В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В практически важном случае, когда чх~ 17(х) = —, 2 уравнение движения оказывается линейным, а закон псвозму щенного движения представляется элементарной функцией х(1) =1/ — соз(<о,1+тр,), где !ос=и/!и. е В атом случае изменение периода вычисляется особенно просто: ОО зл Т=Т ~1+ — ~ ':аа — ~ ИфУ! ~ '~/ — соз!Р,(7,!4) ! ч- 1 — »р ал 2п ~,! в! дЖи а л ! о каче""не примера применения изложенного метода вычислим период колебаний системы, полагая Ф«х« Й,х« (г(х) =- — ", еу, (х) =- — ' 2 2 1!свозыугцепшое движение = гармонические колебания, период котоРых Т=«2хг.'1/гп11йв а закон движениЯ где ф ч~1.1- фо. ВгяРпжспие дли периода колебаний в этом случае представлясгси рядом 2« 7' Т (1 + ! ~~1! ( — 1)«( — ') ~гврсоз'««Р).
Интеграл легко берется а~« дФ созх«Ф = « 2«1! о ток что выражение для периода приводится к виду (8.1 1) а=о При выполнении условия (й~/йо~ «1 полученный ряд сходится и сумма его вычисляется: ( — !)" ( — (~ = 12«1)п / ь, )« 2«!! '! а, 1 ~!+1ч12, ' «. О Отс~ода следует, что период возмущенного движения при усло- вии )й~//зо~ «1 выражается формулой Т=йп и й«+ а~ т.
с. совпадает с точным выражением. При й~/йо>! полученный ряд расходится, однако в области !и/й« вЂ” 1«(1 ои может быта использован для оценки периода колебаний, посколвку остаточный член ряда сначала убывает с ростом и. Остаточный член ряда можст быть представлен в виде („) О( 1) +1 (2ий!)н ~с+1 (2а.ь 2) н где 0<0<1, $=2,Яа. Таким образом, хотя ряд расходится, при лгобом гг)0 выполняется условие Нпг "( ) =О, $ т.
с. ряд является аснмптотическим представлением функции 1(5) =- При й,>0 ряд является знакоггеременгггям, так что остаточный член ряда не превышает первого отброшенного члена. Это приводит к тому, что увелпчепке точности представления функции г(х) и области, где ряд расходится, происходит с ростом и лишь до тех пор, пока члены ряда К, удовлетворяют условию Это отношение убывает для всех целых и, удовлетворяющих неравенству 2 — й и -,и,с,=)— ( 2$ — 2 где р) — целая часть числа р.
оведение суммы первых и членов ряда для случая к=1,1 иллюстрирует рис. 1.14. а г 2 3 4 5 6 Ряс, !.14 Ряс. 224 Рассматриваемые свойства асимптотнческого ряда вызваны 'тем, что ряд, заданный своими коэффициентами, определяет функцию неоднозначно. Можно показать, что две функции, представляющиеся асимптотическимн 'рядами, коэффициенты которых одинаковы, могут отличаться на экспоненцпально малую величину. Такая погрешность, не представимая степенными рядами, может существенно менять характер поведения ре.
шения динамических'урзвненнй. 245 Вернемся к ряду (8.14), представляющему понсдсппс периода колебаний осциллятора. Поскольку в области 5> 1 аспмптотпческнй ряд может быть использован лишь для определения границ области, в которой находится решение, выберем для каждого и оптимальное значение членов ряда, чтобы минимизировать ошибку и = пса| т1~ч' — гни соз ~р =- Я 2 (9.14) приводит к формальному выражению для закона движения У 2 .1 М'М~+ аэн соз <р (10,14) Будем рассматривать такие значения энергии Я= — тд1(1 — е), где а) О, (11,14) что в области возможных движений чч~у~~рз можно ограничиться лишь первыми членами разложения потенциальной энергии, полагая фй (р4 соз <р 1 — — + —, 2 24 246 н построим гранвцы области, внутри которой может находиться фуцкция, представляемая этим рядом, Эта.
построение ~ллпстрирует рис. 2.14. В области сходимости ряда теории возмущений определена функция г(х). За прсдсламп этой области ряд ие представляет определенной функции. Рсшсппс исходной задачи в этой области может оказаться достаточно «прогггымго а может быть и таким, что представление сга с помощью элсмситариых функций и их комбинаций невозможно. Эти выводы полностью переносятся на асимптотичсскис ряды, коэффициенты которых являются функциями времени и представляют закон дввжения точки.
