В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем (1119859), страница 48
Текст из файла (страница 48)
магнитная волна, п мною<с другие, Все это требует от псслс>!оип'!'<ля четкой погтлцип<кп здддч„ и формулировки «желательного» окопчдтсльш>го отпстд, а тдк. же сто формы, Такая формулировка в значительной степе,<и облегчает ныб>ор модели псрсмсппых, и которой опп описывает. ся, и метода постро<ппя рсзультпрукипий зпппс<жпктп, 162, ПРЯМОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИИ Метод рпздслсш<и дппжсппй спязпп с возможностью представлеиии рсшсппя п пидс суммы х! х<+ $!. Вообще говоря, такое представление произвольно, и для его реа лизапни пеобходимо наложить пскотпрыс дополппт<льпце ус ловия, Как прддило, эти условии определяются особсппостями задачи, В частности, и качестве фу~кипи х! х<(1) может быть выбрано рсш<пис пс<их<муп!сапой задачи х<==Г<(х„, 1, е О).
Если предполагать, что $! мало, д правая часть уравнений дви. жепия допускает разложение по и, то, ограничиваясь линейки. ми членами при кчьб, можно сущ<ствсппо упростить исследовапис движения возмущенной системы, В частности, такой подход может быть использован для анализа устоПчивости по ли» иерпому приближению. "1аще метод разделения движений используется в системах, характеризуемых разлпчпымн премсппыми масштабами. Тогда разделение движепия и системе производится ив быстрые и медленные.
В этом случае х! х<(1) определяется из усреднен. пых уравпеиий, Проиллюстрируем примспепие метода разделения движений в случае одномерного движения в быстро осцих лиру>ощем поле (метод Капицы, 1051), Пусть материальная точка ла движется под действием за. данной силы Р Г(х, 1), котору!о можно прсдставить и виде сум. мы двух клопов: Р(х, 1)=Г,(х)+Р,(х, !), причем характерный масштаб времеви для движения под действием силы Гд — Т„а сила Р<(х,1) быстро изменяется, так что 302 Т,«Т,, Пусть для простоты Р~(х, Е) — быстро осциллирующая сила, Р,(х, !)=..зР,(х)з(пзьЕ.
Здесь малость параметра е, вообще говоря, не предполагается. Положим, что решепве уравнения движения частицы массы гп под действием силы Р представимо в виде суммы х=х(Е, е)+е4(Е), (2.16) Далее потребуем, что при а=О функция х(Е, 0) удовлетворяла уравнению епх(Е, 0) =Р,(х(Е, 0)), Действие возмущения существенно меняет характер медленного движения, так что х(Е, е)~х(Е, 0). Поскольку представление движения произвольно, наложим дополнительное условие. Будем считать, что решенис х=х(Е, е) описывает медленное движение, а $=$(Е) — быстрое, так что прн усреднении по периоду быстрых колебаний полного решения выполняется условие г, †' 1 х (Е) ЕЕ = х (Е), Т, О о т.
е. $(Е) пе дает вклада в медленное движение: т г, й(Е)й=О, ~ х(Е, е)$пЕ=О. а Подставляя теперь решение вида (2.1б) в уравнение возмущенного движения, получим лгх+л4=Ро(х+$)+аР,(х+я) з(ив,Е. Предположим, в этом случае справедливы разложения Р. (х+ и=Р (х)+Рз(х) Ь+оа, Р~(х+ь)=Р~(х)+Р~ (х)еь+о(ь). Это приводит нас к уравнению в линейном по $ приближении тх+ еп$=Р,(х)+Ро (х)$+еР, (х) з(пыЕ+еК (х) $з!паЕ.
