<т из решения системы (26.13), проекция вектора М пп о(п сз тики<с сохРвнЯетсЯ! М„(е„и,): = М, сов О г><»ч вилик>ни лии«Оными ид>пйп>диыми уравпсииями с настоянными мои(н(>виши<ими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
