В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 41
Текст из файла (страница 41)
торна автономной системы прнпадлех<ит к одному пз трех типов: траектория без самопересечсний; замкнутая траектория, называемая циклом; траектория, состоящая нз одной точки Траектории, состоящие из одной точки, называют тачками покоя. Эти траектории определяют положения равновесия системы. Необходимым и достаточным условием того, что точка фазового пространства является точкой покоя, будет выполнение условия У~(хьм1)=0, т. е, фазовая скорость системы и точке покоя равна нулю. Исследование движения автономной системы нблпзп точки покоя во многих случаях можно провести в линейном прпблпженни, разложив в ряд функции ~~(хь) в окрестности рассматриваемой точки и ограничиваясь линейными членами 1; (х„) = ~; (хх„+ Ы = 1~ (х„„) + — Ц, =- а~хи,.
дп ах„ В этом случае система динамических уравнений в окрестности точки покоя заменяется линейной ~; — — апДх, Эта система является линейной однородной системой с постоянными коэффициентами. Предположим, что пе1аа, + О. Для пространства с одной степенью свободы фазовос прострап. ство двумерно (1ч:~', й.а2) и в окрестности изолированных точек покоя является плоскостью.
Если матрица диагонализовапа, то уравнение (1,15) можно при. вести к виду $г=-пгниг=-) Дм $е=аэДх=) Да. Решения уравнений имеют вид ~,=А,ец', ~,,= — Ааех*', 262 Если нРи этом окажетсЯ, что Х,<0, Хи<0, то пРи 1- со фазоныс траектории стремятся к точке покоя. Система фазовых траекторий, подзола к точке покоя, образует «устойчивый узел», пзображск~ый нн рис. !.!б,а. Рис, !.!Ь Если выполнены неравенства Х,)Х,>0, то форма траекторий остается такой же, но движение точки в этом случае пронсхолнт от точки покоя. Такая система траекторий образует неустойчивый узел, 1!усть Х, н Хз имеют противоположные знаки: Х,)О, Х»<0.
Возникелощая картина фазовых траекторий — «седло» вЂ” имеет лнс траектории, асимптотнчсски приближающиеся к точке покои, — «устойчивые усы», и дае траектории, выходящие из этой точки, — «неустойчивые усы». Остальные траектории асимптотически приближаются к осям координат, как показано на рис. 1.15, б. Если матрица аы не приведена к диагональному виду, то топологическня структура фазовых кривых в окрестности точек нокон не меняется.
Положение «усов» в этом случае определястся собствсппыми вскторамн, для которых найдены собствениыс значения матрицы ом В случае, когда собствснныс значения Хьа комплексны, имеются следующие возможности; !1 !сеть»=0. Решение системы имеет внд .-. А~зал»~, $« = о~ааим, 263 'Фааовые траектории для этого случая — эллипсы, Такая система называется центром (рис, 1.15,в). 2) КеЛьз<0.
В этом случае система фазовых кривых назьгвастся устойчивым фокусом. Закон движения в этом слуцкие имеет внд Ц, =- Ае-"' соз (аг1+ ср,), Ца =- Ве-"' соз (аг1+ чга), Логарифмические спирали фазовых траекторий в этом случае аснмптотически прнблнгкаются к точке покоя. 3) КеЛг а>0. Такая система называется неустойчивым фггкусом. Вид кривых на фазовой плоскости такой же, как в предыдущем случае, по точки удалвотся от положения равновесия, Отметим, что для всех рассмотренных случаев, кроме случая КеЛ=О, малое изменение параметров системы, а следовытсльпо, и матрицы ам не меняет качественного характера движения вблизи точки покоя.
Небольшие изменения параметров системы для случая ЯеЛ=О прсврашиот центр в устойчггаый или пеустойчнвый фокус. В случае кратных корней возможны следующие ситуации. Если матрица ам диагонализуема и Л<0, то решение уравиеГц ннй имеет внд $,=С,е"', я,=Сзе"', так что $з= — '$ь Фазовые с, траектории такой системы — прямые, проходящие через точку покоя.