Усредняя полученное уравнение по времени за период Т< быст рого движения, получим уравнение для х: тх=.РО(х)+аР< (х)$2!па,1, правая часть которого содержит слагаемое, пропорциональное возмущению. Соответственно для быстрой переменной получаем линейное уравнение пЯ=Р,'(х)й )-ОР, (х) з!наг<!+зР< (х) ($ з!п<о 1 — $з!па<1), В предпологкеяии, что сила, действующая яа точку, слабо меняется на характерной длине (амплитуде) быстрых колебаний, т, е. (РО+Р< (х))$<<Р,(х), получим решение для з: 1 ОР< ". $(1) = — — — ', а<па,1, и' 6< 1 что приводит к уравнепи<о для.медленной переменной х: Р,Р О() 2 ° 2<лаз~ ' Так как уравнение для усредненного двнгкения не зависит явно от времени, можно построить эффективную потенциальну<о энергию Р2< (х) У,ФФ (х) = УО+ 2 42<а< которая содержит вклад от быстро осциллирующей части сил, действующих на точку.
Заметим, что уравнение для усреднен ного движения и эффективная потенциальная энергия не зависят от закона, по которому пронсходит колебание силы Рь В качестве примера применения метода усреднения Капицы рассмотрим движение маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания в поле тяжести по закону хО=А соза1 (рнс.
1.16). Периодическое воздействие на систему здесь осуществляется с помощью нестационарной связи !г — гО(1) )=1. Функция Лагранжа системы имеет вид <'. = — <22+ т)Аа2 соз аг соз <р+ ти1 соз <р„ 2 что приводит к уравнениям. движения <р = — ЙО з!п <р-аа2 з!и <р сова), где йз=д<1 и введен безразмерный параметр а=А)1.
Действие нестац)<онарной связи приводит к обобщенной силе, гармони- чески зависящей от времени, т. е. к случшо, рассмотренному выше. Эффективная потенциальная энергия усредненного движения имеет вид (/„,„„, (~р) .= пот/ ( — соз <р+ /Р з1п' ср), где /г=аи/2Я вЂ” параметр задачи, Прн /г(1/)/2 нихснее положение равновесия ~рс=О является устойчивым, а щ,,=~-п — неустойчивым. Прн увеличении частоты колебаний подвсса пара- Рас. 1.16 Раа.
2.! Б метр растет, и при /г>!/)/2 верхнее, положение равновесия также оказывается устойчивым. Появляются две неустойчивые точки 1 равновесия, определяемые условием соз ~рзл = — —, 2И Зависимость эффективной потенциальной энергии усредненного движения от у для случая /г>1//2 приведена на рис. 2.16. Разделение движений на быстрые и медленные аффективно при изучении колебаний слабопелипейных систем. Пусть некоторая нелинейная система, например математический маятник, испытывает малые колебания.
Тогда с высокой точностью движение является гармоническим: 'р = 'ро з1 и (~во/+ Фю) По мере роста амплитуды колебаний маятника происходят два процесса. Во-первых, меняется период, а значит, и основная частота колебаний, а, во-вторых, форма колебаний начинает все заметнее отличаться от гармонической, т, е. спектр колебании обогащается гармониками основной частоты; ~Ф ~р = ) (а згппф+Ь„созп~~>), л ! где ф=в/+фз — фаза колебаний', причем ф=ыФав. 30$ Представление движения в впдс ряда можно рассматривать как некоторую реализацию метода разделения движений па медленное, пронсходя>цее с основной частотой ы, н быстрое, представляемое суммой ряда прн >>>2; й>+$(>) 40 $ (!) = 7 (а„з(п ач> -р (>„соз пф), и* 3 В случае разложения движения в ряд Фурье метод разделения дни>копий приобретает точный математический смысл, а имен.
но решение, описывающее медленное движение >р ср(!), ортогснальпо быстрому: >р(!)$(!)Й=О, О (ЗЛ 6) Это условно позволяет построить процедуру последовательного приближешш для вычисления коэффициентов разложения п ряд и определенна основной частоты колебаний. Указанный принцип последовательного разделения движения в виде разложения в ряд Фурье лежит в оснопе многих методов прнближсшшго решения уравнений нелинейных колебаний, в частности таких, как метод гармонического баланса, и такого мощного метода, как метод Крылона — Боголюбова. Рассмотрим вначале основные идеи иа примере метода гармонического баланса, удобного для описания стационарных колебаний в слабонелинейных системах, Рассмотрим вначале консервативную систему, так что уравнение движения имеет вид х' Г(х).