Очень сложное поведение рсшспнй динамических уравнений в области неустойчивости и янлсппя динамического хаоса как раз и дают примсры явлений, пс описываемых в рамках такого подхода. Во миогнх случаях ряды теории возмущений используются лишь для оценка характера решения и его зависимости от параметров, поэтому часто достаточно ограничиться лишь первыми членами разложения асимптотического ряда. Такой подход можно проиллюстрировать на примере математического маятника. Определим в первом порядке теории возмущений по. правку к периоду колебаний математического маятники. Интеграл энергии для маятника Иl !ф! — л>д>1 —, ч>> 24 ' что прпполпг к н>ар»женив> для пери<>да и перв<>м порядке по е: ! и т т~! — -'- 1 Дф — с[к>ф1 ая с« ,) ь >> Вычисляя интеграл и выполняя дифференцирование по е, имеем Отметим с>це раэ, что рассматриваемая теория возму>пений неприменима вблизи точек локального максимума потенциальной энергии Пользуясь полученными рсзультатамп, можно вычислить пе только поправку к периоду колебаний, но и поправку к закону движении.
Подставляя и формулу (10.14) выражение (11.14) дли потенциальной энергии возмущений, в первом порядке малосгн получим искомое выражение 1 >ар е«,'24 ЬС. «,,я.~ «т -„«я .—:,г » Здесь мы предполагаем, что началы>ыс условия выбраны в виде р(б) — г), щ(б)~б, Учитывая, что невозмушенное движение ч> у(Г) — гармонические колебания >р. >р~„а!Пь>»г, Где >р>««=)/2а, >(> (ч>) = проведем замену переменных в интеграле, полагая — — агса1п — ~-.
4>«>в« е бг=- — ~ (ф —. «г «>п44> 1ещр ~ сс««>(> о Остаточный члсп знакопсрсмспного ряда удовлстноряет условя>о (г.!«Г!! =<4„,>24, что даст при >р>,ы1 (г„! <005. По-. правка к потенциальной энергии Интеграл легко вычисляется, так что поправка и закону дви-' жения имеет впд Л/= — ' ( 1рф+ — з(пф сов ф — — ф), 6 1 з !А (, 2 2 Учитывая сдела1шую замену переменной, мы имеем зависимость б/=--б/(ф). Закон движения с учетом поправки можно получить в явном виде, используя итерацию: ср (г) р (/) — <р б/ (~р), что приводит к окончательному результату Чявх 3 »1а Зоз»1 ср (1) = ф, айп ы 1 — — 1 ы,/ соз ы,( — — з( и ы 1 — ) ПЮХ О 4 4 (12.1.1) При ы»/-1/а формула (12.14) неприменима. Обобщение можно получить, полагая, что движение периодическое, как это следует из теории качественного исследования, а непериодические «секулярные» члены возпиклн в результате разложения периодических функций.
Это позволяет предполагать, что возмущенное движение описывается выражением 7 з ср(/)=срп„~1 — — а~ з1пы/ — А — з!иЗы/, (13,14) где а = ы, (1 — А»/1б), з = — А»/24. Таким образом, применение теории возму1цепий позволяет сде. пать вывод, что появление высшпх членов разложения потенциальной энергии вблизи точки локалыюго минимума приводит к изменению периода колебаний и, значит, изменению основной частоты.
Вторым эффектом является возникновение гармоник этой ионой частоты. 14.2. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ НЕУСТОЙ'1ИВОГО РЛВНОВЕСИЯ Рассмотрим теперь колебания с большой амплитудой. Термин чбольшая амплитуда» здесь означает, что часть времени система проводит вблизи точек неустойчивого равновесия — изолированного максимума потенциальной энергии. Для математического маятника, рассмотренного в 14.1, такими точками являются ср„= и+ 2нК /г =' О, ~ 1, В рассматриваемой точке (/"= -5~0 Пусть энергия системы мало отличается от //и к именно Я'=-(lа+е„где е«Я — (/Мы, Здесь У ы некоторое значение энергии из области возможного движения. Полагая х(О) =х„, запишем закон движения Начальное значение координаты хо для е)0 удобно выбирать равным нулю.
