В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Стержень может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Будем считать, что поле включается па небольшой промежуток времени, так что за время действия силы угол не успевает заметно измениться, однако импульс силы за это время заметно меняет кинетический момент. Динамическое уран- пение для изменения кинетического момента в этом случае имеет вид ш(ьр== — еЕ1 з(п ~рт ~' б(1 — пт). 260 Здесь т — период включения поля Е. Из этого уравнения следует, что если в момент времени непосредственно перед вклкэчеппем поля положение ротатора определялось углом ~~„, а угловая скорость его равна гр„, то после окончания действия поля Рпс.
1блз угловая скорость определяется с помощью теоремы об изменении кинетического момента; гпРср,чл =- а1зю„— еЕ(т и и р„, Это значение угловой скорости сохраняется вплоть до следующего включения поля, а угол линейно мспяется, так что спустя время т, т. е. к моменту включения поля 1„.н — — („+т, оп определяется выражением ~р +~ = Ч)„+~ц.~т.
Вводя безразмерную переменную 1,=<р,т, получим систему ! % -ы = 'Рл+ 1ыл 1„~.~ = 1„— 1: ми д„, где лг еЕтз/лМ вЂ” безразмерный коэффициент. Таким образом, положешие системы на фазовой плоскости 1, ср в момент времени 1„определяется точкой и„= (~р„; 1 ), а в момент 1„+, — точкой изы в = (фд+~, 1л+~) . Оператор эволюции Х(т), осуществляющий отображение, реализуется системой алгебраических уравнений ! ~р,ч ~ = гр„— й з(п ~р„+ 1„, 1„ы = — йз!п<р„+1„. Зная положение точек на фазовой плоскости, легко восстановить фазовую траекторию системы. Несколько последовательных отображений и фазовая траектория, соединяющая эти точки, изображены на рис, (бдб.
Фазовая траектория соответствует й=). Очевидно, что, как и в случае математического маятника, фазовое пространство ротатора является цилиндром, так что точки гр= — и и <р=я можно отождествить, Исследование ротатора мы»ачнем с определенна неподвиж- ных точек отображения, Этп точки определяются условием и„=Ти„, где > — оператор эвол>оцип (д>гскретнь>й). Полученная система уравнений имеет решения ! гр~~ == яп~ 1„= — О, т. е. неподвижные точки находятся на оси абсцисс фазовой плоскости. Если учесть, что состоя»ня ротатора гр> и <рг +2пп являются физически неотличимыми (топология фазового пространства — цилиндр), то неподви>нные точки отображения па циландрс имеют координаты ! ,р,=О, ~~р,=-я. !> = 2яп, ( йг = 2пп где и определяет число оборотов, совершенных ротатором за период. Для исследования устойчивости неподвижных точек рас- смотрим преобразование двух близких точек и„=(<р„, У„) и и„+бич=-(<р„+б~р„, 1„-Е67„), Оператор эволюции Т=р(ч>) переводит точку и„в и„+ь так что ! 6>р„+ > =- (1 — !г соз гр„) бгр„+ 61„, 6)„~ > =- — lг соз гр„бгр„+ 61„, Матрица преобразования для вектора приращения би„ называ- ется матрнцей Якоби.
Элементы этой матрицы определяются дифференцированием матрицы Т оператора эволюции: 1 — !гсозгр 1 Заметнм, что в рассматриваемом случае бе(Я=1, т. е, преобра- зование фазового пространства, осуществляемое матрнцсй 1Й, происходит без изменения фазового объема. Системы, в кото- рых фазовый объем сохраняется, называют гамильтоповымп, Произвольяый вектор би„под действием оператора М под- вергается растяжению илн сжатию и повороту па нскоторый угол. Собственные векторы матрицы >г> определяют на фазовой плоскости те направления, вдоль которых осуществляется чи- стое сжатие нли раста>кение, если собственные значения явля ются действительными, Характеристическое уравнение <!е! (М вЂ” ЛУ) .=. О приводит к уравнена<о для определения собственных значений Л, Ле — РЛ ~1 — —" соз <р) + ! -= О.