Такая система фазовых траекторий называется устойчивым дикритическнм узлом. Если в этом случае Л>0, то получается система, называемая неустойчивым дикритическим узлом, изображенным иа рис. 1.15, д. Если матрица имеет впд то решение системы в этом случае представляется в виде ~,=--(Сг+С,1)е"', ~,=С,е"'. При 'Л<0 уравнения определяют системы фазовых траекторий, стремящихся к точке покоя — вырожденный устойчивый узел (рис. !.15,е). При Л>0 фазовые траектории выходят из точки покоя. Такая система называется неустойчивым вырожденным узлом, Если Л,=-О, то возможна ситуация, когда ЛгФО. В этом случае фазовые траектории — прямые, параллельные оси ОЦя, При Л~=О, Л,=О траектории параллельны оси абсцисс.
Мы привели классификацию точек равновесия и рассмотрелн характер двигкення системы в окрестности этих точек в линейном приблнгкенни. Очевидно, что этим не исчерпываются исч аозможиыс глу ши.,<1«< алыияй ашышз различиьж глу юси арли<с!си и мл ! <'м'! ! ич««>шй зи! ссра><рс> *>, .>!ля фи.<ичг«ьих ирилпж< иий наибольший иитсрсс ир<дстиилнк>г >ишки у< спйчшшго рлии<шсгия, поскольку физоиьц тршктории киритнги<и!ю!«я" к '><им точкам.
Й1ипяссг<ил, к кот<ц>!им иртя>чи<лнгмш <1ш:и>иьи тршктпрци динами цгк<>й гцгтгмы, или<ияли>><я лт>рлкм>рами. Обллг<и флзоиого ирогтриигтии, чар«! кагоры<' црп>и>><и ! фл.к>иы<' '! рлс кп>рии, иритягццлюи!исч н к ат '<ри>г>прим, и<! <ыц<<н>><'я б<>с < сЙ>и>м л>т !>лктпрл. ,>1>>и изумили <ипй< <и ир«д<лшиж мцп>ксгти, к коп>рым стрсх<и>ся фл<пиы« '<ри<'к'<ории, удобш> исаи>льишить иоиятяс об ииилри;имиых мипж<«<иах оисрлторси!.
1!и и>исм иши<рилитиым мипжс«<<шм пш р;пора T тлкос иодмип>к«стао точек флзоиой и,ии >сп«<и, кп>про< и«раж>>и!з и ссбя цпд дгйстши и этого оисрл<прл. 1:.«ли пирц<пр Т писритпр .>в<мипции динамической системы, то ис'и«диижиыг телки зтс>го лис ротора ирсдст>шля«п ирам< р шшлрили>ци>гп миожсства. ,>!ругам прим«рпм иииирилитиых миожсста оператора эаолкшии ии>пвииипй пблиг<и ииляк>тги гсилрлтрисиыс кривые, иачиилюиси«н или;иисиичиш>н>щи«си и ссдлоиых точках. Эти кривьи раздол>ипт флзоиу>п илпгкос'>! цл пблас'т'и, дцюксиис в которых ихи<т клчш"гаси<в р<шличиый хирактср.
1,'ущсчтиуст сщс одци тии ииларилитцс>го мложсства операторл зиплкщиц ли<пиомипй системы — изолироиаииый ирсдсльиый цикл, иисдши<ьш Л. 11уииклрс. 1!ели динами искля система оцисыисцтся лифф<рсшишльиыми урлиишцшми, тп ирсдслши<м цшыи>м илзьвшпт и:и>лиро<шиисв >ириоди пскск рсшсиис. 1>сшсии«урциисицй илзыишпт и:юлирписишым исриодичсским рсшс*- ш«м, <сли рс>ишшя, ироходящис <юрсз л<обу<о близкук> к ирсдсльиому циклу точку, ис является цсриодичсскими, Ишима сл<цшми, в лк>бой е-окрсстцости ирсдсльиого цикла ист других злмкиутых траскторий, 1!родс>ми!><й цикл разби.