При этом х(0) =ха~О. При е<0 будем считать хо точкой остановки, так что Я; — У(х,)=0. Выбор начальной точки хе для случая а=О мы обсудим позже, Введем параметр смз=й/и!, так что т=!/ам — характерное вре. мя движения вблизи максимума — время релаксации, Вычисляя интеграл для а<0, найдем = — 1п( — '+ 1//1 + ( — ) ° (15 14) откуда зависимость х(1) прн выбранных начальных условиях дает закон движения х (/) = х, с5 ы, ~, (15.14а) В случае е=.— ~,. 0 решение, соответствующее выбран- 2 ному начальному условию, имсет вид хИ) =хозй~ЪГ Здесь введена константа ха — — хо/ва=га/2я. [15. ! 4б) Поскольку приближенное вычисление с помощью разложения функции П(х) вблизи точки максимума дает большую погрешность, мы рассмотрим разложение потенциальной энергии непосредственно в точке локального максимума. Пусть (У(х)— потенциальная энергия системы, имеющая максимум в точке х О.
Разложение (У(х) вблизи этой точки будем вести, ограничиваясь точностью х': и(х) =и,+ 0" а . " (14,14) 2 Прн е=О общее решение линейного уравнения движения вблизи максимума имеет внд (10 3): х(!)=де" +В -", Выбор направления движения соответствует выбору знака в экспоненте. Поскольку характерное время системы т-1/о!о, та частица находится вблизи тачки максимума в течение времени, сравнимого с т, а затем координата точки будет экспоненцнально быстро нарастать (исключение составляет случай е= О, когда тачка движется к полоЖению равновесия), и разложение потенциальной энергии (/(х) окажется неприменимым.
Построение решений иове!аду в области движения точки на основе решения вблизи локального максимума н решения в виде квадратуры называется сшиванием. Решение (15,14), соответствующее случаю а~О, переходит в решение с е=0 прн !оо/»1, если положить В=О, А хо/2. Этим можно воспользоваться при построении решения в общем случае, Осли полная энергия удовлетворяет условию Яоь(/(О). В областн о!о/»1 при а>! справедливо црнближсиие Я = тп/.
Используя формулу (10.14), получим закон движения о( ! Г и!г — — = 2 !и соз ф/2 аь,) ми <г/а о (17, 14) пли, в явном виде Ч! (1)= 2 агсз(и ((то! 1. (10.!4) где хо =е/1/" (0), х*=хо/2. Лналогичное выражение справедливо и при а<0, В этом 'случае хо — нижний предел иитегрнрования в первом интеграле — точка остановки. В ряде задач не требуется определять детали движения вблизи максимума, но существенным является получение точного описания перехода от точки локального максимума к движению с большой кинетической энергией н области х.л хо. В этом случае можно сразу использовать формулу (!б',14), дающую удобное приближение, Пряменнм полученные результаты для оценки периода больц!нх колебаний математического маятника (М~гид/).
Пусть амплитуда этих колебаний !р, причем и — <р,о<«о . Вс!оду в области ср<Ч!,„для вычисления закона движения будем полагать Пол)чсии<м иырвжсиис пригодно вдали от точек поворота. Для оп<пни периода положим <! (Т/4) <р*, где «р* определяется усчпш!гм « — В« и — <р = 2 (19.14) Пози эзиляя иыраж<иис !1<<,14) и (!«.14), получим период ко- лебаний 4 <«- Г,,< 4 и Т вЂ” )и с!и — ' —:.-. — !и —, (2!).14) Н<< и — <г<п Получениос ними решение (13.14) и области больших значений амплитуды колебаний и-эр„<1 переходит в (1!1,14); <р ( !):= и — (и — <р,„) с)< е<< (1 — ТЯ.
Амплитуда колсбяиий может быть легко выражена через энсре гик<, что дает ч„, и — у 2 — Таким обраэом, частота аа! ' основных колебаний при <р„,- и уменьшается: (21,14) а период лагарифмичсски растет: Т(е) —. —" 1п ! 32-~й-). (22.14) Зависихшсть периода колебаний математического маятника от энергии можно получить, вычисляя интеграл Т: 4 р'а!э ( < л1'г<а<ж" О (23.14) который заменой иерсмеииых з1п $= — сводится к эллипти4<п <э! 2 5!и <Г<д<2 ческому Т-- — К(эйп(<р,„<2)), где <р„,— амплитуда колебаний, а 4 "<В а/2 <$ К(<<) -' ~ = =,==у= — полный эллиптический инты рал первого "~Г-й~в~и~$ << рода. Зависимость периода движсиий математического маятника от эиергии иредстввлсна иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