2 1!з етого уравнения определим собственпыс значения Л~-'-'=1 — — соз<р(1~ 1/ 1 $ /< сов <г Из полученного выражения следует, что действительные собственные значения существуют при условии й соз <р (й соз <р — 4) ~ О. Заметим, что собственные значения Л„удовлетворя<от условию ! Л Х,' Собственные векторы, соответствующие пайде<иным собственным значениям, имеют компоненты бил=(6<р, Ыь), 61~.— — — ' соз <р 1 ~ 1 — 6<Р 2 << У «со<я» В окрестности неподвижной точки <р =- йп (и + — ), ~1 л= — О, .гак что прп всех !<>О существу<от собственные векторы би" .-.= (6<р, И."), где 61~ =- — — (! -<- р" 1+ 4/й) 6<р. 2 Собственное значение Л»." положительно, так что любая пара точек, лежащих на прямой, проходяшеи через пеподвпжпу<о точку н определяемой вектором би».", испытывает растяжение, Соответственно точки, принадлежащие прямой, определяемой вектором би ", испытывают сжатие.
Существование в окрестности неподвижной точки лучей, вдоль которых точки фазовой плоскости экспоненциально быстро удаляются от неподвижной точки, свидетельствует о неустойчивости этой неподвижной точки при всех значениях параметра й>0. Лцалогичным образом можно рассмотреть поведение точек фазовой плоскости вблизи неподвижной точки ср=О, 1=0. В этом случае собственные значения матрицы Л )а ) /< ) ) 4 являются действительными лишь при условии л>4. Поскольку в этом случае ~»+а~>1, собственный вектор ба+', соответствующий этому собственному значению, определяет направление экспоненциального разбегания точек. Несколько сложнее исследовать поведение точек фазовой плоскости вблизи рассматриваемой точки покоя прн значении параметра й в области 0<2<4.
В этом случае действительные собственные значения отсутствуют; 8,~~=ея'4, где )дб= Однако в этом случае матрица преобразования Л подобна матрице поворота б, т. е. в некотором базисе, связанном с данным певыро>кдеиныи преобразованием Л, матрица Л является матрнцей поворота; А =Х ОХ. Для исследования устойчивости неподвижной точки в рассматриваемом случае удобно обратиться к анализу структуры инвариантного множества матрицы А, представляющей липеаризованный оператор эволюции г, Напомним, что ипвариаптпым по отношению к данному преобразованию А многкеством точек называют такое подмножество точек фазового пространства, любая точка которого под действием рассматриваемого преобразования вновь будет прннадлегкать этому подмпо>кеству. В частности, рассмотренные нами неподвижные точк>и являются ннвариантными мнохгествами оператора эволюции.
Инвариантпыми множествамп линеаризованного оператора эволюции Л являются собственные векторы этого оператора, рассмотренные выше. Иннариаптным множеством матрицы поворота является окружность, точки которой переходят вновь в точки этой же окружности под действием преобразования поворота. Ипвариаптным множеством матрицы Л, подобной матрице поворота, является эллипс, определяемый уравнением а>з >Ы)з+ (໠— а,,) (бср) (6>) — а„(6>р)' = С, 284 где ໠— элемситы матрицы А, в чем можно уГ>едиться прямой иол<гаиоикой. Полу<>сь эллинга наклонена иод углом )<, к оси иГ>пиес<, оирсдсляемым условием ио — ам а» -1- ам Н икрестиос>и точки >1.--1), 1- О матрица поворота, иодобпая матрице Л. имеет компоиеиты / а' /.