наст фл:юиук> траскторию иа дис области: иисииио<о и лиутрсицюю. 11пс кольку <!ил<он><с трасс<торил аитоиомиой системы цс могут цсрссскаться, лк>бая траск<м>ри, отличила от црсдсльиогп цикла, яилястся либо иисшцсй, либо лиутршиюй. Прсдсльцый цикл цизыиастся угтойчииым, осли исс трлсктории, и иисиии>с ц ииутршиии, иачииающисся и а-окрсстцости цикла, ириближа<птся к исму. Если исс траектории из риссматрииасмой области удил>иотся от црсдсльиого цикла, то ок цазыцастся иеустойчицым.
1.гли искоторыс траектория, иаиримср иисшиис, ириближик>тся к црсдслшюму циклу, а другие, иаиримср циутрсццис, удаляются от этого цикла, то цикл иазыллстся иолуустсшчилым. Кроме рассмотрсииых фазоиых траекторий, и а-окрсстиости ирс>смьиого цикла друп>х трас>кторяй цс существует. Покажем это, используя метод, разработал>ц<й и цсцользоилииый для '> Сми !1е м ь< ии и а В, В., Степенен В. И, Кичеетиеииия теория дси!н!>ермииисиниых урениеииа. М,; Гиетехнздят, !<>!7.
265 анализа динамических систем А, Пуанкаре, — метод точечных отображений. Пусть à — замкнутая траектория предельного цикла, а 6— некоторая траектория, порождаемая уравнениями движения вблизи нредельного цикла. Пусть и некоторый момент 1=0 двюкенне по кривой начинается нз точки хм на рис. 2.15. 11ровсдсм отрезок г АВ, пересекающий кривую Г, Поскольку точку хм мы выбираем близкой к нрсдс.и*ному циклу, то в течение некоторого времени траектория будет оставаться в окрссгностн цикла. Предположим, что траектория приближается и Г, Тогда в некоторой точке хн она пересечет отрезок АВ.
Введем координату х вдоль Рвс. 2нв отрезка с началом в точке х. Функция, соноставлгнощая каждой точке отрезка Ох координату точки пересечения траектории восле одного оборота, называется функцией послсдовання р=ср(х). Отметим некоторыс важнейшие свойства этой функции для автономных систем. Так как через каждую точку фазовой плоскости антономпой системы проходит лишь одна фазовая кривая, функция последования имеет обратную, причем обе функции являются нспрсрывнымн.
Покажем, что функция последования является монотонной. Пусть координата неподвиэкпой точки хга на оси Ох равна х. Очевидно, что х — корень уравнения х=у(х). Так как мы рассматриваем изолированяое решение, в рассматриваемой окрестности других корней нет, поэтому для всех точек х>х нынол. няется только неравенство ф(х) <х илн только неравенство гр(х) >х, что и доказывает наше утверждение, Любая траектория, проходящая через некоторую точку х", образует последовательность х~'~'>, где х"">ьив(х'), которая является монотонной и ограниченнои. Следовательно, она нмс- Рис. злв (3.15) ет предел, единственный и совпадающий с х, Поскольку для достижения предельного цикла необходимо совершить бсско.
нечно много оборотон, время достижения предельного цикла бескопс шо. Поведение точечного отображения, порождаемого функцией последования, удобно исследовать графически. Для рассмотренного нами случая монотонная функция последования, удонлстворяющая условию ср(х) <х, изображена ца рпс. 3.15,п.. Для быстрого определения характера отображения удобно провести биссектрису р=х. Тогда последовательность отображений образует «лсстшщу» — лестницу Ламсрея. Очевидно, что последовательность сходится к точке х: Йгп хш =-х. Если выполняется неравенство д(х) >х, то последавателькость является расходящейся, как па рнс, 3.15, 6.
Если грщ))нки ~)~упкцпй р=х и р=<р(х) псресска1отся н точке х, то малое измснспнс динамических уравнений, опнсынаемое изменением некоторого параметра системы ц мало меняет траектории. В этом случае точка х(г) остается единственным корнем, т. е, предельная точка существует и устойчива относительно малых возмущений системы. Если же функция последонапия касается биссектрисы угла прп некотором значении параметра уравнений, то цикл будет полуустойчиным. В этом случае прн х<х точка приближается к х, а при х>х удаляется от нес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