Представим решение этого ура>шення в виде х х+$. Подставляя это выражение в уравнение (ЗАВ>) н учитывая, что прн малых $ можно ограничиться первым членом разложения по $ правой части уравнения, получим уравнение для разделенного движения в виде х+й= Р,(х)+Р,(х) 3, (4А 6) Го(хоз|,п>(>)= ~ (А„(ха)з(ппФ+В (хо)созаф), и ! 306 В отличие от рассмотренного ранее случая прямого разделения днжения мы пе можем непосредственно определить зависимость 4=в(!), Для выделения медленной части разложим правую часть уравнения в ряд Фурье, полагая, что зависимость медленной координаты х ат фазы имеет внд х хан(п Ф и и! раничимся иулсинм парилкам разложения по $.
В этом приближении ураиисиис лли медленной части х х,а(п»р — А, |хь! ио ииглясг аирслслить заиисимость частоты колебаний от ам. и'и! ! 1'.г!« ь,г(, | '|1 (' ! .ь .»ц 1|ри»игрг.'!»т!»'иии мгэ»(»фи!пи'и!он Фурьс мы п»гспольз»)вались ирои»вольное»гио иыбари начальной фазы фч, »пабы обратить В, и нуль !|аз» »анлия иайлсшки рспинис и уршииннс (4,!»!), мы мажсм пай!и ураинсиис для опрслслсния быстрого лаиже- иин $ ыяг(х)й-! ~'„, (А„(х,)яилф ! В„(х,)саха»(!). (5.16), и ! Заметим. чта решеинс этого уравнения ис будет ортогональным к х, иг>скольку входящее а арапу!а часть ураписиия ироизвсдеиис гг(х!ь, мажет сакс(гжат! чл»иы, проиорциоиалыи«с х. Для иолучсиии решения исобхалиьн! на каждом шаге иыл»лять бы. сгрыс и мсллгчигыс чили рсишиия, чта иршгалит пас к процедур» иаслслаиат»лг нога приближения.
Г!алагая, что хь<~1, и члеиом, пропорциональным й, мажиа ирсисбр» »ь, из ура|шеиий иайдсм выражение для $; $ (г) — — ~ — (А„а(п л»р !. В, соз лф). иэ ьы' ч! П Я Для урависиия математического маятника х+ ыа а|п зависимость функции Р от фазы ф имеет, вид Р(х) =- — а4з|п (х, а|пф), так что коэффициент А, имеет вид А, — —" ( з(п!рз!п(ха|и!р)г(!р=* — йу»(х,)оР, йя ~ а где !'! (ха) — функция Бесселя. Напомним, что эта функция мо|кет бить определена с помо щьго ряда (-!)' ') м+» ) (х) 4 ~ Г($+ !)Г(Ь+т+ !)» й / Для колебаний, происходящих с малой амплитудой хач' .1, мож- но ограничиться первыми членами ряда г га ( аг(ха) — -1 1 — ), 2 (, 8 )' что дает зависимость частоты малых колебаний от амплитуды: хг а аз=ага ~у 1 — —, 8 Этот же результат может быть получен и непосредственно из уравнения (4.16), учитывая, что для малых колебаний можно ограничиться разложением з!и хь х —— 8 ,и, подставляя х=х, з!пап получить г ( га) 3 г з ~а(х) = — маха (1 — — ) 61п~ф — — соаха 61п Зф 8 ) 8 Из этого выражения следует, что основная частота малых колебаний математического маятника, колеблющегося с амплитудой х„, определяется выражением ааа !6.3, РЕЗОНАНС В СЛАБОНЕЛИНЕИНОЙ системе Рассмотрим поведение слабопелинсйпого осциллятора под действием внешней периодической силы.
Для простоты ограничимся случаем силы сопротивления, пропорциональной скорости. Уравнение движения осциллятора под действием возмущения в этом случае имеет вид я+2)ах+ага(х) х=~з(пйй (6. 16) Для линейной системы агг(х)г маг и в некотором интервале частот И=ага в случае малого затухания возможно явление резонанса, рассмотренное ранее в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