— — '- 4 а инвариантное множество матрицы А определяется кривой (и)» — йбчб! > й1<ч>1)'=-с. !>гли угол поворота кратен и/>>/, то инвариантное множество сои>оит и> й/<> тачек. 11 иротшин>м случае последовательное примсиеиис оисритор» Л геисрирует систему точек, заполняющих >ссь эллинг, Таким образом, ири /«4 рассматриваемая точка яилн<т<я устойчивой. !)ри /<>4 инвариантное множество преираи<аетгя и систему гипербол, асимитоты которых определяютси соГ>стисииыми вектор;>ми матрицы Л, Рис, !8лб Рис 17.15 Иииариаитиос множество полного оператора эволюции сушествеиио сложнее, Некоторое представление о его структуре можно и<и>учить иа основе вычислител>и>ого эксперимента, Как показывают вычисления, ири малых й точки этого множества груииируются около кривой, напоминающей искаженный эллипс [рис. 17,15), 1)о мере увеличе»ия параметра й опи удаляются от этой кривой и заполня>от все пространство при й>4.
Структура инвариантного множества оказывается очень сложной,, 285 изик>щсй м;и'и<гибиую и<<и;>рипитиость. Такйс м<<ожсстип )ада ~. из к) Всн фр<<КГИ '<ими и Оии< Зиы и си<ОН!алькой ли ) < риттрс 11<которос ирслггиплсшп и ьириктсрс ииидрии<миого м<3,„,, с<ъп полно«> <ИИРпг»РИ <и<зла>пии м«ж)<О иолУчигь ии Гз<*)эззмс ИИИЛИГИЧССЬИЬ Ш<СИОК ЛЛК <ИН'ПШШЬИШО СЛуЧИИ вЂ” М)<о<ЫЕ~»ТВ) э Воч<к, оирсл<ляемык собстисииыми аекторами оисриторв Л оьрссги<юп< исшяиижиой точки. 1>и<<мо<р><м ллй ои)илсзи)Во<и $3< >и>ислсийс <о<и ь, иримв эс)О. жиии<к ирнмым, оирсдслксмым <ч>б<чисииыми искторими <)<э~.[эд зори Л нбли <и <О нк и — ' и, )- И.;.))и ись<пры сущ«с<иукзт нсек Г<' !). Л<$3<сир)3<ой<)$3$$3<и оисрнтор Л Оирсдслйст и[зэ<ьтэдд.
иро)и>дйпии ч<рс) р;пГсми)ршясмыс !очки !'.<Ои бы гм>:)3<здд оисрцтор шолнии<и бья лип< йиым, го $)рамой, ьыю>лкитмм м э точки [ -д, и) ии рис. !К.); . Иср«с<кли бы приму<о, око<3)<щу»зз точку (зт, !)) и искотор<п) точкс б. !1 лсй<тиитсльиос< и <)ИГ рмтк)[э анолкп<ии ис нилйатск лиисйиым, так что р<)сом<)гр<3$3<зе)ьэздд $)р><м<зс $)срскод))т и $<сю>т<Ц>>эс ьрииыс )> [Ч, !) !) и Гз[ЧЧ 7) Гэ <оот<>ст<"33<<333!<), кигорыс мшуг исрссскипгсй и точьс ) 1«эцм э И<)Н« "ВС)$$3>3 <<ИН<Ц>ИИ)<О<3<К МВИНЬ!<'Ги )ВРИ))ЙИЛС<ЬВВ)' ЬРВ!$)ОГВ, ВЭК<Э- ги>ищи и т<зчку [и.
О), слсз<<!О<!Гс)331!<О. Исигпи<с Оисритори мн<эл<о<и<$! Т парааслст эту точку иосл<'доиит<ы!ш<О и Гочки <зэ .+ К!2 и т. л., ириииллсж;иин >.р<$)и>й Ы[,1)-б, ик лйщ эт ~ $<шку (л, !)). [)о мсрс $<р>ВГ>з<$$)«.'3!!<к к исиолиижиой точкс .этв кринцн ет[пмит<н к ирнмой, оирсдслисмой собстисииым 3)еэст<эром й«", д огиош<ипн рп<з пошиб мсжду точкпми и $$<$<озтэз))эмиой точкой (:т, б) стрсм<п<ОВ к )$ ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
